多采樣率線性離散時(shí)間廣義系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制

1、1.1.1最優(yōu)預(yù)見控制器的設(shè)計(jì)通過上面的討論，我們得到了廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的性質(zhì)，下面給出本章 一個(gè)重要的定理：(3.34)定理3.11:若系統(tǒng)(3.16)是能穩(wěn)、能檢測(cè)以及因果能控和因果能觀的，且 滿足(a3.1), (a3.3)以及(a3.4)的假設(shè)條件，則擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(3.32)的使性能指 標(biāo)函數(shù)(3.33)達(dá)到極小的最優(yōu)調(diào)節(jié)器存在，是狀態(tài)反饋形式，且由下式 確定“=肋所涉及到的有關(guān)矩陣如下：證明：事實(shí)上，若系統(tǒng)(3.32)是正則的，且滿足能穩(wěn)性、因果能控性和因 果能觀性條件，并且能檢測(cè)，這里的結(jié)論就是成立的.而定理3.7 到定理3.10說明，系統(tǒng)(3.32)的這些條件都是滿足的，然后利用

2、定理3.6,就得 到本定理的結(jié)論.證畢.利用3.2.4節(jié)中的處理方法，進(jìn)一步注意到/?()x對(duì)(3.34)式中的增益矩陣么q進(jìn)行分塊:乓。=久(0)廠ui瓦|巧則aw(幻可寫為a/?緯)=巧frmr-i)fefxr(k + mr-)4幻ara/«-l=z廠山庠尺什+力+廠，y=o將(3.35)式中的變?yōu)?1并利用當(dāng)o1時(shí)有“(一 1)+ i fr(j)ar(k + y-l) + f(/:-l) + fxar(-l) (3.36)y=o艽中的各系數(shù)矩陣可以確定，初始值i(0), «(0)，0)可任意賦值.(3.36)式就是本章所設(shè)計(jì)的原系統(tǒng)(3.16)的帶有預(yù)見前饋補(bǔ)償?shù)淖顑?yōu)

3、預(yù)見 控制器.至此，我們己得到本章最重要的定理：定理3.12:對(duì)于線性離散時(shí)間廣義系統(tǒng)(3.16)，若滿足能穩(wěn)、能檢測(cè)以及 因果能控和因果能觀的條件，且滿足(a3.1)，(a3.3)以及(a3.4)的假設(shè)條件， 則它的最優(yōu)預(yù)見控制器為w() = w(眾-1)+ 2 fr (y)+ j-1) +以(-1) +cax(-1)7=0注意，上式中+就是目標(biāo)值預(yù)見作用.7=0其屮的各系數(shù)矩陣可以確定，初始值w(0) w可任意賦值.這就是本章對(duì)于系統(tǒng)(3.16)所求得帶有預(yù)見前饋補(bǔ)償?shù)淖顑?yōu)預(yù)見控制器, 下面用一個(gè)數(shù)值算例說明此控制器的有效性.通過比較采用預(yù)見控制和不采用預(yù)見控制兩種情形下的跟蹤曲線和相應(yīng)

4、的誤差曲線，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)采用預(yù)見控制吋，大大減小了超調(diào)量，并能迅速達(dá) 到穩(wěn)定狀態(tài).1.2本章小結(jié)本章針對(duì)線性離散吋間廣義因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)了最優(yōu)預(yù)見 控制器.在研究非因果系統(tǒng)時(shí)，由系統(tǒng)的因果能控性通過預(yù)反饋的方法得到 了廣義因果閉環(huán)系統(tǒng).在此基礎(chǔ)上，巧妙地將廣義系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化 為正常系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.再利用最優(yōu)調(diào)節(jié)理論，得到了帶有預(yù)見前饋補(bǔ) 償?shù)淖顑?yōu)預(yù)見控制器.數(shù)值算例說明了本章方法的有效性.2具有狀態(tài)時(shí)滯線性離散時(shí)間廣義系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制2.1引言文獻(xiàn)|27|研究了一類帶奮狀態(tài)吋滯系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制器，在此理論的 基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)29又將該理論推廣到時(shí)變系統(tǒng).本章研宄帶有狀態(tài)

