質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)講解常微分

1、logo 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)company logocontents（1）無阻尼自由振動(dòng)）無阻尼自由振動(dòng)（2） 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)（3） 無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)（4）有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)）有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)company logo質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng) 振動(dòng)是日常生活和工程技術(shù)中常見的一種運(yùn)動(dòng)振動(dòng)是日常生活和工程技術(shù)中常見的一種運(yùn)動(dòng)形式。例如鐘擺的往復(fù)擺動(dòng)，彈簧的振動(dòng)，樂器形式。例如鐘擺的往復(fù)擺動(dòng)，彈簧的振動(dòng)，樂器中弦線的振動(dòng)，機(jī)床主軸的振動(dòng)，電路中的電磁中弦線的振動(dòng)，機(jī)床主軸的振動(dòng)，電路中的電磁振蕩等等。振動(dòng)問題的研究，在一定條件下，可振蕩等等。振動(dòng)問題的研究，在一定條件下，可以歸結(jié)為以歸結(jié)為

2、二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程的問題來討論。的問題來討論。下面我們以第一章里所舉的力學(xué)典型例子數(shù)學(xué)擺下面我們以第一章里所舉的力學(xué)典型例子數(shù)學(xué)擺作為具體的物理模型，利用常系數(shù)線性微分方程作為具體的物理模型，利用常系數(shù)線性微分方程的理論，討論有關(guān)自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的問題，的理論，討論有關(guān)自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的問題，并闡明有關(guān)的一些物理現(xiàn)象。至于并闡明有關(guān)的一些物理現(xiàn)象。至于rlcrlc電路中的電電路中的電磁振蕩完全可以同樣地加以討論。磁振蕩完全可以同樣地加以討論。company logov數(shù)學(xué)擺是系于一根數(shù)學(xué)擺是系于一根長度為長度為l的線上而的線上而質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)m，在重力

3、作用下，它在重力作用下，它在垂直于地面的平在垂直于地面的平面上沿著圓周運(yùn)動(dòng)，面上沿著圓周運(yùn)動(dòng)，如圖：如圖：company logo（1）無阻尼自由振動(dòng)）無阻尼自由振動(dòng)考察數(shù)學(xué)擺的無阻尼微小自由振動(dòng)方程考察數(shù)學(xué)擺的無阻尼微小自由振動(dòng)方程 ，（，（1.9）記記 ，這里，這里 是常數(shù)，（是常數(shù)，（1.9）變?yōu)椋┳優(yōu)?（4.39）這是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，它的特征方程為這是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，它的特征方程為特征根為共軛復(fù)根特征根為共軛復(fù)根因此，方程（因此，方程（4.39）的通解為）的通解為 , （4.40）022lgdtd2lg00222dtd022i2, company logo其中其

4、中 ， 為常數(shù)。為了獲得明顯的物理意義，令為常數(shù)。為了獲得明顯的物理意義，令 ，因此，若取因此，若取 ，則（則（4.40）可以寫成）可以寫成即即 （4.41）這里這里a， 代替了代替了 ， 作為通解中所含的兩個(gè)任意作為通解中所含的兩個(gè)任意常數(shù)。常數(shù)。1c2c22211sinccc22212cosccc2212cca21arctanccttatccctcccccsincoscossinsincos22122222112221tacompany logo 從通解（從通解（4.41）可以看出，不論反映擺的初始狀態(tài)）可以看出，不論反映擺的初始狀態(tài)的的a與與 為何值，擺的運(yùn)動(dòng)總是一個(gè)正弦函數(shù)，它是為何值

5、，擺的運(yùn)動(dòng)總是一個(gè)正弦函數(shù)，它是t的周期函數(shù)的周期函數(shù).這種運(yùn)動(dòng)成為這種運(yùn)動(dòng)成為簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。振動(dòng)往返一次。振動(dòng)往返一次所需的時(shí)間稱為所需的時(shí)間稱為周期周期，記為，記為t，這里，這里 ；單位時(shí)；單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)成為間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)成為頻率頻率，記作記作 ，這里，這里 ；而；而 稱為稱為圓周率圓周率。從而得出結(jié)論：數(shù)學(xué)擺的周期只依賴于擺長從而得出結(jié)論：數(shù)學(xué)擺的周期只依賴于擺長l，而與，而與初值無關(guān)。初值無關(guān)。 （參看圖（參看圖（4.1）。）。 2t21tcompany logo 圖（圖（4.14.1）company logo此外，擺離開平衡位置的最大偏離稱為此外，擺離開平衡位置的最大偏離稱

