3多元數量值函數的導數與微分4隱函數

1、2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系1隱函數的求導法則由一個方程確定的隱函數由方程組確定的隱函數2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系20),(. 1yxf一、一個方程的情形隱函數存在定理隱函數存在定理 1 1 設函數設函數),(yxf在點在點),(00yxp的的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數，且某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數，且0),(00 yxf，0),(00 yxfy，則方程，則方程0),( yxf在點在點),(00yxp的的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數的函數導數的函數)(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00

2、xfy ，并，并有有 yxffdxdy . .隱函數的求導公式隱函數的求導公式2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系3解解令令1),(22 yxyxf則則,2xfx ,2yfy , 0)1 , 0( f, 02)1 , 0( yf依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點點)1 , 0(的的某某鄰鄰域域內內能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值可可導導、且且0 x時時1 y的的函函數數)(xfy 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系4函函數數的的一一階階和和二二階階導導數數為為yxffdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1

3、022 xdxyd2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系5例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系6隱函數存在定理隱函數存在定理2 2 設函數設函數),(zyxf在點在點,(0 xp),00zy的某一鄰域內有連續(xù)的偏導數，且的某一鄰域內有連續(xù)的偏導數，且,(0 xf0),00 zy，0),(000 zyxfz，則方程，則方程,(yxf0) z在點在點),(000zyx

4、p的某一鄰域內恒能唯一確的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxffxz ， zyffyz . .0),(. 2 zyxf2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系7例例 3 3 設設04222 zzyx，求求22xz .解解令令則則,4),(222zzyxzyxf ,2xfx , 42 zfz,2zxffxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系8例例

5、4 4 設設),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函數對的函數對x求偏導數得求偏導數得xz ，把把x看看成成yz,的的函函數數對對y求求偏偏導導數數得得yx ，把把y看成看成zx,的函數對的函數對z求偏導數得求偏導數得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系9把把z看成看成yx,的函數對的函數對x求偏導數得求偏導數得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數對的函數對y求偏導數得求偏導數得)1(0 y

6、xfu),(yxyzxzfv 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系10整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函數對的函數對z求偏導數得求偏導數得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系11設有一組方程設有一組方程 ( , , , )0,(1)( , , , )0,f x y u vg x y u v則稱由則稱由 (1) 確定了隱函數組確定了隱函數組 之對應之對應, 能使能使( , , , ),(1),x y u vv 且滿足方程組且滿足方程組其中其中 定義在定

7、義在 若存在若存在 2,r ,d e 4r .v fg與與使得對于任給的使得對于任給的 ( , ),x yd ()u,ve 與與有惟一的有惟一的二、隱函數組2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系12( , ),( , ),( , ),( , ),uu x yx ydu vevv x y 并有并有 ( , , ( , ), ( , )0,( , ).( , , ( , ), ( , )0,f x y u x y v x yx ydg x y u x y v x y 關于隱函數組的一般情形關于隱函數組的一般情形 ( 含有含有 m + n 個變量的個變量的 m 個方程所確定的個方程所確定的

8、n 個隱函數個隱函數 )，在本章不作詳，在本章不作詳 細討論細討論 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系13首先來看看首先來看看, 若由方程組若由方程組 (1) 能確定兩個可微的隱能確定兩個可微的隱 函數函數 , 則函數則函數 ( , )( , )uu x yvv x y與與gf、應滿應滿 足何種條件呢足何種條件呢? 不妨先設不妨先設 都可微都可微, 由復合求導法由復合求導法, 通過對通過對 (1)gf、分別求關于分別求關于 x 與關于與關于 y 的偏導數的偏導數, 得到得到 0,(2)0;xuxvxxuxvxff uf vgg ug v 0,(3)0.yuyvyyuyvyff uf

9、 vgg ug v 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系14能由能由 (2) 與與 (3) 惟一解出惟一解出 的充要的充要 ),(),(yyxxvuvu與與條件是雅可比條件是雅可比 ( jacobi ) 行列式不等于零，即行列式不等于零，即 def0.(4,)()( , )uvuvfff gjggu v 由此可見，只要由此可見，只要 具有連續(xù)的一階偏導數，且具有連續(xù)的一階偏導數，且 gf、其中其中 是滿足是滿足 (1) 的某一的某一 ,00 pj00000(,)p xy u v初始點初始點, 則由保號性定理，則由保號性定理， 使得在此鄰域使得在此鄰域 , )(0pu 內內 (4)式成

