九年級上冊一元二次方程專題講義

1、九年級上冊一元二次方程專題講義考點1: 一元二次方程的概念只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2,且系數(shù)不為0,這樣的方程叫一元二次方程.一般形式：ax2+bx+c=0(aw0).其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項.例1.下列方程中，關于x的一元二次方程是()A.(x 1)2 2x 1B1 2 0x xC.ax2 bx c 0D. x2 2x x2 1練習1.下列方程是關于x的一元二次方程的是()_22A. (x 1)(x 2)B. K2x+5k+6=0C.3x2+ 2x+1 =0D.( k2 + 3) x2 + 2x+1=0x例2.關于x的方程(a

2、3肘卜x 5 0是一元二次方程，則a=.例3.一元二次方程3x2-3=2x+1的二次項系數(shù)為, 一次項系數(shù)為,常數(shù)項為.考點2: 一元二次方程的解法使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.1.直接開平方法：對形如(x+a)2=b (b>0)的方程兩邊直接開平方而轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程的方法.x+a= bx1=-a+ bx2 =-a-、b2 .配方法：用配方法解一元二次方程：ax2+ bx+c=0(aw 0)的一般步驟是：化為一般形式；移項，將常數(shù)項移到方程的右邊；化二次項系數(shù)為1,即方程兩邊同除以二次項系數(shù)；配方，即方程兩邊都加上一

3、次項系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a)2=b的形式；如果b0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果 b<0,則原方程無解.3 .公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法，它是通過配方推導出來的.一元二次方程解的情況：式子 b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aw 0)根的判別式，通常用希臘 字母來表示，即A =b24ac.b24ao 0方程有兩個不相等的實數(shù)根；b24ac=0方程有兩個相等的實數(shù)根；b24ac< 0方程沒有實數(shù)根.解題小訣竅：當題目中含有“兩不等實數(shù)根” “兩相等實數(shù)根” “沒有實數(shù)根”時，往往首先考慮用b2 4ac,解題主要用于求方程中

4、未知系數(shù)的值或取值范圍.-2,一元二次方程的求根公式是x b Y 4ac(b24ac>0). 2a步驟：把方程轉(zhuǎn)化為一般形式；確定a, b, c的值；求出b24ac的值，當b2- 4ac>0時代入求根公式.4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理論根據(jù)：若ab=0,則a=0或b=0.步驟是：將方程右邊化為0;將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；令每個因式等于0,得到兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解.因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法 .例1.用合適的方法解下列方程:(2) x 1 2 2x 1 2(3) 4(x-1)2=2

5、5(1) x2 + 2x 4=09 2x2-x-2=0;(5) x2-x-6=0;(6) (x-1)2=3x(x-1)練習1.已知方程x2+kx 3=0一個根是一3,求它的另一個根及k的值練習2.若x2- 2x與2x - 4互為相反數(shù)，則x的值為（）1 1A. 2B、2C、±2 D、±2練習3.已知一元二次方程x2 + 2x8=0的一根是2,則另一個根是 .練習4.若關于x的一元二次方程（m-1） x2+x+n2+2m-3=0有一根為0,則m的值是.練習5.等腰三角形的底和腰是方程x2 6x 8 0的兩根，則這個三角形的周長是 .例2.若關于x的一元二次方程x2+ （2k+

6、1） x+2 k2=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是練習6.若關于x的方程kx2 2x1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k>1B. k>1 且 kw0C. k<1D. k<1 且 kw0中考鏈接：（2013昆明，6, 3分）一元二次方程2x25x+1=0的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.無法確定（2015昆明，13, 3分）關于x的一元二次方程2x2 4x m 1 0有兩個相等的實數(shù)根，則m=考點3:根與系數(shù)的關系（韋達定理）對于方程 ax2+bx+c=0（aw0）來說，x1 + x2= - , x1 ? x2

7、=-。 aa利用韋達定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如xi2 x22 （xi x2）2 2x1x211 x1 x2xi x2xix2解題小訣竅：當一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另外一個根或未知系數(shù)時，可以用韋達定理例1.若xi,x2是方程x25x+6=0的兩個根，則xi?x2的值是（）A .1B.5C. -5D.6練習1.若xi,x2是方程x2 3x1=0的兩個根，則- 1的值為（）為 x2A.3B.-3C.1D. 133練習2.若xi,x2是方程x2 6x+k1=0的兩個根，且xi2 x22 24,則k的值為(A.8B. 7C.6D.5練習3.關于x的方程kx2 +（k+2）x+