6、為振幅振幅。數(shù)學(xué)擺。數(shù)學(xué)擺的振幅為的振幅為a，而，而 稱為初位相。這里，振幅和初位相稱為初位相。這里，振幅和初位相都依賴于初值條件。都依賴于初值條件。 如果把數(shù)學(xué)擺移至位置如果把數(shù)學(xué)擺移至位置 處，然后突然松開處，然后突然松開，使其自由擺動(dòng)，這就相當(dāng)于給定如下的初值條件：，使其自由擺動(dòng)，這就相當(dāng)于給定如下的初值條件： 時(shí)時(shí) ， （4.42）把（把（4.42）代入通解（）代入通解（4.41），得到），得到于是得初位相于是得初位相 ，振幅，振幅 。00t00dtd00sinat20a0cos0acompany logo因此，所求的特解為：因此，所求的特解為：company logo（2） 有阻尼自

7、由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng) 從通解（從通解（4.414.41）可以看到，無阻尼的自由振動(dòng)是）可以看到，無阻尼的自由振動(dòng)是按正弦規(guī)律作周期運(yùn)動(dòng)，擺動(dòng)似乎可以無限期的進(jìn)按正弦規(guī)律作周期運(yùn)動(dòng)，擺動(dòng)似乎可以無限期的進(jìn)行下去。但是，實(shí)際情況并不是如此，擺總是經(jīng)過行下去。但是，實(shí)際情況并不是如此，擺總是經(jīng)過一段時(shí)間的擺動(dòng)后就會(huì)停下來，這說明我們所得的一段時(shí)間的擺動(dòng)后就會(huì)停下來，這說明我們所得的方程并沒有完全反映物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。因?yàn)榭諝庾璺匠滩]有完全反映物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。因?yàn)榭諝庾枇υ趯?shí)際上總是難免的，因此必須把運(yùn)動(dòng)阻力這一力在實(shí)際上總是難免的，因此必須把運(yùn)動(dòng)阻力這一因素考慮進(jìn)去，從而得到第一章已推導(dǎo)過的擺的有因

8、素考慮進(jìn)去，從而得到第一章已推導(dǎo)過的擺的有阻尼的自由振動(dòng)方程阻尼的自由振動(dòng)方程 ，（，（1.10）company logo 記記 ， ，這里，這里n，是正常數(shù)，（，是正常數(shù)，（1.10）可）可以寫成：以寫成： （4.43）它的特征方程為：它的特征方程為： ，（，（4.44）特征根為：特征根為： nm22lg02222dtdndtd0222n222, company logo 對(duì)于不同的阻尼值對(duì)于不同的阻尼值n，微分方程有不同形式的解，它表示不同的運(yùn)，微分方程有不同形式的解，它表示不同的運(yùn) 動(dòng)形式，現(xiàn)分下面三種情況進(jìn)行討論：動(dòng)形式，現(xiàn)分下面三種情況進(jìn)行討論： 小阻尼的情形：即小阻尼的情形：即n

9、的情形，這時(shí)的情形，這時(shí) ，特征方程，特征方程（4.44）有兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根。方程（）有兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根。方程（4.43）的通解為）的通解為 （4.46）這里這里 ， 是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。 從（從（4.46）可以看出，擺的運(yùn)動(dòng)也不是周期的，因?yàn)榉匠蹋┛梢钥闯觯瑪[的運(yùn)動(dòng)也不是周期的，因?yàn)榉匠?對(duì)于對(duì)于t最多只有一個(gè)解，因此，擺最多只通最多只有一個(gè)解，因此，擺最多只通過平衡位置一次，又因?yàn)檫^平衡位置一次，又因?yàn)?12ttecec21211c2c02121ttececttttecceececdtd)(company logo得知：當(dāng)?shù)弥寒?dāng)t足夠大時(shí)，足夠大時(shí)， 的符號(hào)與的符號(hào)與 的符號(hào)相反。因

10、此，經(jīng)過一的符號(hào)相反。因此，經(jīng)過一段時(shí)間后，擺就單調(diào)地趨于平衡位置，因而在大阻尼的情形，段時(shí)間后，擺就單調(diào)地趨于平衡位置，因而在大阻尼的情形，運(yùn)動(dòng)不是周期的，且不再具有振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)不是周期的，且不再具有振動(dòng)的性質(zhì)。擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（性質(zhì)。擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（4.46）的圖形如圖（）的圖形如圖（4.3）所示。）所示。 或或company logo 臨界阻尼的情形：即臨界阻尼的情形：即n= 的情形，這時(shí)特征的情形，這時(shí)特征 方程（方程（4.44）有重根）有重根 。方程（。方程（4.43） 的通解為的通解為 ： （4.47）。）。 這里，這里， ， 是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。company logo從從(4.47

