有限元分析方法第二章彈性力學基礎

1、1第二章第二章彈性力學基礎彈性力學基礎2第二章第二章 彈性力學基礎彈性力學基礎n2.1 彈性力學中的基本假設彈性力學中的基本假設n2.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量n2.3 兩種平面問題兩種平面問題n2.4 彈性力學平面問題的數(shù)學提法彈性力學平面問題的數(shù)學提法n2.5 彈性力學的一般原理彈性力學的一般原理n2.6 虛功原理虛功原理n2.7 勢能原理勢能原理32.1 彈性力學中的基本假設彈性力學中的基本假設n（一）什么是變形體？（一）什么是變形體？n物體內(nèi)任意兩點之間可發(fā)生相對移動物體內(nèi)任意兩點之間可發(fā)生相對移動n（二）變形體的描述（二）變形體的描述彈性力學彈性力學基本變量基本變量確定

2、不變確定不變42.1 彈性力學中的基本假設彈性力學中的基本假設n（二）變形體的描述（二）變形體的描述n1、連續(xù)性假設：物質(zhì)無空隙，可用連、連續(xù)性假設：物質(zhì)無空隙，可用連續(xù)函數(shù)來描述。續(xù)函數(shù)來描述。n物體被組成該物體的介質(zhì)所充滿，沒物體被組成該物體的介質(zhì)所充滿，沒有任何空隙。其應力、應變和位移等有任何空隙。其應力、應變和位移等物理量都是連續(xù)變化的，可用連續(xù)函物理量都是連續(xù)變化的，可用連續(xù)函數(shù)進行描述。數(shù)進行描述。52.1 彈性力學中的基本假設彈性力學中的基本假設n（二）變形體的描述（二）變形體的描述n2、均勻性假設：物體內(nèi)各個位置的物、均勻性假設：物體內(nèi)各個位置的物質(zhì)具有相同特性。質(zhì)具有相同特性

3、。n假設組成物體的材料在物體空間是均假設組成物體的材料在物體空間是均勻分布。即物體內(nèi)的各部分具有相同勻分布。即物體內(nèi)的各部分具有相同的力學性能，如彈性常數(shù)楊氏模量的力學性能，如彈性常數(shù)楊氏模量E和和泊松比泊松比u等。等。 62.1 彈性力學中的基本假設彈性力學中的基本假設n（二）變形體的描述（二）變形體的描述n3、各向同性假設：物體內(nèi)同一位置的、各向同性假設：物體內(nèi)同一位置的物質(zhì)在各個方向上具有相同特性。物質(zhì)在各個方向上具有相同特性。n假設組成物體的材料在物體空間內(nèi)每假設組成物體的材料在物體空間內(nèi)每一點沿不同方向的力學性能相同，物一點沿不同方向的力學性能相同，物體的彈性常數(shù)與方向無關。體的彈性

4、常數(shù)與方向無關。72.1 彈性力學中的基本假設彈性力學中的基本假設n（二）變形體的描述（二）變形體的描述n4、完全彈性（線性彈性）假設：物體、完全彈性（線性彈性）假設：物體的變形與外力作用的關系是線性的，的變形與外力作用的關系是線性的，外力去除后，物體可恢復原狀。外力去除后，物體可恢復原狀。n假設物體受外部因素作用引起變形，假設物體受外部因素作用引起變形，外部因素撤去后能完全恢復而沒有任外部因素撤去后能完全恢復而沒有任何殘余變形。同時假設材料服從胡克何殘余變形。同時假設材料服從胡克定律，即應力與應變成正比。定律，即應力與應變成正比。82.1 彈性力學中的基本假設彈性力學中的基本假設n（二）變形

5、體的描述（二）變形體的描述n5、小變形假設：物體變形遠小于物體的幾、小變形假設：物體變形遠小于物體的幾何尺寸，在建立方程時，可以忽略高階小量何尺寸，在建立方程時，可以忽略高階小量（二階以上）。（二階以上）。n假設物體在載荷或溫度變化等因素作用下各假設物體在載荷或溫度變化等因素作用下各點所產(chǎn)生的位移都很小，使得各點的應變分點所產(chǎn)生的位移都很小，使得各點的應變分量和轉(zhuǎn)角都遠小于量和轉(zhuǎn)角都遠小于1。在建立平衡方程時，。在建立平衡方程時，可用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸。可用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸。92.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量基本量基本量位移位移應變應變應力應力外力外力（載

