高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二 第1講 平面向量 (2)

1、1 / 18 第第 1 講講 平面向量平面向量 考情分析考情分析 1.平面向量是高考的熱點和重點，命題突出向量的基本運算與工具性，在解答題中常與三角函數(shù)、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題相結(jié)合，主要以條件的形式出現(xiàn)，涉及向量共線、數(shù)量積等.2.常以選擇題、填空題形式考查平面向量的基本運算，中低等難度；平面向量在解答題中一般為中等難度 考點一 平面向量的線性運算 核心提煉 1平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”對平面向量減法應(yīng)抓住“共起點，連兩終點，指向被減向量的終點”，再觀察圖形對向量進行等價轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果 2在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當作一

2、個字母看待即可，其運算方法類似于代數(shù)中合并同類項的運算，在計算時可以進行類比 例 1 (1)如圖所示，ad 是abc 的中線，o 是 ad 的中點，若coabac，其中 ，r，則 的值為( ) a12 b.12 c14 d.14 2 / 18 答案 a 解析 由題意知，co12(cdca)1212cbca 14(abac)12ca14ab34ac， 則 14，34，故 12. (2)已知 e1，e2是不共線向量，ame12e2，bne1e2，且 mn0.若 ab，則mn_. 答案 2 解析 ab，m(1)2n，mn2. (3)a，b，c 是圓 o 上不同的三點，線段 co 與線段 ab 交于點

3、 d，若ocoaob(r，r)，則 的取值范圍是_ 答案 (1，) 解析 由題意可得，odkockoakob(0k1，即 的取值范圍是(1，) 易錯提醒 在平面向量的化簡或運算中，要根據(jù)平面向量基本定理恰當?shù)剡x取基底，變形要有方向，不能盲目轉(zhuǎn)化 跟蹤演練 1 (1)如圖，在平行四邊形 abcd中，e，f分別為邊 ab，bc的中點，連接 ce，df，交于點 g.若cgcdcb(，r)，則_. 答案 12 解析 由題意可設(shè)cgxce(0 x1)， 3 / 18 則cgx(cbbe)xcb12cdx2cdxcb. 因為cgcdcb，cd與cb不共線， 所以 x2，x，所以12. (2)如圖，在扇形

4、oab 中，aob3，c 為弧 ab 上的一個動點，若ocxoayob，則 x3y的取值范圍是_ 答案 1,3 解析 設(shè)扇形的半徑為 1，以 ob 所在直線為 x 軸，o 為坐標原點建立平面直角坐標系(圖略)， 則 b(1,0)，a12，32，c(cos ，sin ) 其中boc，03. 則oc(cos ，sin )x12，32y(1,0)， 即 x2ycos ，32xsin ， 解得 x2 3sin 3，ycos 3sin 3， 故 x3y2 3sin 33cos 3sin 3cos 33sin ，03. 4 / 18 令 g()3cos 33sin ， 易知 g()3cos 33sin 在

5、0，3上單調(diào)遞減， 故當 0時，g()取得最大值為 3， 當 3時，g()取得最小值為 1， 故 x3y的取值范圍為1,3 考點二 平面向量的數(shù)量積 核心提煉 1若 a(x，y)，則|a| a a x2y2. 2若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|ab| (x2x1)2(y2y1)2. 3若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，為 a與 b 的夾角， 則 cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22. 例 2 (1)(2020 全國)已知向量 a，b 滿足|a|5，|b|6，a b6，則 cosa，ab等于( ) a3135 b1935 c.1735 d.1935

6、答案 d 解析 |ab|2(ab)2a22a bb2 25123649， |ab|7， cosa，aba (ab)|a|ab|a2a b|a|ab| 5 / 18 256571935. (2)已知扇形 oab 的半徑為 2，圓心角為23，點 c 是弧 ab 的中點，od12ob，則cd ab的值為( ) a3 b4 c3 d4 答案 c 解析 如圖，連接 co， 點 c是弧 ab 的中點， coab， 又oaob2，od12ob，aob23， cd ab(odoc) ab 12ob ab12ob (oboa) 12oa ob12ob2 1222121243. (3)已知在直角梯形 abcd 中

7、，abad2cd2，adc90 ，若點 m 在線段 ac 上，則|mbmd|的取值范圍為_ 答案 2 55，2 2 解析 以 a為坐標原點，ab，ad 所在直線分別為 x軸，y 軸， 建立如圖所示的平面直角坐標系， 6 / 18 則 a(0,0)，b(2,0)，c(1,2)，d(0,2)， 設(shè)amac(01)，則 m(，2)， 故md(，22)，mb(2，2)， 則mbmd(22，24)， |mbmd| (22)2(24)2 2035245，01， 當 0 時，|mbmd|取得最大值為 2 2， 當 35時，|mbmd|取得最小值為2 55， |mbmd|2 55，2 2 . 易錯提醒 兩個向

