直線系、圓系方程

1、直線系、圓系方程1、過定點(diǎn)直線系方程在解題中的應(yīng)用過定點(diǎn)，的直線系方程：A,B不同時(shí)為0.例 1 求過點(diǎn)圓的切線的方程分析：此題是過定點(diǎn)直線方程問題，可用定點(diǎn)直線系法.解析：設(shè)所求直線的方程為其中不全為零，那么整理有，直線l與圓相切，圓心到直線l的距離等于半徑1，故，整理，得，即這時(shí)，或故所求直線l的方程為或點(diǎn)評(píng)：對(duì)求過定點(diǎn)，的直線方程問題，常用過定點(diǎn)直線法，即設(shè)直線方程為: ，注意的此方程表示的是過點(diǎn)的所有直線即直線系，應(yīng)用這種直線方程可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，在實(shí)際解答問題時(shí)可以防止分類討論，有效地防止解題出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解的現(xiàn)象練習(xí)：過點(diǎn)作圓的切線l，求切線l的方程解：設(shè)所求直線

2、l的方程為其中不全為零，那么整理有，直線l與圓相切，圓心到直線l的距離等于半徑1，故，整理，得，即這時(shí)，或故所求直線l的方程為或2、過兩直線交點(diǎn)的直線系方程在解題中的應(yīng)用過直線：不同時(shí)為0與：不同時(shí)為0交點(diǎn)的直線系方程為：，為參數(shù).例2 求過直線：與直線：的交點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.分析：此題是過兩直線交點(diǎn)的直線系問題，可用過交點(diǎn)直線系求解.解析：設(shè)所求直線方程為：，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，那么=0，那么=1，此時(shí)所求直線方程為：；當(dāng)所求直線不過原點(diǎn)時(shí)，令=0，解得=，令=0，解得=，由題意得，=，解得，此時(shí)，所求直線方程為：.綜上所述，所求直線方程為：或.3、求直線系方程過定點(diǎn)問題例3

3、證明：直線(是參數(shù)且R)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).分析：此題是證明直線系過定點(diǎn)問題，可用恒等式法和特殊直線法.解析：恒等式法直線方程化為:,R, ，解得，直線(是參數(shù)且R)過定點(diǎn)1,1.特殊直線法取=0，=1得，聯(lián)立解得，將1,1代入檢驗(yàn)滿足方程，直線(是參數(shù)且R)過定點(diǎn)1,1.點(diǎn)評(píng)：對(duì)證明直線系過定點(diǎn)問題，常用方法有恒等式法和特殊直線法，恒等式法就是將直線方程化為關(guān)于參數(shù)的恒等式形式，利用參數(shù)屬于R，那么恒等式個(gè)系數(shù)為0，列出關(guān)于的方程組，通過解方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo);特殊直線法，去兩個(gè)特殊參數(shù)值，得到兩條特殊直線，通過接著兩條特殊直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并代入原直線系方程檢驗(yàn)，即得定點(diǎn).一、常見的圓系

4、方程有如下幾種：1、以為圓心的同心圓系方程：與圓同心的圓系方程為：2、過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為：3、過兩圓:0，:交點(diǎn)的圓系方程為：0-，此圓系不含:特別地，當(dāng)時(shí)，上述方程為根軸方程兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程注：為了防止利用上述圓系方程時(shí)討論圓，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:二、圓系方程在解題中的應(yīng)用：1、利用圓系方程求圓的方程：例 求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。例、求經(jīng)過兩圓32和2交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程解：方法3：由題可設(shè)所求圓的方程為：3220，0在所求

5、的圓上，有2從而故所求的圓的方程為： 即7。練習(xí)：求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn),并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.1解: 構(gòu)造方程 x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0即 (1+)x2+(1+)y2+6x+6y-(4+28)=0此方程的曲線是過兩圓交點(diǎn)的圓,且圓心為當(dāng)該圓心在直線x-y-4=0上時(shí),即 所求圓方程為 x2+y2-x+7y-32=0 2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例21：求過兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。分析：此題假設(shè)先聯(lián)立方程求交點(diǎn)，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運(yùn)算量較大。自

6、然選用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程簡(jiǎn)便易行。為了防止討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。那么問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點(diǎn)且面積最小的圓的問題。解：圓和的公共弦方程為過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為，即依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，那么兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，那么代回圓系方程得所求圓方程例2; 求經(jīng)過直線：24與圓：241的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程解：設(shè)圓的方程為：24124即14那么，當(dāng)時(shí)，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：261237練習(xí)：1求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+7=0的兩個(gè)交點(diǎn)且過原點(diǎn)的圓的方程。常數(shù)項(xiàng)為零

