光學習題課（精編版）

1、基本知識幾何光學習題課15在經典物理的范疇內，光是電磁播，其傳播規(guī)律由麥克斯韋方程組來描述，但由于光的波長很短，在研究的問題中涉及到的尺度遠大于光波波長時，光的波動性可以忽略，用光線來取代波線，由此建立起來的光傳播理論就是所謂的幾何光學。幾何光學在方法上是幾何的， 在物理上不涉及光的本質。1. 折射率 幾何光學的三個定律 全反射折射率的定義： nc ，c 是光在真空中的速度， v 是v光在該種媒質中的傳播速度；nn 2n相對折射率的定義：12。1光的直線傳播定律：在均勻媒質中光沿直線傳播。光的反射和折射定律： （1）反射線和折射線都在入射面內， 并分居在法線的兩側；（2）反射角等于入射角；（3

2、）折射角與入射角的正弦比與入射角無關，是一個 與媒質和光的波長有關的常數(shù)（相對折射率）。（斯涅耳定律）全反射：當光線從光密媒質（n2 ）射向光疏媒質（n1n2 ）時 ， 當 入 射 角 等 于 或 大 于 某 一 角 度 時 （ 臨 界 角1i csinn2 /n1 ），折射光線消失， 光線全部反射的現(xiàn)象。2. 棱鏡與色散偏向角：i1i1 '， i1 ：入射角，i1 '：出射角；最小偏向角產生的充要條件：i1i1 ' 或i2i2 '作用：用來測透明介質的折射率：nsin(min2) / sin(2 ) 。色散產生的原因：介質的折射率n是光束波長的函數(shù)，nn()棱

3、鏡可以用做光譜儀，進行光譜分離。3. 光程費馬原理光程：(qp)pndlq，光程可以理解為在相同的時間內光線在真空中傳播的距離。注意，光程是一個非常重要的一個概念，在后面的課程中研究光的干涉、衍射、位相延遲時要經常用到。費馬原理： qp 兩點間光線的實際路徑是光程平穩(wěn)的路徑。(qp) 為數(shù)學表達式為：pndl0q注意：費馬原理的實質是揭示光線在媒質中沿什么路徑傳播。4. 光的可逆性原理當光線的方向反轉時，光線將沿著同一路徑傳播。5. 共軸球面組的傍軸成像（1）、物（像）點、物（像）的焦點、物象的虛實，物（像）正立倒立的概念；（2）、符號法則：對于折射成像：a、入射光線從左到右；b 若物點在球面

4、鏡頂點之左，則物距大于零，若物點在球面鏡頂點之右，則物距小于零；c、若像點在球面鏡頂點之右，則像距大于零，若像點在球面鏡頂點之左，則像距小于零；d、球心在球面鏡頂點之左， （凹面鏡），半徑小于零，球心在球面鏡頂點之右， （凸面鏡），半徑大于零；e、從光軸轉到光線的方向為逆時鐘方向，交角為正，順時鐘方向為負；f 、從法線轉到光線的方向為逆時鐘方向，交角為正，順時鐘方向為負；g、對于反射成像，若像點在球面鏡頂點之右，則像距小于零， 若像點在球面鏡頂點之左， 則像距大于零。n'n（3） 、反射球面鏡物像距公式：s'sn'nr；f 'f或：1， 其中： fnr， fn&

5、#39; rs'sn'nn'n橫向放大率：vns 'n ' s112（4） 、反射球面鏡物像距公式：s'sr；11或： s's12f，其中： ff 'rs '橫向放大率： vs（5） ）、注意上述各物理量的符號以及正負與物象的虛實，正立倒立的關系。放大率為負值，成倒立的像；放大率為正值，成倒立的像物（像）距大于零:實物（像）；物（像）距小于零：虛物（像）。放大率絕對值大于1，像放大；放大率絕對值小于 1，像縮小。（6） 、球面反射鏡的作圖規(guī)律（適用于平面鏡）：(a) 平行于主光軸的近軸入射光線，經球面反射后， 其反射光線通

6、過主焦點；(b) 過主焦點的入射光線，經球面反射后，其反射光線和主光軸平行；(c) 通過或指向球面曲率中心的入射光線，在投射到球面后其反射光線沿原方向返回；(d) 過反射鏡頂點的入射光線，其反射光線位于以主光軸為法線的另一側，反射角等于入射角。6. 球面折射鏡的作圖規(guī)律： 與球面反射鏡的作圖規(guī)律相似，只是物像的焦距不一樣。7. 薄透鏡透鏡是由兩個折射球面鏡組成的光具組，兩個球面之間是透明的媒質。兩個折射球面的成像公式：f1 's1 'f11s1，f 2 's2 'f 21s2s2s1 'd ，其中 d 為組成透鏡兩個球面頂點之間的距離，對于薄透鏡，d0