8、 k=0有兩個不相等的實數(shù)根.4求k的取值范圍； 是否存在實數(shù)k使方程的兩個實數(shù)1g的倒數(shù)和等于 0?若存在求出k的值；若不存在說明理由.例2.一元二次方程x2-4x+m=0的一根為2+J5 ,則另一根為.中考鏈接:(2009昆明,A. 54, 3分）一兀二次方程B . -5 Cx? 5x+6= 0的兩根之和為(.6 D . 6(2010 昆明，5, 3 分)元二次方程x2 x 2 0的兩根之積是（A. - 1B. - 2C. 1D. 2（2011昆明，5 , 3分）xi, x2是一元二次方程2x2-7x+4=0的兩根，xi+先與xi?x2的值分別是（2014昆明，3, 3分）已知xx2是一元

9、二次方程x2-4x+1=0的兩個根，則x1?x2等于（A. 4 B.1C.1D.4考點4: 一元二次方程的應用一、考點講解：1 .構(gòu)建一元二次方程數(shù)學模型，注重解法的選擇與驗根：在具體問題中要注意恰當?shù)倪x擇解法，以保證解題過程簡潔流暢，特別要對方程的解注意檢驗，根據(jù)實際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準確性.常見的模型如下：傳染問題：常見的數(shù)量關系是 a （1+ x） 2= b,其中a表示傳染前患病的人數(shù)，x表示每個人每輪中傳染的人數(shù)，2表示傳染兩輪，b表示傳染結(jié)束后患病的總?cè)藬?shù).例1.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有 64人患了流感.（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制

10、，經(jīng)過三輪傳染后共有多少人被傳染？ 練習1.某生物實驗室需培育一群有益菌.現(xiàn)有6個活體樣本，經(jīng)過兩輪培植后，總和達 2400個，其中每個有益菌每一次可分裂出若干個相同數(shù)目的有益菌.(1)每輪分裂中平均每個有益菌可分裂出多少個有益菌？(2)按照這樣的分裂速度，經(jīng)過三輪培植后有多少個有益菌？與幾何圖形有關的應用：如幾何圖形面積模型、勾股定理等.例1.課外植物小組準備利用學校倉庫旁的一塊空地，開辟一個面積為130平方米的花圃，打算一面利用長為15米的倉庫墻面，三面利用長為 33米的舊圍欄，求花圃的長和寬.H 1-8-1練習1.在寬為20米、長為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下

11、部分作為耕 地，要使耕地面積為540米2,道路的寬應為多少？有關增長率的應用：此類問題是在某個數(shù)據(jù)的基礎上連續(xù)增長（降低）兩次得到新數(shù)據(jù)，常見的數(shù) 量關系是a （1±x） 2 = b,其中a表示增長（降低）前的數(shù)據(jù)，x表示增長率（降低率），b表示后的數(shù)據(jù).（注意：所得解中，增長率不為負，降低率不超過 1）例1.為了改善居民住房條件，我市計劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10平方米提高到12.1平方米，若每年的增長率相同，則年增長率為（）A.9%B.10% C. 11%D.12%練習1.據(jù)媒體報道，我國2009年公民出境旅游總?cè)藬?shù)約5000萬人次，2011年公民

12、出境旅游總?cè)藬?shù)約7200萬人次，若2010年、2011年公民出境旅游總?cè)藬?shù)逐年遞增，請解答下列問題：（1）求這兩年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)的年平均增長率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增長率，請預測2012年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)約多少人次？經(jīng)濟利潤問題：總利潤=（單件銷售額一單件成本）X銷售數(shù)量；或者，總利潤=總銷售額一總成本。 例1.某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā) 現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價 1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈 利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？練習1.愛

13、家超市將進貨單價為40元的商品，以50元銷售時，能賣出500個，已知該商品每漲1元錢 就少賣10個，為了賺8000元的利潤.方法一：設每件童裝應漲價x元方法二：設每件童裝應定價x (x>50)元握手問題：常見的數(shù)量關系是 x(x-1)=a或者lx(x-1)=a, x表示參加握手的人數(shù)2例1.參加一個聚會的每兩個人之間握一次手，共握手 21次，共有多少人參加聚會?練習1.參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場，共有多少個球隊參加比賽?中考鏈接：7644米2,則道路的寬應為多少米？設道路的寬為 x100第7題圖(2013昆明，7, 3分)如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進行綠化，要使綠化面積為米，則可列方程為()A.100 X 80 100x 80x