6、荷）（載荷）102.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量n（一）位移（一）位移n用點的位移描述物體變形，每點的位用點的位移描述物體變形，每點的位移矢量記為移矢量記為n其中，其中，i、j、k為位移的方向矢量為位移的方向矢量kzyxwjzyxvizyxuzyxu,112.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量n（一）位移（一）位移n任一點的位移任一點的位移u可用它在三個坐標軸上可用它在三個坐標軸上的投影的投影u、v、w來表示，記為矩陣形來表示，記為矩陣形式式n沿坐標軸正向為正，沿坐標軸負方向沿坐標軸正向為正，沿坐標軸負方向為負，量綱為為負，量綱為長度長度。 Twvuu 122.2 彈性力學中

7、的基本量彈性力學中的基本量n（二）應變（二）應變n1、工程應變、工程應變6分量分量n工程線應變工程線應變x、y、zn工程切應變工程切應變xy、yz、zxn2、應變?yōu)闊o量綱量，用應變列陣表示、應變?yōu)闊o量綱量，用應變列陣表示Tzxyzxyzyx132.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量yzn（二）應變（二）應變142.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量n（二）應變（二）應變n3、當物體上每個、當物體上每個點的位移都確定之點的位移都確定之后，每個微團的變后，每個微團的變形也就確定了，其形也就確定了，其間的數(shù)學關系，即間的數(shù)學關系，即幾何方程為幾何方程為xwzuywzvxvyuzwyvxu

8、zxyzxyzyx152.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量n（二）應變（二）應變n4、微團變形的核心、微團變形的核心n任意微線段的相對伸長，即任意方向任意微線段的相對伸長，即任意方向的線應變。的線應變。n只有將任意方向線應變都表示的量才只有將任意方向線應變都表示的量才能用來描寫微團的變形。能用來描寫微團的變形。162.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量n（二）應變（二）應變n4、微團變形的核心、微團變形的核心n工程應變中處于任意方向工程應變中處于任意方向 的的線應變?yōu)榫€應變?yōu)門nmln nmlnmlzzyzxyzyyxxzxyxnn212121212121172.2 彈性力學中的

9、基本量彈性力學中的基本量n（三）應力（三）應力n某一點的物質(zhì)微團受周圍物質(zhì)作用力某一點的物質(zhì)微團受周圍物質(zhì)作用力（即內(nèi)力）的集度稱為該點的應力。（即內(nèi)力）的集度稱為該點的應力。n1、應力、應力6分量分量n正應力（法向應力）：正應力（法向應力）：xx、yy、zzn切應力（剪應力）：切應力（剪應力）：xy、yz、zxTzxyzxyzzyyxx182.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量n（三）應力（三）應力n1、應力、應力6分量分量192.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量n（三）應力（三）應力n2、應力分量的正負約定、應力分量的正負約定n當外法線方向與坐標軸正向一致時為正坐當外法線方向

10、與坐標軸正向一致時為正坐標面，如圖中所示。反之，為負坐標面。標面，如圖中所示。反之，為負坐標面。n正坐標面上的應力分量以沿坐標正方向為正坐標面上的應力分量以沿坐標正方向為正，負坐標面上的應力分量以沿坐標的負正，負坐標面上的應力分量以沿坐標的負向為正。向為正。n應力的量綱是應力的量綱是力力/長度長度2202.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量n（三）應力（三）應力n3、剪應力互等原理、剪應力互等原理n作用在兩個互相垂直作用在兩個互相垂直的面上，并且垂直于的面上，并且垂直于該兩個面交線上的剪該兩個面交線上的剪應力互等應力互等 nxy=yxnyz=zynzx=xz 212.2 彈性力學中的基本