8、量的夾角的范圍是0，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量的夾角可能是 0 或 的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不僅要求其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線 跟蹤演練 2 (1)(2019 全國)已知非零向量 a，b 滿足|a|2|b|，且(ab)b，則 a 與 b 的夾角為( ) a.6 b.3 c.23 d.56 答案 b 解析 方法一 設(shè) a與 b的夾角為 ， 因為(ab)b，所以(ab) ba b|b|20， 又因為|a|2|b|，所以 2|b|2cos |b|20， 7 / 18 即 cos 12， 又 0，所以 3，故選 b. 方法二 如圖，令oaa，obb，則baoaob

9、ab. 因為(ab)b，所以oba2， 又|a|2|b|，所以aob3， 即 a 與 b 的夾角為3，故選 b. (2)(2020 新高考全國)已知 p 是邊長為 2 的正六邊形 abcdef 內(nèi)的一點，則ap ab 的取值范圍是( ) a(2,6) b(6,2) c(2,4) d(4,6) 答案 a 解析 如圖，取 a 為坐標原點，ab 所在直線為 x軸建立平面直角坐標系， 則 a(0,0)，b(2,0)，c(3， 3)，f(1， 3) 設(shè) p(x，y)，則ap(x，y)，ab(2,0)，且1x3. 所以ap ab(x，y) (2,0)2x(2,6) (3)設(shè) a，b，c 是半徑為 1 的圓

10、 o 上的三點，且oaob，則(ocoa) (ocob)的最大值8 / 18 是( ) a1 2 b1 2 c. 21 d1 答案 a 解析 如圖，作出od，使得oaobod.則(ocoa) (ocob)oc2oa ocob ocoa ob1(oaob) oc1od oc，由圖可知，當點 c 在 od 的反向延長線與圓 o的交點處時，od oc取得最小值，最小值為 2，此時(ocoa) (ocob)取得最大值，最大值為 1 2.故選 a. 專題強化練專題強化練 一、單項選擇題 1已知四邊形 abcd 是平行四邊形，點 e為邊 cd 的中點，則be等于( ) a12abad b.12abad c

11、.ab12ad d.ab12ad 答案 a 解析 由題意可知，bebcce12abad. 2(2020 廣州模擬)加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分，某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為3，每只胳膊的拉力大小均為 400 n，則該學(xué)生的體重(單位：kg)約為(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為 g10 m/s2，31.732)( ) 9 / 18 a63 b69 c75 d81 答案 b 解析 設(shè)該學(xué)生的體重為 m，重力為 g，兩臂的合力為 f，則|g|f|，由余弦定理得|f|2400240022400400cos 2334002，|f|4003，|g|m

12、g400 3，m40 369 kg. 3已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(，1)，若 c(2ab)，則 等于( ) a2 b1 c12 d.12 答案 a 解析 a(1,2)，b(2，2)，2ab(4,2)，又 c(，1)，c(2ab)，240，解得 2，故選 a. 4(2020 濰坊模擬)在平面直角坐標系 xoy 中，點 p( 3，1)，將向量op繞點 o 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)2后得到向量oq，則點 q的坐標是( ) a( 2，1) b(1， 2) c( 3，1) d(1， 3) 答案 d 解析 由 p( 3，1)，得 p2cos 6，2sin 6， 將向量op繞點 o按逆時針方向旋轉(zhuǎn)2

13、后得到向量oq， q2cos62，2sin62， 又 cos62sin 612， 10 / 18 sin62cos 632， q(1， 3) 5(2020 泰安模擬)如圖，在abc 中，點 o 是 bc 的中點，過點 o 的直線分別交直線ab，ac于不同的兩點 m，n，若abmam，acnan，則 mn等于( ) a0 b1 c2 d3 答案 c 解析 如圖，連接 ao，由 o 為 bc的中點可得，ao12(abac) m2amn2an， m，o，n三點共線， m2n21. mn2. 6在同一平面中，addc，be2ed.若aemabnac(m，nr)，則 mn 等于( ) a.23 b.34

14、 c.56 d1 答案 a 解析 由題意得，ad12ac，de13db，故aeadde12ac13db12ac13(abad)11 / 18 12ac13ab12ac13ab13ac，所以 m13，n13，故 mn23. 7若 p為abc所在平面內(nèi)一點，且|papb|papb2pc|，則abc的形狀為( ) a等邊三角形 b等腰三角形 c直角三角形 d等腰直角三角形 答案 c 解析 |papb|papb2pc|，|ba|(papc)(pbpc)|cacb|，即|cacb|cacb|，兩邊平方整理得，ca cb0，cacb，abc 為直角三角形故選 c. 8已知 p 是邊長為 3 的等邊三角形