5、時(shí)滯的線 性離散時(shí)間廣義系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制問題.首先利用提升技術(shù)，把問題轉(zhuǎn)化 為普通無時(shí)滯離散時(shí)間廣義系統(tǒng).然后利用文獻(xiàn)109提出的構(gòu)造廣義誤差系 統(tǒng)的方法，構(gòu)造出包含誤差向量為狀態(tài)向量一部分的廣義誤差系統(tǒng)，這樣， 原跟蹤問題就轉(zhuǎn)化為調(diào)節(jié)問題.再采用預(yù)見控制理論屮的常用方法，把可預(yù) 見的目標(biāo)值信號(hào)的差分也加入狀態(tài)向量，得到進(jìn)一步的廣義誤差系統(tǒng).這樣， 問題就轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)普通的廣義系統(tǒng)調(diào)節(jié)問題了.在系統(tǒng)為因果能控和因 果能觀的條件下，應(yīng)用最優(yōu)控制方法，給出了擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的最優(yōu)調(diào)節(jié)器. 由此冋到原系統(tǒng)，得到原系統(tǒng)的帶冇預(yù)見前饋補(bǔ)償?shù)淖顑?yōu)預(yù)見控制器.本章結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)是引言.第2節(jié)給出問題描述及

6、基本假設(shè).這一節(jié) 給出系統(tǒng)的模型及在研究過程中所用到的基本假設(shè)，并指出本章的目的.第 3節(jié)給出廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的推導(dǎo)過程.第4節(jié)則是廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)性質(zhì) 的數(shù)學(xué)證明.在給定的基本假設(shè)丁，嚴(yán)格證明所得到的廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的 正則性、能穩(wěn)性、因果能控性和因果能觀性.第5節(jié)利用最優(yōu)控制方法給出 帶有預(yù)見作用的最優(yōu)預(yù)見控制器的設(shè)計(jì)過程和結(jié)果.第6節(jié)是數(shù)值算例，通 過一個(gè)例子來說明木章所設(shè)計(jì)的控制器的有效性.第7節(jié)是簡(jiǎn)短的結(jié)論.2.2問題的描述與基本假設(shè)考慮如下具有狀態(tài)時(shí)滯的、正則的線性離散時(shí)間廣義系統(tǒng)：+ 1) =+ buk)ykcxk)其中是狀態(tài)向量，w(幻e /t是輸入向量，y(k)e 是輸出向量

7、， £，人砟，5是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，d0是系統(tǒng)的狀態(tài)時(shí)滯，取 整數(shù).£為奇異矩陣，滿足.為了方便，我們冏吋考慮無吋滯、正則廣義系統(tǒng)：(4.2)+ 1) = axk + buk)cx(k)為了研究系統(tǒng)(4.1)最優(yōu)預(yù)見控制器設(shè)計(jì)，需要給出以k基本假設(shè): 假設(shè) 4.1 (a4.1):存在義關(guān)(u 關(guān) 1，使得 dety a - a,弇 0.假設(shè) 4.2(a4.2):當(dāng) |a|21 時(shí)，矩陣/t+1£-/-a b行滿秩.假設(shè)4.3(a4.3):矩陣e-a-a, b c 0行滿秩.假設(shè)4.4(a4.4):對(duì)任一滿足的復(fù)數(shù)a，矩陣滿秩.假設(shè)4.5(a4.5):系統(tǒng)(4

8、.2)是因果能控的，即ad+1£-ada-alcrank£00a e bn + f.ank(e)假設(shè)4.6(a4.6):系統(tǒng)(4.2)是因果能觀的，即rankn + rank(e)a：當(dāng)狀態(tài)時(shí)滯t/=o,即系統(tǒng)不含狀態(tài)時(shí)滯時(shí)，系統(tǒng)(4.i)的第一個(gè)方程 成為+在這種情況下，(a4.1)中的不等式成為deta£-(a + a )0,這就是通常廣義系統(tǒng)正則性的加強(qiáng)條件h091.類似地，系統(tǒng)不含狀態(tài)時(shí)滯時(shí)，(a4.2)和(a4.4)分別是通常廣義系統(tǒng)的能穩(wěn)定性與能檢 測(cè)性條件，(a4.3)是通常廣義系統(tǒng)能穩(wěn)定性的加強(qiáng)條件mq1.另外，(a4.5)和 (a4.6)分別是廣

