量化容差關(guān)系的進(jìn)一步研究

1、量化容差關(guān)系的進(jìn)一步研究摘要對(duì)量化容差關(guān)系中由于容差度閾值的變化而引起的論域覆蓋的粒度、 粗糙集的近似精度與粗糙嫡、知識(shí)的粗糙炳的度量變化進(jìn)行了討論。建立了量化 容差關(guān)系下知識(shí)依賴(lài)的概念，并探討了容差度閾值和知識(shí)的變化對(duì)知識(shí)依賴(lài)度量 的影響。對(duì)量化容差關(guān)系所產(chǎn)生的覆蓋進(jìn)行修正，以使得新覆蓋的任一模塊里的 任意元素均兩兩滿(mǎn)足量化容差關(guān)系，并進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的證明。關(guān)鍵字粗糙集；量化容差關(guān)系；不完備信息系統(tǒng)；爛；知識(shí)依賴(lài)1引言粗糙集理論1 （rough sets theory,簡(jiǎn)稱(chēng)rst）是一種用于處理含糊和不精確性 問(wèn)題而又不同于模糊集理論的新型數(shù)學(xué)工具。pawlak提出的rst僅僅適用于所 有屬

2、性值都已知的完備信息系統(tǒng)，然而現(xiàn)實(shí)世界中由于各種原因存在著大量的不 完備信息系統(tǒng)（incomplete information systems 2,簡(jiǎn)稱(chēng)iis）,因此如何使用 rst處理iis正逐漸成為rst研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。使用rst處理iis,大致 可以分為兩種方式：1、間接處理，即數(shù)據(jù)補(bǔ)齊或數(shù)據(jù)刪除方法；2、直接處理， 對(duì)基于不可分辨關(guān)系（等價(jià)關(guān)系）的rst模型進(jìn)行擴(kuò)充。由于間接處理方法會(huì)損 害到數(shù)據(jù)的原有分布特征，挖掘出的規(guī)則往往帶有不確定性，因此使用直接方法 處理iis就具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。隨著理論研究的不斷深入，目前已經(jīng)涌現(xiàn)出了很多擴(kuò)展rst模型以處理iis,如 容差關(guān)系模型2

3、、量化容差關(guān)系模型3、限制容差關(guān)系模型4、相似關(guān)系模型3等等。由于量化容差關(guān)系是一種推廣的容差關(guān)系，量化容差類(lèi)是一個(gè)用關(guān)于參 考元素的容差度作為成員函數(shù)的模糊集合，因此文中主要圍繞量化容差關(guān)系在 rst中的若干問(wèn)題進(jìn)行討論。2量化容差關(guān)系2. 1容差關(guān)系一個(gè)iis是一個(gè)二元組：，其中u是一個(gè)被稱(chēng)為論域的非空有限的對(duì)象集合; at是一個(gè)非空有限的屬性集合。對(duì)于任意a cat,有a:u-va,其中va是屬性a的值域（可包含空值，文中 用表示）；v為全體屬性值域，即；定義f為信息函數(shù)，對(duì)于，有f （x,a） va.定義1.1令s為一 iis,屬性集合，則由a決定的容差關(guān)系如下表示：2.2量化容差關(guān)系

4、量化容差關(guān)系是容差關(guān)系的推廣，在容差關(guān)系中加入了描述對(duì)象之間的相似程度 這一參考因素。令s為一 iis,其中假設(shè)對(duì)于，x在屬性a上取值的概率為（表示集合比的 基數(shù)）定義1.2令s為一 iis,對(duì)于，x,y在屬性集合上取等值的概率（容差度）為，其中表示x,y在屬性a上取等值的概率，其取值如下所示:定義1. 3令s為一 iis,容差度閾值入e 0, 1,則量化容差關(guān)系定義如 下：若假定容差度為1,量化容差關(guān)系就退化成定義1.1中的容差關(guān)系。定義1.4令s為一 iis,容差度閾值入e 0, 1,對(duì)于，x關(guān)于的量化容 差類(lèi)定義為：一般來(lái)說(shuō)，在iis中，量化容差關(guān)系對(duì)于論域構(gòu)成了一個(gè)覆蓋而非劃分，若令表

5、 示覆蓋，則.3基本概念a）近似精度及粗糙嫡定義2.1令s為一 iis,容差度閾值入 0, 1,對(duì)于，x關(guān)于的上、下 近似集合可表示為和，其中定理2.1令s為一 iis,屬性集合，若容差度閾值入1,入2 0, 1,且，則證明：對(duì)于，因?yàn)?，所以若，則必定有；反之則不一定成立。所以同理 可以證得定理2. 1說(shuō)明粗糙集合的下近似集隨著容差度閾值的減小而不斷減小，上近似集 卻隨著容差度閾值的減小而不斷增大。定義2.2令s為一 iis,且，容差度閾值入e 0, 1,則x關(guān)于的近似精度， 粗糙性分別如下所示：定理2.2令s為一 iis,屬性集合，容差度閾值入1,入2c 0, 1且，則對(duì) 于，有.證明：利用