7、。f 'f1薄透鏡的物像距公式：s's，f其中：nnln r1f 'n'nl，r2n'nln r1n'nl，r2n 、 n'、 nl 分別為物方空間、像方空間、透鏡媒質的折射率。當 nn'1的情況下，ff 'n(nl1)( 11 )r1r2（磨鏡者公式），111物像距公式變?yōu)椋簊'sf。薄透鏡的物像距公式中各物理量的符號和作圖方法與球面鏡的規(guī)則一樣。習題分析與解答1 、 （ p25:16題） 極限法測液體折射率的裝置如圖所示， abc是直角棱鏡，其折射率ng 為已知，將待測液體涂一薄層于其上表面ab，覆蓋一塊毛玻璃

8、。 用擴展光源在掠入射的方向照明。從棱鏡的ac 面出射的光線的折射角有一下限i ' （用望遠鏡觀察，則在視場中出現(xiàn)有明顯分界線的半明半暗區(qū)）試證明待測液體的折射率n 可按下式算出：nngsin 2 i' 。用這種方法測液體的折射率，測量范圍受什么限制。 分析與解答 ：在 ab面入射角較小的光線，在ac面出射時，折射角較大， 以折射角下限i' 出射的光線61在 ab面的入射角為90 0 ，對于 e 點，14ng sinng sindefedfsini' 對于 d點，nsin900又edf900def所以nng sinedfng cosdefn1sin2gdefng

9、1(sini')2ngn2gsin2 i 'ng（這里毛玻璃的作用是增加散射）4、（p55:1題） 根據(jù)反射定律推導球面反射鏡的物像距公式和焦距公式。（以凹面球面反射鏡為例） 分析與解答 ：先作出對應的光路圖，并注意各量的正負號的選取。如圖iu ,i 'u 'h在傍軸條件下，rhhus ， u's'又由反射定律知i 'i所以，uu 'hhhhrss 'r112即： s 'sr令 s'r，則： sf2r令 s，則： s'f '2即： ff 'r25、（p55:3 題） 凹面鏡的半徑為4

10、0cm，物體放在何處成兩倍的實像？放在何處成兩倍的虛像？ 分析與解答 ：首先要搞清楚這里講的凹面鏡成像是反射還是折射成像？ 一般來說，題中沒有指明的話，是指反射鏡成像， 對于凹面鏡，r 40cm。成兩倍的實像，s '0， vs' / s2 ，所以由凹面反射鏡成像公式：可得： s11s 's1s '22r30cm（像是倒立的）。（如果實像是正立的，由于s '0， v0 則要求s0，那意味著是虛物成像，不合題意。 ）成兩倍的虛像，s '0， vs' / s2，可以求得： s1s '210cm（像是正立的）。6 （p55: 4 題） 要

11、把球反射鏡前10cm 處的燈絲成像于3m 處的墻上，鏡形應該是凸的還是凹的？半徑應為多大？這時象放大了多少？ 分析與解答 ：要成像于墻面上，像必須是實像，球反射鏡前的實物要成實像，所以球面反射鏡必須是凹的。由因為 s0、 s '0，所以s 10 cm，s'3m300cm， 由 凹 面 反 射 鏡 成 像 公 式 ：11s 's2r 可得： r1503119 .4 cm放大率： vs' / s30 （像是正立的實像）7.（p55: 6題） 按已約定的正負符號法則（） （）（）（）（）等，標出下列各圖中的物距s 、像距s' 、曲率半徑 r 、光線傾角 u 、

12、 u' 的絕對值。比較各圖中折射率 n 、n' 的大小，指明各圖中的物、像的虛實。(1)(2)(3)(4) 分析與解答 ：(1) s0 、 s'0 、 r0 、 u0、 u'0 、 nn'實物、實像。(2) s0 、 s'0 、 r0 、 u0 、 u'0 、 nn'虛物、實像。(3) s0 、 s'0 、 r0 、 u0、 u'0 、 nn'實物、虛像。(4) s0 、 s'0 、 r0 、 u0 、 u'0、 nn'虛物、虛像。8、（p56: 8 題）若空氣中一均勻球形透明體能將

13、平行光束匯聚于其背面的頂點上，此透明體的折射率應等于到少？ 分析與解答 ：如圖所示， 這是一個折射問題，設空氣的折射率為n（其值取為 1.00 ），均勻球形透明體的折射率為n' ，平行光束照過來，相當于物距s ，匯聚于均勻球形透明體背面的頂點上，相當于像距 s '式：2 r（是實像 s'0 ），則由折射球面物像距公n'ns'sn'nr可得：n'2.00 。9、（p56: 9題） 如圖，一平行平面玻璃的折射率為n ， 厚度為 h ，點光源 q 發(fā)出的傍軸光束（接近于正入射的光束）經上表面成像于q1 ' ; 穿過上表面后在下表面反射，