9、義系統(tǒng)(4.2)的因果能控和因果能觀性條件.這說明這些假設(shè) 條件是合理的.木章中假設(shè)(a3.4)同樣成立，系統(tǒng)的誤差向量eot)定義為(3.5).木章的目的是針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，設(shè)計(jì)一個(gè)帶有預(yù)見前饋補(bǔ)償?shù)淖顑?yōu)預(yù)見控 制器，使系統(tǒng)的輸出m岣能夠跟蹤0標(biāo)信號(hào)即lim e( k ) =()=()定義二次型性能指標(biāo)函數(shù)為(3.29).2.3廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的推導(dǎo)2.3.1時(shí)滯的消除對(duì)于帶有狀態(tài)時(shí)滯的線性離散吋間廣義系統(tǒng)(4.1)，在構(gòu)造廣義擴(kuò)大誤差 系統(tǒng)時(shí)，先將系統(tǒng)(4.1)利用離散提升技術(shù)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)形式上無時(shí)滯的系統(tǒng). 在系統(tǒng)(4.1)的狀態(tài)方程兩邊分別取差分(axu) = x + l)-xu)，

10、得£ax( + l) = y4ax() + i41ar(z:-d) + baw()(4.3)為丫消"除時(shí)滯，我們把xk-dyxk-d+ 1)，,1)也加入到系 統(tǒng)的狀態(tài)向量中，也就是把(4.3)式與若干個(gè)恒等式ar(u + /) = ar(u + /)(z. = o，l，."，d-l)聯(lián)立得到一個(gè)形式系統(tǒng).奴=+ ga “(4.4)注意到系統(tǒng)(4.4)已經(jīng)在形式上不存在狀態(tài)時(shí)滯.2.3.2廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的構(gòu)造然后利用3.2.2節(jié)中的方法，把跟蹤誤差4()和可預(yù)見的目標(biāo)信號(hào)的差分 加到狀態(tài)向量中，得到er0xrq 0 +1) = rqxr()(k、+ gxk)(4

11、.5)其中(4.5)式己經(jīng)具有以下特點(diǎn)：形式上沒有時(shí)滯，跟蹤誤差是狀態(tài)向量的一 部分，包含可預(yù)見的0標(biāo)信號(hào)信息.進(jìn)一步，從系統(tǒng)(4.1)的觀測(cè)方程知，對(duì)于系統(tǒng)(4.5)，應(yīng)將觀測(cè)方程取為 w = cxx =c0x0 =(4.6)其中 cx=0 0 c,co=o cj, qo=o co.將(4.5)式與(4.6)式結(jié)合起來，就得到所需要的廣義擴(kuò)人誤差系統(tǒng)ro-ro (眾 + 1) =rq (眾)+ g/??！?(眾)(47)j酵卜v肋下面將給出廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(4.7)所具有性質(zhì)的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.2.4廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)性質(zhì)的數(shù)學(xué)證明對(duì)廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(4.7)的性質(zhì)，分為幾個(gè)定理來敘述.定理4.

12、1:若(a4.1)成立，則廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(4.7)是正則的.證明：只需證明存在又，使得det/t£r()-o即>0.取(a4.1)屮的乂，注意到矩陣的結(jié)構(gòu)，得到所以(a4.1)成立時(shí)，存在2關(guān)0，a弇1，使得detf/le。一a>r。關(guān)0,即系統(tǒng)(4.7)是 正則的.證畢.定理4.2:廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(4.7)能穩(wěn)的充要條件是(a4.2)與(a4.3)mj時(shí) 成立.證明：按照pbh判別法22,57,廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(4.7)能穩(wěn)的充要條件是 對(duì)任一滿足|a>1的復(fù)數(shù)2,矩陣g。行滿秩.所以我們只須驗(yàn) 證這一條件滿足即可.注意到冇關(guān)矩陣的結(jié)構(gòu)冇rank 又 e如-&