11、量彈性力學中的基本量n（三）應力（三）應力n4、柯西應力原理、柯西應力原理n將將6個應力分量表示為任一斜面上的個應力分量表示為任一斜面上的“應力應力矢量矢量”，微團內(nèi)任一微面積，微團內(nèi)任一微面積dA，微面方，微面方向向 ，則，則dA上的力用三個方向的分上的力用三個方向的分量表示。量表示。nmldAnmldFdFdFzzyzxzzyyyxyzxyxxxzyx222.2 彈性力學中的基本量彈性力學中的基本量n（四）外力（載荷）（四）外力（載荷）n作用在物體上的外力分為作用在物體上的外力分為體積力體積力和和表表面力面力。n1、體積力是指分布在物體體積內(nèi)部的力，、體積力是指分布在物體體積內(nèi)部的力，記為

12、記為n2、表面力是作用在物體表面的力。記為、表面力是作用在物體表面的力。記為Tzyxffff Tzyxffff 232.3 兩種平面問題兩種平面問題平面問題平面應力問題平面應變問題242.3.1 平面應力問題平面應力問題n（一）構(gòu)成平面應力問題的條件（一）構(gòu)成平面應力問題的條件n1、幾何條件、幾何條件n所研究的結(jié)構(gòu)是一很薄的等厚度薄板所研究的結(jié)構(gòu)是一很薄的等厚度薄板n2、載荷條件、載荷條件n作用于薄板上的載荷平行于板面且沿厚度作用于薄板上的載荷平行于板面且沿厚度方向均勻分布，而在兩板面上無外力作用方向均勻分布，而在兩板面上無外力作用252.3.1 平面應力問題平面應力問題n（二）平面應力問題（

13、二）平面應力問題nz=0nzy=0nzx=0nx0ny0nxy=yx262.3.1 平面應力問題平面應力問題n（二）平面應力問題（二）平面應力問題n廣義平面應力問題廣義平面應力問題n板厚板厚t可以有小的變化可以有小的變化n表面可以不平，中面必須為平面表面可以不平，中面必須為平面n板邊作用力可以放松到對稱中面分板邊作用力可以放松到對稱中面分布布n所有變量如位移、應變、應力均理所有變量如位移、應變、應力均理解為沿板厚的平均值解為沿板厚的平均值272.3.2 平面應變問題平面應變問題n（一）構(gòu)成平面應變問題的條件（一）構(gòu)成平面應變問題的條件n1、幾何條件、幾何條件n所研究結(jié)構(gòu)是長柱體（理論上假設為無

14、限所研究結(jié)構(gòu)是長柱體（理論上假設為無限長細長結(jié)構(gòu)），且橫截面沿長度方向不變，長細長結(jié)構(gòu)），且橫截面沿長度方向不變，長度尺寸遠大于橫截面尺寸，長度尺寸遠大于橫截面尺寸，Z軸平行于軸平行于柱體母線。柱體母線。n2、載荷條件、載荷條件n作用于長柱體結(jié)構(gòu)上的載荷平行于橫截面作用于長柱體結(jié)構(gòu)上的載荷平行于橫截面且沿縱向且沿縱向Z方向均勻分布，兩端面不受力，方向均勻分布，兩端面不受力，限制限制Z向位移。向位移。282.3.2 平面應變問題平面應變問題n（一）構(gòu)成平面應變問題的條件（一）構(gòu)成平面應變問題的條件292.3.2 平面應變問題平面應變問題n（二）平面應變問題（二）平面應變問題nz=0，zx=0，z

15、y=0，nx0，y0，xy=yx0302.4 平面問題的數(shù)學提法平面問題的數(shù)學提法n2.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n2.4.2 幾何方程幾何方程-應變與位移的關系應變與位移的關系n2.4.3 材料物理方程材料物理方程-應力與應變的應力與應變的關系關系n2.4.4 邊界條件邊界條件n2.4.5 彈性力學平面問題的基本解法彈性力學平面問題的基本解法 312.4 平面問題的數(shù)學提法平面問題的數(shù)學提法n（一）平面問題的特點（一）平面問題的特點n1、基本變量、基本變量8個個nu，v，x，y，xy，x，y，xy，且，且各個變量都是各個變量都是x，y的函數(shù)的函數(shù)n2、平面應力問題還有、平面應力問題還有

