7方向?qū)?shù)與梯度

1、一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度實(shí)例實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問(wèn)題的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向：應(yīng)

2、沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行（即梯度方向）爬行一、問(wèn)題的提出l),(zyxp一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)定義定義: 若函數(shù)),(zyxff0lim則稱lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數(shù)在點(diǎn) p 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點(diǎn) ),(zyxp處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: p記作記作 ,),(),(處可微在點(diǎn)若函數(shù)zyxpzyxf),(zyxpl定理定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明

3、: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點(diǎn) p 可微 , 得p故coscoscoszfyfxf對(duì)于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方向?qū)?shù)為方處沿方向在點(diǎn)(),(lyxp),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxplxyol向角( , ),( , ) cos ,cos xyfx yfx y由定義看出，方向?qū)?shù)實(shí)際上是函數(shù)沿某一方向的單側(cè)的增量比的極限。沿沿著著x軸軸負(fù)負(fù)向向、y軸軸負(fù)負(fù)向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是 yxff ,.記為記為由定義看出，方向?qū)?shù)實(shí)際

4、上是函數(shù)沿某一方向的單側(cè)的增量比的極限。例例1. 求函數(shù) 在點(diǎn) p(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向?qū)?shù) .,142cosplu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦為例例2. 求函數(shù) 在點(diǎn)p(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxplz它在點(diǎn) p 的切向量為,171cos1760 xoy2p1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1例例3. 設(shè)是曲面n在點(diǎn) p(

5、1, 1, 1 )處指向外側(cè)的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而pxu,148pyu14pzupnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向?qū)?shù).pzyx)2,6,4(1467111143826141pyxzx22866zyxu2286在點(diǎn)p 處沿求函數(shù)nn二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這說(shuō)明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：zfyfxfg,)cos,cos,(cos0l),cos(0lgg)1(0l0lglf,0方向一致時(shí)與當(dāng)gl:gglfmax1. 定義定義, fad

6、rg即fadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxpyfxfjyfixff,grad稱為函數(shù) f (p) 在點(diǎn) p 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度 g說(shuō)明說(shuō)明: 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量同理同理 f 方向?qū)?shù)的最小值在梯度的反方向方向?qū)?shù)的最小值在梯度的反方向達(dá)到，或者說(shuō)，沿梯度的相反方向函數(shù)值減少最快。達(dá)到，或者說(shuō)，沿梯度的相反方向函數(shù)值減少最快。解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0

7、 ,21,23(0 p處梯度為處梯度為 0.面上的投在曲線xoyczyxfz),(cyxfl),(:*影稱為函數(shù) f 的等值線等值線 . ,不同時(shí)為零設(shè)yxff則l*上點(diǎn)p 處 pyxff),(pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc設(shè)p同樣, 對(duì)應(yīng)函數(shù), ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(czyxf當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí), 其上 點(diǎn)p處的法向量為.gradpf, ),(yxfz 對(duì)函數(shù)處的法向量為 2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義3. 梯度的基本運(yùn)算公式梯度的基本運(yùn)算公式0grad(1)cucucgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3

8、)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)指向函數(shù)增大的方向.函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線) ,內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)),(zyxp沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)),(yxp),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)),(zyxp處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)),(yxp處的梯度為),(, ),(grady

9、xfyxffyx3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.討討論論函函數(shù)數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？思考題思考題思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)函數(shù)zyxzyxf2),(1) 求函數(shù)在點(diǎn) m ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 12 32tztytx在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);(2) 求函數(shù)在 m( 1, 1, 1 ) 處的梯度梯度與(1)中切線方向切線方向 的夾角 .2. 求函數(shù)222uxyz在橢圓2222221xyzabc上點(diǎn)處沿外法線方向的方向?qū)?shù)。0000,mxyz,),(2zyxzyxf曲線 12 32tztytx1. (1)在點(diǎn))3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxmffflf266解答提示解答提示:函數(shù)