13、lt;1)0 gr() = rank0g()_幾nmk - argpr醒 k-ar)+rank- go二 mm r + rank-c o' 0 ae-o g(4.8)以上推導(dǎo)反過來也對(duì).綜上所述，定理4.2證畢.定理4.3:若(a4.5)成立，則廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(4.7)是因果能控的.可以按照因果能控的充要條件，驗(yàn)證當(dāng)(a4.5)成立時(shí)有rankxo 00erq grqmm r 4- m 4- z? j 4- n + rank (er)從而本定理成立.但我們不計(jì)劃這么做，因?yàn)樵谙乱还?jié)我們需要給出系統(tǒng) (4.7)的因果分解.得到因果分解后，就知本定理成立.定理4.4:若(a4.6)成立，

14、則廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(4.7)是因果能觀的.證明：按照因果能觀的充要條件，注意到<()是(mm k + m + nd + zz )x( mm r + m + nd + /t)矩陣，只須驗(yàn)證ranker。/?0 0 ero0g()mm r + m + nd + n + rank (£尺0)注意到有關(guān)矩陣的結(jié)構(gòu)，特別注意左=0 00'00 00拳0拳八參000 0e一方面有=2mm r +2m 4- 2nd + rank男一方而，注意到00 £()aznw n +m()0 emm rm+nd就得到rank (erq) = mmr 4- m 4- nd 4- rank

15、(e) 所以若(a4.6)成立，則有rank2mm r + 2m + 2nd + /i + rank (£)erq 屯 ro 0 eroo crqmm r + m + mt/ + zi + rank、er證畢.2.5最優(yōu)預(yù)見控制器的設(shè)計(jì)現(xiàn)在轉(zhuǎn)入研宄系統(tǒng)(4.1)的最優(yōu)控制問題.把性能指標(biāo)函數(shù)(3.29)變換成 用系統(tǒng)(4.7)的冇關(guān)量表示，得到形如(3.33)的性能指標(biāo)函數(shù).我們首先對(duì)擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(4.7)重新分塊，注意到(4.7)的第一式就是f01e亡小+ 1)ar (人-c/+l) ax (眾-+ 2)參ax_a7(t;t 廠八a：! azla.a,! a1xm小)x(k-d)a

16、x(z:-j+ 1)參av(z:-l)ax0b(4.9)其中40000 - o'g。l000 00001”0 00000a： 000000i,00000 0_a,0 參參0.a八a2 =o-c00a, =o o a o o o對(duì)比(4.9)式與(4.2)的第一式，我們發(fā)現(xiàn)構(gòu)造擴(kuò)大誤差系統(tǒng)除了取差分外 僅僅是擴(kuò)大了正常系統(tǒng)部分的維數(shù).因此，可以把(3.17)式兩邊取差分的結(jié)果“(/：) =尺人¥+ av作為(4.9)的輸入.注意(/:)可以寫為aw (a:) = kro(4.10)xmax(眾-1)av其中尺/?()0i(mm r +/w+nj )xr 丨k.代人(4.9)得到

17、閉環(huán)系統(tǒng)/mm r+m-tulf匕'心(川)-_ xr(k) _小+1)ax(眾-+ 1)八1八44x(k-d)ax (眾-</ + 2)11 12 八1axk-d + l)參參j a + bk參參axax(眾- 1)ax(眾 +1)ax+現(xiàn)在對(duì)(4.11)進(jìn)行因果分解.考慮到(3.18)的因果分解過程，令! 0mmnd! 0"0ip2mm r0p其中(214與(3.19)式中的同名量相同.若令心；|，2意到 i onum r 4-|mm rm+nd01-一e2/sa, i a + bkf八a,qai2,(a + b/c)0bm.k+m+nd! 0_i0000! 00八

18、1aza. !a21a 221211 :1a2a,2 !a.av(4.19)，注"o'"0""0 "一yb11-1-b2ft其中0-c00參0a211 =m,a21 =0 0 a/, 0 0作變量替換a21 = a2c1122 _ 1220-c200番0-仏o,a,p =m-,a1 = o 0 m，0 0-0p2xmex(k-d)xk-d + l)ax(眾-1)axe、k)av(/c-j)axk-d + l)參zkv(-1)aa、 ax2 k小)x、k-d、ax (- f/ + 1)ar(-1)a%,(z：yax2代人(4.11)式，同