16、znz=-（x+y）n3、平面應變問題還有、平面應變問題還有znz=（x+y）322.4 平面問題的數(shù)學提法平面問題的數(shù)學提法n（一）平面問題的特點（一）平面問題的特點n位移矢量：位移矢量：n應變分量：應變分量：n應力分量：應力分量：vjuiuTvuu TxyyxTxyyx332.4 平面問題的數(shù)學提法平面問題的數(shù)學提法n（二）平面問題的基本方程及邊界（二）平面問題的基本方程及邊界條件條件 n1、三類基本方程、三類基本方程n（1）平衡微分方程）平衡微分方程-力的平衡方程力的平衡方程n（2）幾何方程）幾何方程-應變與位移的關系方程應變與位移的關系方程n（3）材料物理方程）材料物理方程-應力與應變

17、的關系應力與應變的關系n2、邊界條件、邊界條件n（1）位移邊界條件）位移邊界條件n（2）外力邊界條件）外力邊界條件342.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n（一）建立平衡關系（一）建立平衡關系n1、沿、沿x方向所有合力的平衡；方向所有合力的平衡；n2、沿、沿y方向所有合力的平衡；方向所有合力的平衡；n3、所有合力關于任一點的力矩平衡。、所有合力關于任一點的力矩平衡。352.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n（二）建立微分方程（二）建立微分方程 n1、設體力集度矢量、設體力集度矢量Tyxfff 362.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n（二）建立微分方程（二）建立微分方程n2、沿、沿x方向所有合

18、力的平衡方向所有合力的平衡0tdxdyftdxdyytdxtdydxxtdyxyxyxyxxxx0 xyxxfyx0 xF372.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n（二）建立微分方程（二）建立微分方程n3、沿、沿y方向所有合力的平衡方向所有合力的平衡0yF0tdxdyftdydxxtdytdxdyytdxyxyxyxyyyy0yyxyfyx382.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n（二）建立微分方程（二）建立微分方程n4、所有合力關于任一點的力矩平衡、所有合力關于任一點的力矩平衡0M02222dytdxdytdxdyydxtdydxtdydxxyxyxyxxyxyxyyxxy392.4.1 平

19、衡微分方程平衡微分方程n（二）建立微分方程（二）建立微分方程n5、歸納后得平面問題的平衡微分方程、歸納后得平面問題的平衡微分方程0 xyxxfyx0yyxyfyxyxxy0 xyxxfyx0yyxyfyx000fxyyxxyyx寫成矩陣形式寫成矩陣形式402.4.2 幾何方程幾何方程n（一）（一）P點變形點變形情況描述情況描述n1、定義、定義x方向的方向的線應變線應變n2、定義、定義y方向的方向的線應變線應變n3、定義夾角的變、定義夾角的變化化PABPABoxyudxuudxxvdyvvdyyvvdxxuudyyBAyxxy412.4.2 幾何方程幾何方程n（二）建立幾何方程（二）建立幾何方程

20、 n1、定義、定義x方向的線應變方向的線應變xudxudxxuuPAPAAPPAPAAPx PABPABoxyudxuudxxvdyvvdyyvvdxxuudyyBAyxxy422.4.2 幾何方程幾何方程n（二）建立幾何方程（二）建立幾何方程 n2、定義、定義y方向的線應變方向的線應變yvdyvdyyvvPBPBBPPBPBBPy PABPABoxyudxuudxxvdyvvdyyvvdxxuudyyBAyxxy432.4.2 幾何方程幾何方程n（二）建立幾何方程（二）建立幾何方程 n3、定義夾角的變化、定義夾角的變化xvdxdxxvAPAAx1 yudydyyuBPBBy1 yuxvxyP

21、ABPABoxyudxuudxxvdyvvdyyvvdxxuudyyBAyxxy442.4.2 幾何方程幾何方程n（二）建立幾何方程（二）建立幾何方程 n4、歸納以上，平面問題的幾何方程為、歸納以上，平面問題的幾何方程為 xuxyuyyuxvxyLuvuxyyxxvyuyvxuxyyx00452.4.3 材料物理方程材料物理方程n廣義胡克定律廣義胡克定律zxyzxyzyxzxyzxyzyxE1200000012000000120000001000100011462.4.3 材料物理方程材料物理方程n（一）對于平面應力問題（一）對于平面應力問題n1、由于三個應力分量、由于三個應力分量z=0，zy