10、立式成立 根據以上分析根據以上分析, 便有下述隱函數組定理便有下述隱函數組定理.2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系15 雅可比（雅可比（ jacobi, c.g.j. 1804-1851, 德國德國 ）2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系16定理定理 ( 隱函數組定理隱函數組定理 ) 設方程組設方程組 (1) 中的函數中的函數 f 與與 g 滿足下列條件：滿足下列條件： (i) 在以點在以點 為內點的某區(qū)域為內點的某區(qū)域 ),(00000vuyxp4rv 上連續(xù)；上連續(xù)； (ii) (初始條件初始條件); 0)()(00 pgpf(iii) 在在 v 內存在連續(xù)的一階偏導

11、數；內存在連續(xù)的一階偏導數； (iv).0),(),(00 ppvugfj隱函數組定理 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系17, )(),( !, )(),(00wuvuquyx 即有即有 ; )(),(, )(),(, ),(, ),(00wuvuquyxyxvvyxuu( , , ( , ), ( , )0,( , , ( , ), ( , )0,f x y u x y v x yg x y u x y v x y . )(),(0quyx 則有如下結論成立：則有如下結論成立： 且滿足且滿足 000000(,),(,)uu xyvv xy以及以及1必定存在鄰域必定存在鄰域 ,)

12、()()(000vwuqupu 其中其中 000000(,),(,),qxywu v使得使得 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系182o o( , ), ( , )u x yv x y在在 上連續(xù)上連續(xù). 0()u q3o o( , ), ( , )u x yv x y在在 上存在一階連續(xù)偏導上存在一階連續(xù)偏導 0()u q數數, 且有且有 1(,),( , )1(,).( , )vf gxju xvf gyju y 1(,),( , )1(,);( , )uf gxjx vuf gyjy v 本定理的詳細證明從略本定理的詳細證明從略,下面只作一粗略的解釋下面只作一粗略的解釋: 2

13、007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系19 由方程組由方程組 (1) 的第一式的第一式 確定隱確定隱 ( , , , )0f x y u v 函數函數 ( , , ),ux y v 且有且有,.xxuyyuvvuffffff ( , , )( , , ( , , ), )0.h x y vg x yx y v v ( , , ( , )( , ).ux y v x yu x y ( , , )ux y v 將將 代入方程組代入方程組(1) 的第二式的第二式, 得得 ( , ),vv x y 再由此方程確定隱函數再由此方程確定隱函數 并代回至并代回至 這樣就得到了一組隱函數這樣就得到了一組

14、隱函數 ( , ),( , ).uu x yvv x y2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系20通過詳細計算通過詳細計算, 又可得出如下一些結果又可得出如下一些結果: ,;xxuxvuvvhgghgg1(,),( , )xvxxvxuuvxvxuxuuuvvffhuvxffhffggf gffggjx v l l1(,);( , )yvyuf gvyjy v l l1(,)1(,),.( , )( , )vf gvf gxju xyju y同理又有同理又有 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系21例例1 設有方程組設有方程組 22240,(5)50.xyyzx yyzz 2

15、224,( , , )5( , , ),xyyzf x y zx yyzzg x y z 0(1, 2,1)p 試討論在點試討論在點 的近旁能確定怎樣的隱函的近旁能確定怎樣的隱函 0p數組？并計算各隱函數在點數組？并計算各隱函數在點 處的導數處的導數. 0p解解 易知點易知點 滿足方程組滿足方程組 (5) . 設設 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系22它們在它們在 上有連續(xù)的各階偏導數上有連續(xù)的各階偏導數. 再考察再考察 3r,f g0022222xyzppxyzfffyxzyzgggxyxzyz 2 24.4 24 0p在點在點 關于所有變量的雅可比矩陣關于所有變量的雅可比矩陣

16、 02 2(,)40,( , )4 2pf gx y 由于由于2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系23042(,)80,( , )44pf gz x 024(,)0,( , )24pf gy z ( ),( ),( ),( );xx zzz yyy zxx y與與0p因此由隱函數組定理可知因此由隱函數組定理可知, 在點在點 近旁可以惟一近旁可以惟一 地確定隱函數組地確定隱函數組: 但不能肯定但不能肯定 y , z 可否作為可否作為 x 的兩個隱函數的兩個隱函數. 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系2400d0(,)(,)0,( , )d4( , )ppxf gf gz y