19、時(shí)兩邊左乘!2,得到aww+zw+zk/11丄0001110011100xk-d + 1) ax(z:-j + 2)ax ax, k +1) ax2 ( + 1)a, 4丨八a 22八 111 !1a,a2212 !a,a”ax(k-d)ax (k d +1)ax(_l)a%,(z：y ma將上述各式代入(4.11 )式并結(jié)合(3.19)式將結(jié)果重新分塊，得(4.12)利用分塊矩陣的乘法，我們可以將(4.12)式簡(jiǎn)寫為+ + (43) 0 = a,%, () +a22i2 (z:) + b2av(z:)其中，各分塊矩陣分別對(duì)應(yīng)記為足4)，人2,4，或.由于己知是可逆的， 所以(4.13)式是因

20、果系統(tǒng).這一結(jié)論同時(shí)就給出了上節(jié)定理4.3的證明.作為準(zhǔn)備，我們還需要一個(gè)定理.定理4.5:若(a4.4)成立，則能檢測(cè).證明：按照pbh判別法，只須驗(yàn)證對(duì)任一滿足|a>1的復(fù)數(shù)a，矩陣q,/2列滿秩.推導(dǎo)如下.當(dāng)2 時(shí)最后一步用到了假設(shè)(a4.4).證畢.現(xiàn)在可以得到本章的主耍定理了.注意到，從形式上看，系統(tǒng)(4.7)與系 統(tǒng)(4.2)具冇完全相同的形式，變換后的系統(tǒng)(4.13)與(3.20)冇完全相同的形式， 所以利用定理3.6得到：定理4.6:如果(a4.1)至(a4.6)成立，則擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(4.7)的使性能指標(biāo) 函數(shù)(3.33)達(dá)到極小的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器aw存在，且由下式確定其屮

21、frorg其中戶是代數(shù)riccati方程八 qn *八b't pa、八八八八 i 八 丁p = q + a17pai-a17pbit + bxrpb,的對(duì)稱半正定解.所涉及到的旮關(guān)矩陣如下:t£1八h10-l 1-a22a2i:-0 !1frp,krqp!1q = q-ht",h/ ,b,，nma卞 八b/pa,£1a12a2>2)top2-p2krqp)a =1證明：事實(shí)上，按照定理3.6,只要系統(tǒng)(4.7)是正則的，ii滿足能穩(wěn)性、因 果能控性和因果能觀性條件，并且能檢測(cè)，這里的結(jié)論就是成立的.而定理4.1到定理4.5說明，如果(a4.1)至(a

22、4.6)都成立，系統(tǒng)(4.7)的這些 條件都是滿足的.證畢.最后，我們回到系統(tǒng)(4.1).對(duì)增益矩陣/()進(jìn)行分塊，得 “=么人5(i)ax(k-d)a.v(z:-j + l)_ ar(k)=心(1)以2)盡盡fv(6/ + 1)mrd + 17=17=1(4.14)再將(4.14)式中的時(shí)刻/:變?yōu)椴?，并利用= 4有：當(dāng) m時(shí)n(_l) = w(z:)_w(_l)mrt/+l=£ 心 a/?(4j-2) + (/c -1) +刃 av( + j-d-2);=|;=1即mrj+1u(k)=u(k-l)+fr(j)r(k + j-2) + fee(k-l)faj)x(kj-d-2)y

23、=iy=i(4.15)(4.15)式就是本章所設(shè)計(jì)的原系統(tǒng)(4.1)的帶有預(yù)見前饋補(bǔ)償?shù)淖顑?yōu)預(yù)見 控制器.至此，我們已得到如k定理：定理4.7:對(duì)于帶冇狀態(tài)吋滯的線性離散吋間廣義系統(tǒng)(4.1)，若滿足相應(yīng) 的假設(shè)條件(a4.1)-(a4.6)，則它的帶有預(yù)見前饋補(bǔ)償?shù)淖顑?yōu)預(yù)見控制器為rd+m()=“(-i)+jjy)a/?(/：+j2)+f>(n)+2f4y)a¥(+y-6?-2)7=17=1注意，上式屮藝仏a/?0+y-2)就是目標(biāo)值預(yù)見作用.>=|通過比較圖4.3和圖4.4,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)采用預(yù)見控制時(shí)，人人減小了超調(diào) 量，并能迅速的達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).2.6本章小結(jié)本章研究y