22、=0，zx=0 xyyxxyyxE120001011yxzE472.4.3 材料物理方程材料物理方程n（一）對于平面應力問題（一）對于平面應力問題n2、若以應變表示應力則有、若以應變表示應力則有xyyxxyyxE2100010112482.4.3 材料物理方程材料物理方程n（二）對于平面應變問題（二）對于平面應變問題n1、由于三個應變分量、由于三個應變分量z=0，zx=0，zy=0yxzxyyxxyyxE120001101112492.4.3 材料物理方程材料物理方程n（二）對于平面應變問題（二）對于平面應變問題n2、若以應變表示應力有、若以應變表示應力有xyyxxyyxE1221000110

23、112111502.4.3 材料物理方程材料物理方程n（二）對于平面應變問題（二）對于平面應變問題n3、將、將E換成換成 ，換成換成 ，可將，可將兩種平面問題的應力應變關系寫成如兩種平面問題的應力應變關系寫成如下簡潔的矩陣形式下簡潔的矩陣形式n=D21E1210001011111211ED1,1121EE512.4.4 邊界條件邊界條件n位移邊界條件位移邊界條件n給定位移邊界給定位移邊界Su，物體的位移分量必須，物體的位移分量必須等于邊界上的已知位移，即等于邊界上的已知位移，即uuSSvuu522.4.4 邊界條件邊界條件n力邊界條件力邊界條件n給定面力邊界給定面力邊界S，應力分量與面力分量，

24、應力分量與面力分量應滿足平衡關系，在力邊界點即在該點應滿足平衡關系，在力邊界點即在該點的分布面力的兩個分量為的分布面力的兩個分量為 SyxSfff532.4.5 平面問題的基本解法平面問題的基本解法n8個未知變量個未知變量nu，v，x，y，xy，x，y，xyn8個獨立方程個獨立方程 n平衡微分方程平衡微分方程0 xyxxfyx0yyxyfyxyxxy542.4.5 平面問題的基本解法平面問題的基本解法n8個獨立方程個獨立方程 n幾何方程幾何方程xuxyuyyuxvxy552.4.5 平面問題的基本解法平面問題的基本解法n8個獨立方程個獨立方程 n物理方程物理方程xyyxxyyxE1200010

25、11xyyxxyyxE120001101112562.4.5 平面問題的基本解法平面問題的基本解法n1、以應力分量為基本未知量的應力法求、以應力分量為基本未知量的應力法求解解n由一些只包含應力分量的微分方程和邊界條由一些只包含應力分量的微分方程和邊界條件求出應力分量以后，再用物理方程求出應件求出應力分量以后，再用物理方程求出應變分量，從而用幾何方程求出位移分量。變分量，從而用幾何方程求出位移分量。n2、以位移分量作為基本未知量的位移法、以位移分量作為基本未知量的位移法求解。求解。n由一些只包含位移分量的微分方程和邊界條由一些只包含位移分量的微分方程和邊界條件求出位移分量以后，再用幾何方程求出應

26、件求出位移分量以后，再用幾何方程求出應變分量，從而用物理方程求出應力分量。變分量，從而用物理方程求出應力分量。572.5 彈性力學的一般原理彈性力學的一般原理n圣維南原理圣維南原理n對于作用在物體邊界上一小塊表面上的對于作用在物體邊界上一小塊表面上的外力系可以用靜力等效（主矢量、主矩外力系可以用靜力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于同一小塊表面上的外相同）并且作用于同一小塊表面上的外力系替換，這種替換造成的區(qū)別僅在離力系替換，這種替換造成的區(qū)別僅在離該小塊表面的近處是顯著的，而在較遠該小塊表面的近處是顯著的，而在較遠處的影響可以忽略。處的影響可以忽略。582.5 彈性力學的一般原理彈性力學的一般原理n圣維南原理的要點圣維南原理的要點n一是兩個力系必須是按照剛體力學原則的一是兩個力系必須是按照剛體力學原則的“等效等效”力系；力系；n二是替換所在的表面必須小，并且替換導