11、)可以看出，擺的運(yùn)動(dòng)也不是周期的，它的運(yùn)可以看出，擺的運(yùn)動(dòng)也不是周期的，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（動(dòng)規(guī)律（4.47）的圖形和圖（）的圖形和圖（4.3）相類似。擺也不具）相類似。擺也不具有振動(dòng)的性質(zhì)。數(shù)值有振動(dòng)的性質(zhì)。數(shù)值 稱為稱為阻尼的臨界值阻尼的臨界值，這一，這一數(shù)值正好足夠抑制振動(dòng)。這里臨界值的意思是指：擺數(shù)值正好足夠抑制振動(dòng)。這里臨界值的意思是指：擺處于振動(dòng)狀態(tài)或不振動(dòng)狀態(tài)的阻尼分界值，即當(dāng)處于振動(dòng)狀態(tài)或不振動(dòng)狀態(tài)的阻尼分界值，即當(dāng) 時(shí)，擺不具有振動(dòng)性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖（時(shí)，擺不具有振動(dòng)性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖（4.3）所示。而當(dāng)）所示。而當(dāng) 時(shí)，擺具有振動(dòng)性質(zhì)，運(yùn)時(shí)，擺具有振動(dòng)性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖動(dòng)規(guī)律如圖

12、（4.3）所示。所示。company logo（3） 無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 以上談到的無阻尼自由振動(dòng)和有阻尼自以上談到的無阻尼自由振動(dòng)和有阻尼自由振動(dòng)都屬于自由振動(dòng)，它對(duì)應(yīng)于一個(gè)由振動(dòng)都屬于自由振動(dòng)，它對(duì)應(yīng)于一個(gè)二階常二階常系數(shù)齊次線性微分方程系數(shù)齊次線性微分方程。當(dāng)一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)還經(jīng)。當(dāng)一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)還經(jīng)常受到一個(gè)外力作用時(shí)，這種振動(dòng)稱為常受到一個(gè)外力作用時(shí)，這種振動(dòng)稱為強(qiáng)迫振強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)。最常見的外力往往是按周期變化的，這里。最常見的外力往往是按周期變化的，這里考察周期外力特別是按正弦變化的外力作用下考察周期外力特別是按正弦變化的外力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)。我們?nèi)砸缘膹?qiáng)迫振動(dòng)。我們?nèi)砸詳?shù)學(xué)擺數(shù)

13、學(xué)擺為例。為例。 數(shù)學(xué)擺的微小強(qiáng)迫振動(dòng)方程可寫為：數(shù)學(xué)擺的微小強(qiáng)迫振動(dòng)方程可寫為： （1.111.11）)(122tfcompany logo考察無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)，即考察無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)，即 的情形。令的情形。令 ，設(shè)，設(shè) ，h為已知常數(shù)，為已知常數(shù)，p為外力圓頻率。這時(shí)為外力圓頻率。這時(shí)（1.11）變?yōu)椋┳優(yōu)?（4.48）方程（方程（4.48）的對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的通解為）的對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的通解為 （4.41）這里這里a， 是任意常數(shù)。現(xiàn)求（是任意常數(shù)?，F(xiàn)求（4.48）的一個(gè)特解。如果，則）的一個(gè)特解。如果，則（4.48）有形如）有形如 （4.49）的解，這里的解，這里m,n是待定常數(shù)。

14、將（是待定常數(shù)。將（4.49）代入（）代入（4.48），比較），比較同類項(xiàng)系數(shù)，得到同類項(xiàng)系數(shù)，得到02lgpthmltfsin)(pthdtdsin222)sin(taptnptmsincos0m22phncompany logo因此，方程（因此，方程（4.48）的通解為：）的通解為： （4.50）通解（通解（4.50）由兩部分組成，第一部分是無阻尼自由振動(dòng)方程的）由兩部分組成，第一部分是無阻尼自由振動(dòng)方程的解，它代表固有振動(dòng)，第二部分是振動(dòng)頻率與外力頻率相同，而解，它代表固有振動(dòng)，第二部分是振動(dòng)頻率與外力頻率相同，而振幅不同的項(xiàng)振幅不同的項(xiàng) ，它代表由外力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)。，它代表由外力引起