6、定理2.1的結(jié)果，易證。定理2. 2說(shuō)明隨著容差度閾值的減小，粗糙集合的近似精度在不斷減小，粗糙性 在不斷增大。定義2.3令s為一 iis,屬性集合，容差度閾值入 0, 1,則知識(shí)a的粗糙 嫡定義為：定理2.3令s為一 iis,若容差度閾值入1,入2 0, 1且，則 證明：對(duì)于，因?yàn)?，所以于是可以得到不等式擴(kuò)充這個(gè)不等式就可以得到.為了對(duì)粗糙集的不確定性進(jìn)行更為精確的測(cè)量，已有學(xué)者開(kāi)始研究各種不同的粗 糙集的粗糙嫡5。根據(jù)量化容差關(guān)系，可以定義如下兩種不同形式的粗糙集的粗 糙爛。定義2.4令s為一 iis,屬性集合，容差度閾值入 0, 1,對(duì)于，x關(guān)于知 識(shí)a的粗糙嫡定義為：定理2.4令s為一

7、 iis,屬性集合，若容差度閾值入1,入2 0, 1且，則 對(duì)于有證明：利用定理2.2及2.3的結(jié)果，易證。作為一種特殊的容差關(guān)系，量化容差關(guān)系當(dāng)然也滿(mǎn)足容差關(guān)系下的一些性質(zhì)，如 定理2. 5所示。定理2.5令為一 iis,屬性集合，若容差度閾值入 0, 1,則，,b）知識(shí)依賴(lài)?yán)脤?duì)象的分類(lèi)，可以方便地研究?jī)蓚€(gè)不同屬性子集，即知識(shí)之間的依賴(lài)關(guān)系定義2. 5令s為一 iis,容差度閾值入1,入2 0, 1,屬性集合b對(duì)于屬性 集合a的依賴(lài)關(guān)系表示為，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于，若，則必定有定義2.6令s為一 iis,容差度閾值入1,入2 0, 1,則知識(shí)a與b之間存 在等價(jià)依賴(lài)當(dāng)且僅當(dāng)且知識(shí)的部分依賴(lài)表示知識(shí)

8、之間的推理可以是部分的，換言之，只有部分關(guān)于b的 知識(shí)可以從a推導(dǎo)出來(lái)。知識(shí)的部分依賴(lài)一般用知識(shí)的正區(qū)域來(lái)表示。定義2.7令s為一 iis,容差度閾值入1,入2 6 0, 1,則知識(shí)a對(duì)于知識(shí) b的正區(qū)域表示為：定義2.8令s為一 iis,容差度閾值入1,入2 0, 1,知識(shí)b以程度k 依賴(lài)于知識(shí)a,表示為，其中當(dāng)k=0時(shí)，知識(shí)依賴(lài)表示為；當(dāng)k=l時(shí)，知識(shí)依賴(lài)表示為定理2.6令s為一 iis,容差度閾值入1,入2,入3 0, 1且，如果有知識(shí)依 賴(lài)，那么證明：對(duì)于，根據(jù)定理2.1,因?yàn)?，所以，即所?定理2. 6說(shuō)明隨著知識(shí)依賴(lài)的被依賴(lài)部分的容差度閾值逐漸減少，依賴(lài)部分對(duì)于 被依賴(lài)部分的依賴(lài)程

9、度逐漸減小。定理2.7令s為一 iis,容差度閾值入1,入2,入3 0, 1且，如 果有知 識(shí)依賴(lài)，那么.證明：對(duì)于，因?yàn)?，所? 對(duì)于，若，則，反之則不一定成立，所以，即.定理2. 7說(shuō)明隨著知識(shí)依賴(lài)的依賴(lài)部分的容差度閾值逐漸減少，依賴(lài)部分對(duì)于被 依賴(lài)部分的依賴(lài)程度逐漸增大。定理2.8令s為一 iis,若 且容差度閾值入e 0, 1,則有知識(shí)依賴(lài)證明：對(duì)于，若，則因?yàn)?，所以，即滿(mǎn)足定義2.5,所以定理2.9令s為一 iis,，容差度閾值入1,入20, 1，如果有知識(shí)依賴(lài)， 那么證明：對(duì)于，若，則，即對(duì)于，可以得到，于是有，即定理2.10令s為一 iis,，容差度閾值入1,入2 0,1,如果有