24、帶有狀態(tài)時(shí)滯的線性離散時(shí)間廣義系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制問題. 首先針對(duì)原系統(tǒng)，利用離散提升方法，在形式上消除了狀態(tài)時(shí)滯；然后利用 一階前向差分算子作用于系統(tǒng)方程兩邊、誤差向量和可預(yù)見的目標(biāo)值信號(hào)上， 得到了廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)，將原系統(tǒng)的跟蹤問題轉(zhuǎn)化為廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的 最優(yōu)調(diào)節(jié)問題.對(duì)廣義擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的性質(zhì)給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.進(jìn)而利 用廣義系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)理論，得到了原系統(tǒng)帶有預(yù)見作用的最優(yōu)預(yù)見調(diào)節(jié)器， 同時(shí)嚴(yán)格證明了在基本假設(shè)條件下這種最優(yōu)調(diào)節(jié)器的存在性.最后的數(shù)值仿真說明本章結(jié)果的有效性.3多采樣率線性離散時(shí)間廣義系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制3.1引目在第三章，我們研究了線性離散吋間廣義系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制問題

25、，分 別對(duì)因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)進(jìn)行了討論，得到了有意義的結(jié)果.本章我們將 多采樣率加入到系統(tǒng)當(dāng)中，同樣分別對(duì)因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)進(jìn)行研究，這 是因?yàn)橐酝亩嗖蓸勇氏到y(tǒng)的研宂基本上都是針對(duì)正常系統(tǒng)而言的.本章的結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)是引言；第2節(jié)是針對(duì)因果系統(tǒng)的研究；第3節(jié) 是針對(duì)非因果系統(tǒng)的研宄；第4節(jié)是本章的小結(jié).3.2因果系統(tǒng)3.2.1問題的描述與準(zhǔn)備(5.1)考慮如下止則的線性離散時(shí)間廣義因果系統(tǒng) £x(/: + l) =bu(k)<y(k) = cxk)其屮x(幻e rn，u(k)e ry(k)e /?"'分別是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，控制輸入向量和 輸出向量.&#

26、163;，a，fi，c是具有相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.£是奇異矩陣，滿足rank、e) = q<n.按照矩陣?yán)碚?，任何矩陣都可以通過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.因此，存在 非奇異矩陣使得2 .利用這個(gè)變換，對(duì)于系統(tǒng)(5.1)，令rx2(k)e rnqqap =a2a2qb = bi b2 i cp = c, c2(5.2)則系統(tǒng)(5.1)受限等價(jià)于(5.3)x,(女 + 1) = auxx + /l12x2 + 咖 * 0 =+ a22x2 + b2w()yk) = c,xk) + c2x2k)由文獻(xiàn)57，系統(tǒng)(5.3)(從而系統(tǒng)(5.1)為因果系統(tǒng)的充分必要條件是矩陳 a22 可逆易知 a

27、22=0 in_qqap °._ nq _注意，系統(tǒng)(5.1)和系統(tǒng)(5.3)有相同的能穩(wěn)定性和能檢測(cè)性.這是因?yàn)椋?按照pbh判別法571,系統(tǒng)(5.1)能穩(wěn)定的充要條件是對(duì)任一滿足|2| 2 1的復(fù)數(shù) arankze- a b = n （行1i1 茜秩）據(jù)此，利用(5.2)以及2和可逆和矩陣秩的性質(zhì)立即得到ai a2 a? 122rankae- a b = rank qae-a b=rank aqep- qap qb = rank于是知系統(tǒng)(5.1)和系統(tǒng)(5.3)有相同的能穩(wěn)定性.同樣按照pbh判別法，系統(tǒng)(5.1)能檢測(cè)的充要條件是對(duì)任一滿足|/l|d的復(fù)數(shù)arank還是利用