17、zx y 00d( 8)(,)(,)2;( , )d4( , )ppyf gf gx zzx y 00d41(,)(,),( , )d82( , )ppzf gf gy xyz x 00d0(,)(,)0 .( , )d8( , )ppxf gf gz yyz x 3o o0p運用定理運用定理 18.4 的結論的結論 , 可求得隱函數在點可求得隱函數在點 處處 的導數值的導數值: 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系25022d10.4dpxy *注注 通過詳細計算通過詳細計算, 還能求得還能求得 ( )2xx yy 在在這說明這說明 處取極大值處取極大值, 從而知道從而知道 0p在

18、點在點 的任意小鄰域內的任意小鄰域內, 對每一個對每一個 x 的值的值, 會有會有 多個多個 y 的值與之對應的值與之對應. 類似地類似地, 對每一個對每一個 x 的值的值, 也會有多個也會有多個 z 的值與之對應的值與之對應. 所以方程組所以方程組 (5) 在點在點 0p近旁不能惟一確定以近旁不能惟一確定以 x 作為自變量的隱函數組作為自變量的隱函數組. 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系26例例 2 設函數設函數 具有連續(xù)的偏導數具有連續(xù)的偏導數, ( , ),( , )f x yg x y2(,),(,)0uf ux vyg ux v y1212212121.2xyuvxyu

19、vffffuffx ffgggggv ggvyg ( , )( , )uu x yvv x y與與是由方程組是由方程組 ,.uvxy所確定的隱函數組所確定的隱函數組. 試求試求 2(,),(,),fuf ux vygg ux v y解解 設設 則有則有 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系27由此計算所需之雅可比行列式由此計算所需之雅可比行列式: 1221 22112122,2uvx ffjvygxyvf gf ggvyg121 221122,2xvuffjyuvf gf ggvyg 122221 2212121.uyx ffjv gxv f gf ggv g于是求得于是求得 200

20、7年8月南京航空航天大學 理學院 數學系281 22 121 22 12,22xvuvjyuvf gf guxjyvgxyvf gf g 221 22 1221 22 1.22uyuvjxv f gf gv gvyjyvgxyvf gf g 注注 計算隱函數組的偏導數計算隱函數組的偏導數 ( 或導數或導數 ) 比較繁瑣比較繁瑣, 要學懂前兩例所演示的方法要學懂前兩例所演示的方法 ( 利用雅可比矩陣和利用雅可比矩陣和 雅可比行列式雅可比行列式 ), 掌握其中的規(guī)律掌握其中的規(guī)律. 這里特別需要這里特別需要 “ 精心精心細心細心耐心耐心 ”. 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系29vu

21、vuxuxuggffggffxugfjxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyggffggffvygfjyu .),(),(1vuvuyuyuggffggffyugfjyv 公式：2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系30（分以下幾種情況）（分以下幾種情況）隱函數的求導法則隱函數的求導法則0),()1( yxf0),()2( zyxf 0),(0),()3(vuyxgvuyxf三、小結2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系31已已知知)(zyzx ，其其中中 為為可可微微函函數數，求求? yzyxzx思考題思考題2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系32思考

22、題解答思考題解答記記)(),(zyzxzyxf , 則則zfx1 ，,1)(zzyfy ,)()(22zyzyzxfz ,)(zyyxzffxzzx ,)()(zyyxzyzffyzzy 于是于是zyzyxzx .2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系33一、一、 填空題填空題: :1 1、 設設xyyxarctanln22 , ,則則 dxdy_._. 2 2、設、設zxyz , ,則則 xz_,_, yz_._.二、二、 設設,32)32sin(2zyxzyx 證明：證明：. 1 yzxz練練 習習 題題2007年8月南京航空航天大學 理學院 數學系34三三、 如如 果果 函函 數數),(zyxf對對 任任 何何t恒恒 滿滿 足足 關關 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,則則稱稱函函數數),(zyxf為為 k次次齊齊次次函函數數, ,試試證證: :k次次齊齊次次函函數數滿滿足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .四四、設設.,3233yx