7、2求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且圓心在x軸上的圓的方程。圓心的縱坐標(biāo)為零3求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且面積最小的圓方程。半徑最小或圓心在直線上4求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且與x軸相切的圓的方程；并求出切點(diǎn)坐標(biāo)。圓心到x軸的距離等于半徑3、利用圓系方程求參數(shù)的值：例3：圓與直線相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)，求實(shí)數(shù)m的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于m的方程，最后驗(yàn)證得解。倘假設(shè)充分挖掘此題的幾何關(guān)系，不難

8、得出O在以PQ為直徑的圓上。而P，Q剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。解：過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為：，即 .依題意，O在以PQ 為直徑的圓上，那么圓心顯然在直線上，那么，解之可得又滿足方程，那么，故。4、利用圓系方程判斷直線與圓的位置關(guān)系：例4 圓系24101020，-中，任意兩個(gè)圓的位置關(guān)系如何？解：圓系方程可化為：10202410與無關(guān)即易知圓心，-到直線25的距離恰等于圓的半徑故直線25與圓相切，即上述方程組有且只有一個(gè)解，從而圓系方程所表示的任意兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故它們的關(guān)系是外切或內(nèi)切總結(jié)：在求解過直線與圓，圓與圓交點(diǎn)的圓有關(guān)問題時(shí)

9、，假設(shè)能巧妙使用圓系方程，往往能優(yōu)化解題過程，減少運(yùn)算量，收到事半功倍的效果。練習(xí)：一、巧用過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程求圓方程例1求過圓：+1=0與圓：+=0的交點(diǎn)，圓心在直線：的圓的方程.分析：此題是求過兩圓的交點(diǎn)的圓的方程問題，用過兩圓的交點(diǎn)的圓系方程求解.解析：設(shè)所求圓的方程為：+1+)=0().整理得 =0，所以所求圓的圓心為，由知所求圓的圓心在直線：上，所以0，解得，=，代入圓系方程整理得，所以，所求圓的方程為.點(diǎn)評(píng)：對(duì)過兩圓交點(diǎn)的圓的問題，用過兩圓的交點(diǎn)的圓系方程求解，可以優(yōu)化解題過程，注意過交點(diǎn)的圓系方程表示的圓包括哪一個(gè)圓不包括那一個(gè)圓，且參數(shù)不等于這一條件，同學(xué)們應(yīng)很好掌握這一方

10、法.二、巧用過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程求直線方程例2圓O：和圓外一點(diǎn)A3，4，過點(diǎn)A作圓O的切線，切點(diǎn)分別為C、D，求過切點(diǎn)C、D的直線方程.分析：此題是求過切點(diǎn)的直線方程，由切線性質(zhì)知，切點(diǎn)在以線段AO為直徑的圓上，故直線CD是以線段AO為直徑的圓與圓O的公共弦所在的直線方程，故可用過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程求此直線方程.解析：由切線性質(zhì)知，切點(diǎn)C、D在以線段AO為直徑的圓上，由題知，O(1,)，|AO|=，線段AO的中點(diǎn)為2，1，以線段AO為直徑的圓的方程為，即，圓O的方程與以AO為直徑的圓的方程相減整理得：+3=0，直線CD的方程為+3=0.點(diǎn)評(píng)：對(duì)過圓切點(diǎn)的直線方程問題，可通過構(gòu)造圓，利用過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程求直線方程，注意過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程參數(shù)為何值時(shí)表示圓，參數(shù)為何值時(shí)表示直線.例如：求與圓x2+y24x2y20=0切于A(1,3)，且過B(2,0)的圓的方程。解：過A(1,3)的圓的切線為：3x+4y+15=0與圓構(gòu)造圓系：x2+y24x2y20+l(3x+4y+15)=0曲線過B(2,0)l=所求的方程為：7x2+7y24x+18y20=0例2平面上有兩個(gè)圓，它們的方程分別是x2+y2=16和x2+y26x+8y+24=0，求這兩個(gè)圓的內(nèi)公切線方程。分析：由x2+y26x+8y+24=0Þ(x3)2+(y+4)2=1,顯然這兩圓的關(guān)系是外切。解： x2+y