28、(5.2)式并注意到ae-acrankae-ac謂/ii=az (列滿秩).、p可逆得到q0rankah c2/ oi2a a2qe-apcp這說明系統(tǒng)(5.1)和系統(tǒng)(5.3)有相同的能檢測(cè)性.本章只研究多采樣率廣義因果系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制器問題，因此假設(shè)人，可逆.為了方便，引入記號(hào)按照廣義系統(tǒng)理論和預(yù)見控制理論的基本要求， 我們需要給出系統(tǒng)一些必要的假設(shè)：假設(shè)5.ka5.1):設(shè)系統(tǒng)(5.1)是能穩(wěn)定的.假設(shè)5.2(a5.2):設(shè)系統(tǒng)(5.1)是能檢測(cè)的.注：按照控制理論，能穩(wěn)定和能檢測(cè)性的假設(shè)是基本假設(shè).假設(shè)5.3(a5.3):狀態(tài)向量x(幻和輸出向量y(岣僅在= /；v(/ = 0，l，

29、2,) 時(shí)能被測(cè)量，7v為正整數(shù).假設(shè)5.4(a5.4):設(shè)h標(biāo)值信號(hào)叫/0的可預(yù)見步數(shù)為脅。，即設(shè)在當(dāng)前時(shí) 刻人，的當(dāng)前值和步未來值/?，r(k+l)，k(k + 2), ，穴 +從為己知.步之后認(rèn)為它是常數(shù)，即r(kj) = r(k + mr)j = mr + l9mrz- 這里a=s/v，s是非負(fù)整數(shù).假設(shè)5.5(a5.5):設(shè)矩陣_av-/a或c,! q0 0!q參 蠢番番蠢ca,n-2:番0cxnxi w2盡cj屮(5.4)行滿秩.(5.5)定義誤差信號(hào)e(k)=y(k)-r(k)定義性能指標(biāo)函數(shù)為卜如+ “(5.6)人=1其中，設(shè)權(quán)重矩陣滿足a >0,/h >0.3.2

30、.2多采樣率廣義因果系統(tǒng)的離散提升按照(a5.3)，系統(tǒng)(5.3)是多采樣率系統(tǒng).按照多采樣率系統(tǒng)的處理方法, 我們將對(duì)系統(tǒng)(5.3)進(jìn)行離散提開，化為一個(gè)形式上簡(jiǎn)單的單采樣率系統(tǒng).由于己經(jīng)假設(shè)矩陣人2是可逆的，所以由(5.3)式中第二式可以得到x2(/:) = -a22-,a21x,(z:)-a22-,s2£/(/:)(5.7)將(5.7)代入(5.3)中第一式得%, (/: + 1) = a,%, () +(5.8)其中 a, = a" - |222_，ai， bi =-al2a22b2.此時(shí)，線性離散時(shí)間廣義因果系統(tǒng)(5.3)轉(zhuǎn)化為一般正常系統(tǒng)(5.8).進(jìn)而，可以按

31、照正常系統(tǒng)離散提升的方法11091進(jìn)行處理.引入向量=rx2(i) = x2(in)e rnq, w(/) =首先，從(5.7)式可以得到x2 (z/v) = -a22_1 a2& (ztv)- ab2u(in)u、in)“(z7v + 1)u(in + n-2) u(in + n-l)u(in)w(zw+l)-a22-，a,x1(zw)-a2-,b20 0 0(5.9)u、in + n-2) w(zw+/v-i)2(c = -a22'la2l(c-£5(0(5.10)其中0 0 0.而且，利用文獻(xiàn)109中已經(jīng)得到的結(jié)果， (5.8)式被離散提升為%!(/ + !)=

32、+其中總藎s,.今利用(5.7)式，將(5.3)式中的觀測(cè)方程變形為用(5.10)式中的狀態(tài)向量和 輸入向量來表示.首先注意夕=+ c2x2= c,x,+ c2 (-a,2_i a21x,-a22_ib2“)=c| c9a,9 1 a,i x| ( cja,9 1 b，u(k)=c,x,+ c2“(z:)其中反復(fù)利用(5.8)式，可以推出 y(in) = clxl(in) + c2u(in) y(in + l) = clxl(in+l) + c2u(in + l)= c1(aixi(zw) + s,w(zw) + c2h(zw+1)= cia1x1 (zw) +(ztv) + c2 w(zw

