因式分解知識點(diǎn)總結(jié)

1、因式分解知識點(diǎn)總結(jié)一、知識梳理1. 因式分解定義：把一個多項(xiàng)式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。即：多項(xiàng)式幾個整式的積例：111()333axbxx ab因式分解是對多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。2. 因式分解的方法：（1）提公因式法：定義： 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這個變形就是提公因式法分解因式。公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式。公因式可以是一個數(shù)字或字母，也可以是一個單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。系數(shù) 取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)字母 取各項(xiàng)都含有的字母指數(shù) 取相同字母的最低次冪例：333234221286a b ca

2、 b ca b c的公因式是解析：從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、-8 、6，它們的最大公約數(shù)為2；字母部分33323422,a b c a b c a b c都含有因式32a b c，故多項(xiàng)式的公因式是232a b c. 提公因式的步驟第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個因式，提公因式時，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個因式。注意： 提取公因式后，對另一個因式要注意整理并化簡，務(wù)必使因式最簡。多項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號的，要先提取符號。例 1：把2233121824a baba b分解因式 . 解析：本題的各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是6，相同字母

3、的最低次冪是ab，故公因式為6ab。解：2233121824a baba b226(234)ababa b例 2：把多項(xiàng)式3(4)(4)xxx分解因式解析：由于4(4)xx，多項(xiàng)式3(4)(4)xxx可以變形為3(4)(4)xx x, 我們可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有公因式（4x）, 所以我們可以提取公因式（4x）后 , 再將多項(xiàng)式寫成積的形式 . 解：3(4)(4)xxx=3(4)(4)xx x=(3)(4)xx例 3：把多項(xiàng)式22xx分解因式解：22xx=2(2 )(2)xxx x（2）運(yùn)用公式法定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。222

4、2233223322.()().2().()().()()aabab abbabbabcabab aabbdabab aabb逆用平方差公式：逆用完全平方公式：a逆用立方和公式：（拓展）逆用立方差公式：（拓展）注意：公式中的字母可代表一個數(shù)、一個單項(xiàng)式或一個多項(xiàng)式。選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看， 若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式可考慮平方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮完全平方公式。例 1：因式分解21449aa解：21449aa=2(7)a例 2：因式分解222 ()()aa bcbc解：222 ()()aa bcbc=2()abc（3）分組分解法（拓展）將多項(xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解；例：把多

5、項(xiàng)式1abab分解因式解：1abab=()(1)abab=(1)(1)(1)(1)a bbab將多項(xiàng)式分組后能運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解. 例：將多項(xiàng)式2221aabb因式分解解：2221aabb=222(2)1()1(1)(1)aabbababab（4）十字相乘法（形如2()()()xpq xpqxpxq形式的多項(xiàng)式，可以考慮運(yùn)用此種方法）方法：常數(shù)項(xiàng)拆成兩個因數(shù)pq和，這兩數(shù)的和pq為一次項(xiàng)系數(shù)2()xpq xpqxpxq2()()()xpq xpqxp xq例：分解因式230 xx分解因式252100 xx補(bǔ)充點(diǎn)詳解補(bǔ)充點(diǎn)詳解我們可以將 -30 分解成 pq 的形式，我們可以將100 分解成

6、pq 的形式，使 p+q=-1, pq=-30, 我們就有p=-6, 使 p+q=52, p q=100, 我們就有 p=2, q=5 或 q=-6,p=5 。 q=50或 q=2,p=50 。所 以 將 多 項(xiàng) 式2()xpq xpq可 以 分所 以 將 多 項(xiàng) 式2()xpq xpq可以分解為()()xpxq解為()()xpxqx5 x2 x-6 x50 230 xx(6)(5)xx252100 xx(50)(2)xx3. 因式分解的一般步驟：如果多項(xiàng)式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項(xiàng)式就考慮運(yùn)用公式法；若是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法，最后運(yùn)用十字相乘法分解因式。因此

7、，可以概括為：“一提” 、 “二套”、 “三分組”、 “四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解， 若題目沒有明確指出在哪個范圍內(nèi)因式分解，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個整式的積的形式。二、例題解析提公因式法提取公因式：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，一般要將公因式提到括號外面. 確定公因式的方法：系數(shù)取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母 ( 或多項(xiàng)式因式) 取各項(xiàng)都含有的字母( 或多項(xiàng)式因式 ) 的最低次冪 . 【例1】 分解因式：2121510nna abab ba(n為正整數(shù) ) 212146nmnmabab(m、n

8、為大于 1 的自然數(shù) ) 【鞏固】 分解因式：2122()()()2()()nnnxyxz xyyxyz ，n為正整數(shù) . 【例2】 先化簡再求值，2y xyxyxyx ，其中2x，12y【鞏固】 求代數(shù)式的值：22(32) (21)(32)(21)(21)(23 )xxxxxxx ，其中23x. 【例3】 已知：2bca，求22221()()(222 )33333a abcbcabcbca 的值 . 【鞏固】 分解因式：322()()()()()xxyzyzax z zxyx y zxyxza . 公式法平方差公式：22()()ababab公式左邊形式上是一個二項(xiàng)式，且兩項(xiàng)的符號相反；每一項(xiàng)都可以化成某個數(shù)或式的平方形式；右邊是這兩個數(shù)或式的和與它們差的積，相當(dāng)于兩個一次二項(xiàng)式的積. 完全平方公式：2222()aabbab2222()aabbab左邊相當(dāng)于一個二次三項(xiàng)式；左邊首末兩項(xiàng)符號相同且均能寫成某個數(shù)或式的完全平方式；左邊中間一項(xiàng)是這兩個數(shù)或式的積的