15、abc 外接圓上的動點，則|papb2pc的最大值為( ) a2 3 b3 3 c4 3 d5 3 答案 d 解析 設(shè)abc 的外接圓的圓心為 o， 則圓的半徑為33212 3， oaoboc0， 故papb2pc4pooc. 又|4pooc2518po oc512475， 故|papb2pc5 3， 當po，oc同向共線時取最大值 9如圖，圓 o是邊長為 2 3的等邊三角形 abc的內(nèi)切圓，其與 bc 邊相切于點 d，點 m為圓上任意一點，bmxbaybd(x，yr)，則 2xy 的最大值為( ) 12 / 18 a. 2 b. 3 c2 d2 2 答案 c 解析 方法一 如圖，連接 da，

16、以 d 點為原點，bc 所在直線為 x 軸，da 所在直線為 y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系設(shè)內(nèi)切圓的半徑為 r，則圓心為坐標(0，r)， 根據(jù)三角形面積公式，得12labcr12abacsin 60 (labc為abc 的周長)，解得 r1. 易得 b( 3，0)，c( 3，0)，a(0,3)，d(0,0)， 設(shè) m(cos ，1sin )，0,2)， 則bm(cos 3，1sin )，ba( 3，3)，bd( 3，0)， 故bm(cos 3，1sin )( 3x 3y,3x)， 故 cos 3x 3y 3，sin 3x1， 則 x1sin 3，y3cos 3sin 323， 所以 2x

17、y3cos 3sin 34323sin3432. 當 6時等號成立故 2xy的最大值為 2. 13 / 18 方法二 因為bmxbaybd， 所以|bm|23(4x22xyy2)3(2xy)22xy 由題意知，x0，y0， |bm|的最大值為(2 3)2( 3)23， 又(2xy)242xy，即(2xy)242xy， 所以 334(2xy)29，得 2xy2， 當且僅當 2xy1時取等號 二、多項選擇題 10(2020 長沙模擬)已知 a，b 是單位向量，且 ab(1，1)，則( ) a|ab|2 ba與 b垂直 ca與 ab 的夾角為4 d|ab|1 答案 bc 解析 |ab| 12(1)2

18、 2，故 a 錯誤；因為 a，b 是單位向量，所以|a|2|b|22a b112a b2，得 a b0，a 與 b 垂直，故 b 正確；|ab|2a2b22a b2，|ab|2，故 d錯誤；cosa，aba (ab)|a|ab|a2a b1 222，所以 a 與 ab 的夾角為4，故 c正確 11設(shè)向量 a(k,2)，b(1，1)，則下列敘述錯誤的是( ) a若 k2，則 a 與 b 的夾角為鈍角 b|a|的最小值為 2 14 / 18 c與 b 共線的單位向量只有一個為22，22 d若|a|2|b|，則 k2 2或2 2 答案 cd 解析 對于 a 選項，若 a與 b 的夾角為鈍角，則 a

19、b0且 a與 b不共線，則 k20且 k2，解得 k2 且 k2，a選項正確；對于 b選項，|a| k24 42，當且僅當 k0時等號成立，b 選項正確；對于 c 選項，|b| 2，與 b 共線的單位向量為b|b|，即與 b 共線的單位向量為22，22或22，22，c 選項錯誤；對于 d 選項，|a|2|b|2 2， k242 2，解得 k 2，d選項錯誤 12已知abc 是邊長為 2 的等邊三角形，d，e 分別是 ac，ab 上的兩點，且aeeb，ad2dc，bd與 ce交于點 o，則下列說法正確的是( ) a.ab ce1 b.oeoc0 c|oaoboc|32 d.ed在bc方向上的投影

20、為76 答案 bcd 解析 因為aeeb，abc是等邊三角形， 所以 ceab，所以ab ce0，選項 a錯誤； 以 e 為坐標原點，ea，ec的方向分別為 x 軸，y 軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示， 15 / 18 所以 e(0,0)，a(1,0)，b(1,0)，c(0， 3)，d13，2 33， 設(shè) o(0，y)，y(0， 3)， 則bo(1，y)，do13，y2 33， 又bodo，所以 y2 3313y，解得 y32， 即 o 是 ce的中點，oeoc0，所以選項 b 正確； |oaoboc|2oeoc|oe|32， 所以選項 c正確； ed13，2 33，bc(1， 3)，e

21、d在bc方向上的投影為ed bc|bc|132276，所以選項 d 正確 三、填空題 13(2020 全國)已知單位向量 a，b 的夾角為 45 ，kab 與 a垂直，則 k_. 答案 22 解析 由題意知(kab) a0，即 ka2b a0. 因為 a，b為單位向量，且夾角為 45 ， 所以 k1211220，解得 k22. 14在abc 中，ab1，abc60 ，ac ab1，若 o 是abc 的重心，則bo ac16 / 18 _. 答案 5 解析 如圖所示，以 b 為坐標原點，bc所在直線為 x軸，建立平面直角坐標系 ab1，abc60 ， a12，32.設(shè) c(a,0) ac ab1， a12，3212，32 12a12341，解得 a4. o 是abc 的重心，延長 bo交 ac 于點