浙江師范大學《高等數(shù)學》d11_6高斯公式ppt課件

1、高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院第六節(jié)Green 公式Gauss 公式推行推行高斯公式 第十一章 格林公式表達了平面閉區(qū)域上二重積分與其邊境曲格林公式表達了平面閉區(qū)域上二重積分與其邊境曲線上的曲線積分之間的關系線上的曲線積分之間的關系.高斯公式表達了空間閉區(qū)域上三重積分與其邊境曲高斯公式表達了空間閉區(qū)域上三重積分與其邊境曲面上的曲面積分之間的關系面上的曲面積分之間的關系.高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 設空間閉區(qū)域設空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲由分

2、片光滑的閉曲 上有延續(xù)的一階偏導數(shù) ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先證:函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 那么有 的方向取外側, 高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院231zyxyxDO) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 證明證明: 設設yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd稱為XY -型區(qū)域 , ),(

3、:22yxzz 那么yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院所以zyxzRdddyxRdd 假設 不是 XY型區(qū)域 , 那么可引進輔助面將其分割成假設干個 XY型區(qū)域,故上式仍成立 .正反兩側面積分正負抵消,在輔助面類似可證 zyxyQdddyxRxzQzyPd dddddzyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所證 Gauss 公式：高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院x3z1y例例1. 用用G

4、auss 公式計算公式計算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 為柱面122 yx閉域 的整個邊境曲面的外側. 解解: 這里這里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(29,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思索思索: 假設假設 改為內側改為內側, 結果有何變化結果有何變化? 假設 為圓柱側面(取外側) , 如何計算? dzzdd)sin(103020利用柱面坐標y=sinO高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院hzyxO例例2. 利用利用Gauss 公式計算積分公式計算積分SzyxId)coscosco

5、s(222其中 為錐面222zyx解解: 作輔助面作輔助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上側1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于z = 0及 z = h 之間部分的下側, , , 為法向量的方向角.1,記所圍區(qū)域為 ,那么 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2h1高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院yxz2yxz2OzyxzyxIddd)(2xy22)(2Dhyxdzzyxdxdy4hyxhyxDdd2421hxy222Dhyxzdzdxdy4h思索思索: 計算曲面積分計算曲面積分提示提示: 作取上側的輔

6、助面作取上側的輔助面,dddd)(2yxzzyxz)(:2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2之間部分的下側. , 2:1z4:),(22yxDyxyx2hzyxOh1高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院coscoscoszvyvxv),(, ),(yxvyxu在閉區(qū)域 上具有一階和二階延續(xù)偏導數(shù), 證明格林( Green )第一公式Sd例例3. 設函數(shù)設函數(shù)uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中 是整個 邊境面的外側. uP xvuQ yvuR zv留意留意:zyxzRyQxPdd dyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式

7、222222zvyvxv高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院留意留意:zyxzRyQxPdd dyxRxzQzyPdddddd 高斯公式證證: :令令uP ,xvuQ ,yvuR ,zv由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvuSd移項即得所證公式.xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院Ozxy例例4.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI設 為曲面21,222zyxz取上側, 求 解解: 作取下側的

8、輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐標用柱坐標用極坐標用極坐標2111yxD高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院內容小結內容小結1. 高斯公式及其運用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd運用:(1) 計算曲面積分 (非閉曲面時留意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充要條件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院作業(yè)作業(yè)P

9、239 1 (4), (5); 4高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院思索與練習思索與練習,:2222取外側設Rzyx所圍立體,222zyxr判別以下演算能否正確?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxddddd333333dvrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxddddd333d31Rvzyxd)(3222 為2R高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院rncosrn備用題備用題 設設 是一光滑閉曲面是一光滑閉曲面,所圍立體 的體 是 外法線向量與點 ( x , y , z ) 的向徑,222zyxr試證.dcos31VSr證證: 設設 的單位外法向量為的單位外法向量為 那么coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的夾角,積為V, )cosr,cos,(cosn, ),(zyxr 高等數(shù)學高等數(shù)學浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院高斯高斯(1777 1855)德國數(shù)學家、天文學家和物理學家, 是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學家, 他的數(shù)學成就普及