初中數(shù)學(xué)輔助線

1、無為三中八年級無為三中八年級數(shù)學(xué)專題學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專題學(xué)習(xí) -幾何證明中常見的幾何證明中常見的 “添輔助線添輔助線”方法方法 （2010年安徽）如圖，ad是abc的邊bc上的高，由下列條件中的某一個就能推出abc是等腰三角形的是_。（把所有正確答案的序號都填寫在橫線上）badacd badcad，ab+bdac+cd ab-bdac-cd線段的和差問題方法有幾種喲！ 如圖，acbd，ea,eb分別平分cab,dba，cd過點e， 求證;abac+bd?e?d?c?b?a與中線有關(guān)的問題 （數(shù)學(xué)競賽“希望杯”試題）已知，如圖abc中，ab=5，ac=3，則中線ad的取值范圍是_. d c b a期中考

2、試試題edcba如圖，abc中，dc=ac， ae是dc的中線，ab是bc的中線，求證：1、ab=2ae 2、ad平分bae. 認(rèn)真、細(xì)心、反思 如圖，abc中，e、f分別在ab、ac上，dedf，d是中點，試比較be+cf與ef的大小. e d f c b a.連結(jié)連結(jié)目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形.連結(jié)連結(jié)典例典例1: 1:如圖如圖,ab=ad,bc=dc,ab=ad,bc=dc,求證求證:b=d.:b=d.acbd1. 1.連結(jié)連結(jié)acac構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形2. 2.連結(jié)連結(jié)bdbd構(gòu)造兩個等腰三角形構(gòu)造兩個等腰三角形.連結(jié)連結(jié)典例典例2:

3、2:如圖如圖,ab=ae,bc=ed, b=e,amcd,ab=ae,bc=ed, b=e,amcd, 求證求證: :點點m m是是cdcd的中點的中點. .acbd連結(jié)連結(jié)acac、adad構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形em.連結(jié)連結(jié)典例典例3: 3:如圖如圖,ab=ac,bd=cd, m,ab=ac,bd=cd, m、n n分別是分別是bdbd、cdcd的中點，求證：的中點，求證：ambamb ancancacbd連結(jié)連結(jié)adad構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形nm.連結(jié)連結(jié)典例典例4: 4:如圖如圖,ab,ab與與cdcd交于交于o, o, 且且ab=cdab=cd，ad=bcad=bc，ob

4、=5cmob=5cm，求，求odod的長的長. .acbd連結(jié)連結(jié)bdbd構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形o目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到距離相等距離相等適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)圖中已經(jīng)存在一個點存在一個點x x和和一條線一條線mnmn語言描述語言描述: :過點過點x x作作xyxymnmn注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例1: 1:如圖如圖, ,abcabc中中, c =90, c =9

5、0o o,bc=10,bd=6,bc=10,bd=6, ad ad平分平分bac,bac,求點求點d d到到abab的距離的距離. .acd過點過點d d作作deabdeab構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等be.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例2: 2:如圖如圖, ,abcabc中中, c =90, c =90o o,ac=bc,ac=bc, ad ad平分平分bac,bac,求證求證:ab=ac+dc.:ab=ac+dc.acd過點過點d d作作deabdeab構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離

6、相等be 思考思考: : 若若ab=15cm,ab=15cm,則則bedbed的周長是多少的周長是多少? ?.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例3: 3:如圖如圖, ,梯形中梯形中, a= d =90, a= d =90o o, , be be、cece均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:bc=ab+cd.:bc=ab+cd.acd過點過點e e作作efbcefbc構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等bf 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?e.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作

7、垂線段典例典例4: 4:如圖如圖,oc ,oc 平分平分aob, doe +dpe =180aob, doe +dpe =180o o, , 求證求證: pd=pe.: pd=pe.acd過點過點p p作作pfoa,pg obpfoa,pg ob構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等bf 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?epgo證明線段不等關(guān)系 如圖在abc中，abac，12，p為ad上任意一點，求證;ab-acpb-pc?p?2?1?d?c?b?a目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等

8、適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)存在圖中已經(jīng)存在一條線段一條線段mnmn 和和垂直平分線上一個點垂直平分線上一個點x x 語言描述語言描述: :連結(jié)連結(jié)x xm m和和x xn n注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法.垂直平分線上點向兩端連線段垂直平分線上點向兩端連線段目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)存在圖中已經(jīng)存在一條線段一條線段mnmn 和和垂直平分線上一個點垂直平分線上一個點x x 語言描述語言描述: :連結(jié)連結(jié)x xm m和和x xn n注意點注意點: :雙

9、添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法.中線延長一倍中線延長一倍1.ad1.ad是是abcabc的中線，的中線，.中線延長一倍中線延長一倍abcde)(21acabad求證：延長延長adad到點到點e e，使，使de=aede=ae，連結(jié)連結(jié)ce.ce.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段2. 2.如圖如圖, ,梯形中梯形中, a= d =90, a= d =90o o, , be be、cece均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:bc=ab+cd.:bc=ab+cd.延長延長bebe和和cdcd交于點交于點f f構(gòu)造了構(gòu)造了: :

10、全等的全等的直角三角形直角三角形f 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?acdbe1. 1.如圖如圖, ,abcabc中中,c=90,c=90o o,ac=bc,ad,ac=bc,ad平分平分acb,acb, deab. deab.若若ab=6cm,ab=6cm,則則dbedbe的周長是多少的周長是多少? ?.“周長問題周長問題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)”bacdebe+bd+debe+bd+cdbe+bcbe+acbe+aeab2. 2.如圖如圖, ,abcabc中中,c=90,c=90o o, d, d在在abab的垂直平分線上

11、的垂直平分線上, ,e e在在acac的垂直平分線上的垂直平分線上. .若若bc=6cm,bc=6cm,求求adeade的周長的周長. .“周長問題周長問題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)”bacdead+ae+debd+ce+debc3. 3.如圖如圖,a,a、a a1關(guān)于關(guān)于omom對稱對稱, a, a、a a2關(guān)于關(guān)于onon對稱對稱. .若若a a1 a a2 =6cm, =6cm,求求abcabc的周長的周長. .“周長問題周長問題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)”bacomab+ac+bca a1?b+?a a2?c+bca a1?a a2a1a2n4. 4.如圖如圖, , abcabc中，中，mnmn是是acac的垂直平分線的垂直平分線. .若若an=3cm, an=3cm, abmabm周長為周長為13cm13cm，求，求abcabc的周長的周長. .“周長問題周長問題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)”bacmab+bc+acab+?bm+mc+6nab+?bm+am+613+65. 5.如圖如圖, , abcabc中，中，bpbp、c