15、的強(qiáng)迫振動(dòng)。從（從（4.50）還可以看出，如果外力的圓頻率）還可以看出，如果外力的圓頻率p愈接近固有圓頻率愈接近固有圓頻率，則強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)的振幅就愈大。，則強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)的振幅就愈大。 ptphsin22ptphtasin)sin(company logo如果如果 ，則（，則（4.48）有形如）有形如的解，將它代入（的解，將它代入（4.48），比較同類項(xiàng)系數(shù)得到），比較同類項(xiàng)系數(shù)得到 ，因而，方程（因而，方程（4.48）的通解為）的通解為 （4.51） （4.51）表示隨著時(shí)間的增大，擺的偏離將無限增加，這種現(xiàn)）表示隨著時(shí)間的增大，擺的偏離將無限增加，這種現(xiàn)象稱為象稱為共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象。但是，實(shí)際上

16、，隨著擺的偏離的增加，到了一。但是，實(shí)際上，隨著擺的偏離的增加，到了一定程度，方程（定程度，方程（4.48）就不能描述擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)了。）就不能描述擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)了。ptntmtsincos2hm0ntthtacompany logo（4）有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)）有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 這時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)方程（這時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)方程（1.11）變?yōu)椋┳優(yōu)?（4.52） 根據(jù)實(shí)際的需要，我們只討論小阻尼的情況，即根據(jù)實(shí)際的需要，我們只討論小阻尼的情況，即 的情形。這時(shí)（的情形。這時(shí)（4.52）對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解）對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為：為： （4.45） 這里這里a， 是任意常數(shù)，是任意常數(shù)， （見（見（2）

17、有阻自由振）有阻自由振動(dòng)中的情形動(dòng)中的情形）。）。 現(xiàn)求（現(xiàn)求（4.52）的一個(gè)特解，這時(shí)可以尋求形如）的一個(gè)特解，這時(shí)可以尋求形如 （4.53）的特解）的特解pthdtdndtdsin2222n)sin(1taent221nptnptmcompany logo 這里這里m,n是待定常數(shù)，將（是待定常數(shù)，將（4.53）代入（）代入（4.52），比），比較同類項(xiàng)系數(shù)，得到較同類項(xiàng)系數(shù)，得到為了獲得更明顯的物理意義，令為了獲得更明顯的物理意義，令即令（即令（4.54）及及 ，這時(shí)（這時(shí)（4.53）可以寫成）可以寫成 2222242pnpnphm22222224pnphpn*sinhm *coshn

18、 *sinsincoscossinpthpthpth2222222*4pnphnmh22*company logo因此，（因此，（4.52）的通解為）的通解為 （4.55）從（從（4.55）可以看出，擺的運(yùn)動(dòng)由兩部分疊加而成，第一部）可以看出，擺的運(yùn)動(dòng)由兩部分疊加而成，第一部分是有阻尼的自由振動(dòng)，它是系統(tǒng)本身的固有振動(dòng)，它隨時(shí)分是有阻尼的自由振動(dòng)，它是系統(tǒng)本身的固有振動(dòng)，它隨時(shí)間的增長而衰減，第二部分是由外力而引起的強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)，間的增長而衰減，第二部分是由外力而引起的強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)，它的振幅不隨時(shí)間的增長而衰減，因此，考慮強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)主它的振幅不隨時(shí)間的增長而衰減，因此，考慮強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)主要就考慮后一

19、項(xiàng)要就考慮后一項(xiàng)，它與外力的頻率一樣，但相位和振幅都不同了。，它與外力的頻率一樣，但相位和振幅都不同了。 我們現(xiàn)在來研究外力的圓頻率我們現(xiàn)在來研究外力的圓頻率p取什么值時(shí)所引起的強(qiáng)迫取什么值時(shí)所引起的強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)的振幅達(dá)到最大值。振動(dòng)項(xiàng)的振幅達(dá)到最大值。*222221sin4)sin(ptpnphtaent*22222sin4ptpnphcompany logo從（從（4.54）看出，只需討論當(dāng)）看出，只需討論當(dāng)p取何值時(shí)取何值時(shí) 達(dá)到最小值即可。為此，記達(dá)到最小值即可。為此，記 ，將它對(duì)，將它對(duì)p求導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于零，求導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于零，得到：得到：因此，只要因此，只要 ，即只要阻尼很小時(shí)，即只要阻尼很小時(shí)，就解得：就解得： （4.56）而當(dāng)而當(dāng)p取此值時(shí)，我們有取此值時(shí)，我們有 ，因而，因而 在在 時(shí)達(dá)到最小值。時(shí)達(dá)到最小值。222224pnp 222224pnpp 084222pnppp222n222np 082pp company logo 把（把（4.56）代入（）代入（4.54），得到相應(yīng)的最大