14、在從上表面折射的光束成像于q2 ' 。證明q1 ' 與q2 ' 之間的距離為2h / n。 分析與解答 ：（1） 平面鏡可以看著是半徑為無窮大的球面鏡。（2） 這是三次成像問題：第一次成像有兩個， 一是經上表面 (a 面) 折射，成像為q1（虛象，在上表面上方），二是經上表面反射成像于 q1 ' （虛象，在上表面下方）；第二次是折射光線經下表面（b面）反射（以q1 為虛物），成像為 q2 （虛象，在下表面下方）；第三次是下表面反射的光線經上表面折射（以q2 為虛物）成像于q2 （'虛物，在下表面下方）。（3） 現(xiàn)在要證明的是q1 ' 與q2 &#

15、39; 之間的距離為2h / n。如圖所示，設 q 離 a 面的距離為 s1 ， q 第一次經 a面折射成像q1 的像距為s1 '，則：n s1'1s 'n'n'n0 s1rnsns（r），1n '1 ，（在 a 面上方）。q 第一次經 a面反射成像q1 ' 的像距為s1 ' '，s1 ' 's1 ，（在 a面下方）。第二次經 b面反射成像q2 距 b面的距離為s2 'ns 1h，（ 這里采用了近似 ）距 a面的距離為s2 ' 'ns 12 h 。第三次經 a面折射成像于q2 

16、9; ，n'ns3 's30 ， s3s2 ''ns12hs3s3 'n( s12h ) nq1 ' 與q2 ' 之間的距離為ss3 's1' '(s12h )s2h1。nn10、（p56: 10題） 如圖，一15會集光束本來交于p 點，插入一折射率為1.50的平面平行玻璃板后，像移至p點，求玻璃板的厚度t 。 分析與解答 ：本題是 p點經過兩次平面（半徑為無窮大的球面） 折射成像于 p點（虛物成虛象） 。要用到的公式為：21nn's 'sn'n0 r（r）1s所以：1nns1 '

17、， s21s2 ' 。考慮到： s2( s1 't ) ，所以：s2 'ns1t )，n。pp'( s2 't )(s1 )n1 t n所以： tnpp'，n1代入有關數(shù)據(jù)可得：t9 mm 。（從上述可知 t的結果與 p點到玻璃板的距離無關， 題中 15cm的數(shù)據(jù)是多余的。）11、（ p69: 1題） 某透鏡用折射率 n1.50 的玻璃制成，它在空氣中的焦距為10.0cm，它在水中的焦距是多少？（水的折射率為4/3 。 ） 分析與解答 ：本題直接應用公式即可算出。nfnlnr1ff'n'nl，r21空氣空氣1(nl1)(1 ) ，

18、f水f水 '1( nl1)( 1r1r21 ) ，f水 /f空氣n水nl1nl1n水r1r2，將題中給出的參數(shù)代入上式即可求出：f水40cm 。12、（p70: 2題） 一薄透鏡折射率為1.50 ，光焦度為5.00d，將其浸入某液體，光焦度變?yōu)?1.00d 。求此液體的折射率。 分析與解答 ：設透鏡折射率為nl，液體的折射率為n 2，空氣的折射率為n 1。1光焦度：pf( nln01)( 11 )r。r12p1所以： p2( n ln11) /( n l1)n 2將已知條件代入上式即可求得：n21.502 。13、（p71: 8題） 屏幕放在距物 100cm遠，二者之間放一凸透鏡。當前

19、后移動透鏡時，我們發(fā)現(xiàn)透鏡有兩個位 置可以使物成像在屏幕上。測得這兩個位置之間的距離為 20.0cm，求（ 1）這兩個位置到幕的距離和透鏡的焦距；（2）兩個像的橫向放大率。 （3）畫出一種情形的成像光路圖。 分析與解答 ：令屏幕與物之間的距離為l ，則：lss'ss'由凸透鏡成像公式 11100cmf1 可得：s2slsf0ll 2s124lfl， s2l 24lf2又兩次成像的物距為：ss1s2l 24lf20.0cml 2(f4ls) 224.0cm，s1 '40.0cm，s2 '60.0cm ；橫向放大率： v1作圖：s1 ' s123 ， v2s2 '3s2214. （p71: 11 題） 一光學系統(tǒng)由一焦距為 5.0cm 的會聚透鏡 l1 和一焦距為 10.0cm 的發(fā)散透鏡 l2 組成， l2 在 l1 之右 5.0cm。在 l1 之左 10.0cm 處置一小物， 求經此光學系統(tǒng)后所成的像的位置和橫向放大率。 用作圖法驗證計算結果。 分析與解答 ：這是兩次成像問題， 設對于l1 ，其物像