10、知識(shí)依賴(lài)， 那么證明：類(lèi)似于定理2. 9的證明，對(duì)于，有.對(duì)于，若，則，反之則不一定，所以，即.4基于量化容差關(guān)系的覆蓋1）覆蓋粒度定義3.1在一 iis中，分別為論域u的兩種不同覆蓋，若對(duì)于，必定 使 得，并且對(duì)于，必定使得，則稱(chēng)覆蓋比覆蓋更為精細(xì)，或者說(shuō)比更為粗 糙，表示為&lt；定理3. 1令s為一 iis,若容差度閾值入1,入2 e 0, 1且，則&lt； 證明：對(duì)于，因?yàn)椋詽M(mǎn)足定義3.1,所以定理3.2令s為一 iis,容差度閾值入 0, 1,若，則證明：對(duì)于，因?yàn)?，所以，即，滿(mǎn)足定義3.1,所以<定理3. 1和3. 2說(shuō)明在量化容差關(guān)系下，隨著容差

11、度閾值的減小，覆蓋的精細(xì)程 度也在不斷地減??；隨著知識(shí)的不斷增加，覆蓋的精細(xì)程度不斷地增大。2）覆蓋修正令，由定義14可知，中的所有元素都只是與x之間存在量化容差關(guān)系，而 對(duì)于，并不一定能保證m, n之間也存在著量化容差關(guān)系。因此有必要重新定義 由量化容差關(guān)系所產(chǎn)生的論域覆蓋，以保證覆蓋中任一模塊中的任意兩個(gè)元素之 間都具有量化容差關(guān)系。定義3. 2令s為一 iis,屬性集合，容差度閾值入 0, 1,則論域的覆蓋表 示如下：3）相關(guān)性質(zhì)定理3. 3令s為一 iis,屬性集合，容差度閾值入 0, 1,則證明：（1）對(duì)于，有，于是，使得所以. 又因?yàn)閥為中任意取得，所以 對(duì)于，必定使得且而此時(shí)根據(jù)

12、量化容差類(lèi)的定義，有又因?yàn)閥為中 任意取得，所以有 綜合（1） （2）,定理得證。由定理3. 3可得看出，覆蓋相比于覆蓋更為精細(xì)，即理得明得理 定使證取定3.4令s為一 iis,容差度閾值入1,入2e 0, 1且，則對(duì)于，必定，:對(duì)于，令，則，因?yàn)?，所以，即必定有使得因?yàn)閤,y為m中任意 ，所以3. 5令s為一 iis,容差度閾值入e 0, 1,對(duì)于，必定，使得證明：對(duì)于，令，則因?yàn)?，所以，即必定存在使得因?yàn)閤, y為m中任意取得，所以定義3.3令s為一 iis,容差度閾值入 0, 1,對(duì)于，論域覆蓋為，x的 上、下近似集合可表示為，其中定理3.6 ,證明：令，則門(mén)根據(jù)定理3.3,必定，使得

13、且mflxh，即所以. 令，則使得xcm且mcixh.由定理3. 3可知，即fl, 所以.令，則由定理3. 3,對(duì)于且xem,必定，即所以.5結(jié)束語(yǔ)作為一種rst擴(kuò)展模型以便于直接處理iis,量化容差關(guān)系用容差度描述對(duì)象之 間的相似程度，是容差關(guān)系的進(jìn)一步拓展。本文對(duì)基于量化容差關(guān)系的rst中的一些基本概念，如覆蓋的精細(xì)程度、粗糙集 的近似精度、粗糙矯、知識(shí)的粗糙爛以及函數(shù)依賴(lài)進(jìn)行了討論，研究了容差度閾 值的變化對(duì)這些概念的度量的影響。分析了由量化容差關(guān)系產(chǎn)生的論域的覆蓋， 發(fā)現(xiàn)在這個(gè)覆蓋里，任一模塊中的元素都只是與模塊的生成元素存在量化容差關(guān) 系，于是重新定義了基于量化容差關(guān)系的覆蓋，使得任

14、一模塊中的任意兩個(gè)元素 之間都具有量化容差關(guān)系，并聯(lián)系原有覆蓋進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的討論。參考文獻(xiàn)1 pawlak. i. rough sets and intel 1igent data analysis j. journal of information sciences 2002, (147) : 1 - 122 kryszkiewicz. m. rough set approach to incomplete information systems j journal of information sciences 1998, (112) : 39 - 493 jerzy. stefanowski. incomplete information tables and rough classification j. journal of computational intel 1igence. 2001, (17): 545 - 5664 王國(guó)胤.rough集理論不完備信息系統(tǒng)中的擴(kuò)充.計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展.2002, 39 (10): 1238-12435 qiang li , jia nhua li, xiang li, and shenghong li. evaluation incompleteness of knowledge