33、+ l)y (in + n _ 2) =廣2x乂in) + 5人卜3(in) + + & 耳u (in + n _3) + c2u (in + n _ 2)，(，w+/v_i) = qv、i(，w)+c1vl2“('w)+-+ci“(，w+/v_2)+c2“(，w + /v_i) 上述各式可以合寫為y(zw)y('.n + l)會(huì)c,咖)+y(/n + n-2) y(in+/v-1)c,a-2g0cac20 0w(ztv)00w(/w + l)c20w(/w + 7v-2)c2_u、in + n(5.11)若再記y(zw)y(z7v + l)刑=:y、in + n-2)

34、 y(in + n-l)丨-a-二-c -.a-.a 1c -ci i，c2 =c20c,bjc，參cxa,n2b,c2ca那么，(5.11)式可以簡(jiǎn)寫為(5.12)綜上，多采樣率離散時(shí)間廣義因果系統(tǒng)(5.3)己經(jīng)被離散提升為形式上沒 有多采樣率特點(diǎn)的系統(tǒng)，將(5.10)式和(5.12)式合寫為(5.13)%,(/+1) = 41(0+(0外) = &(/)+“(/)至此，我們已經(jīng)成功將多采樣率廣義因果系統(tǒng)(5.3)提升形式上的單采樣 率系統(tǒng)(5.13).3.2.3誤差系統(tǒng)的推導(dǎo)為了進(jìn)行預(yù)見控制器的設(shè)計(jì)，我們需要按照預(yù)見控制理論的通常做法， 把誤差信號(hào)和可預(yù)見的s標(biāo)值信息加入狀態(tài)向量中

35、.我們采用一階前向差分 算子a:ax z) = x(/+ 1)-%(/)首先，構(gòu)造向量郎)r(in)/?('7v+1)春(5.14)于是得到變化后的誤差向量_ y(in)-/?(z7v)-e(in)y(z7v+l)/?(zw+l)e(zw+l)參y(zw + 2v-2)r、in + n-2)e(zw + 7v-2)y(in + n-l)一 r(in 十 n-)一 e、in + n-l)r(in + n - 2) r(in + n-l)e(i)=y(i)-r(i) =(5.15)利用(5.12)式，得到(，) = $ 禾(/)-(，) + <?>(，)用a作用在(5.16)式

36、兩邊，注意漢f) = e(/+l)-e(z)得到 e(z+l) = (z)4-c1ar1(z)-a(z*) + c2aw(z)再用a作用在(5.10)式兩邊，得到ax,(/+l) = a,nax + 戽a/j把(5.17)、(5.18)聯(lián)立得到(5.16)(5.17)(5.18)e(z+l)' arz+l)/ c, 0咐)ax, (/)-i0a(z) +b、aw(z)(5.19)對(duì)比(5.1)式，觀測(cè)量應(yīng)取為得到，于是記xo(/) =eu)缽b'-i0，/ o就有(5.20)xo( z+l) = 0>x()( /) + ga/i( /) + gka(z) e(z)= c0

37、x0(z)這就是我們需要的擴(kuò)大誤差系統(tǒng)，這是一個(gè)正常系統(tǒng).注意對(duì)于誤差系 統(tǒng)(5.20)，可預(yù)見的目標(biāo)信號(hào)a辦7)，即在任意時(shí)刻z，織i)，a(f+1)，a及u + s-1)為己知，并有a/?u + /) = o (/ = s，s + 1，)3.2.4誤差系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制器的設(shè)計(jì)現(xiàn)在回到最優(yōu)控制問題上來.(5.6)式所示的性能指標(biāo)函數(shù)可以用(5.20)式 的相關(guān)向量表示為a=1oo yv-i/=! y=0oo= er(z)ee(z) + az7r(/)hau(/)'=1(5.21)其中，q = diag( qe qe . qe)0，h=diag(hu hu hj0.llj/v個(gè)w個(gè)r

38、nmxn,q>0, he rnrxnr,h>q.現(xiàn)在，問題成為了一個(gè)正常系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.注意(5.21)式可以化為ooj=x'=1_ v (，)奴 w)+，(收轉(zhuǎn))(5.22)其屮6=q o " o.由文獻(xiàn)112, 113的結(jié)論，我們立即得到：定理5.l如果能穩(wěn)定，(0,/2能檢測(cè)，則使(5.22)式所表示的性能指標(biāo)函數(shù)j取最小值的系統(tǒng)(5.20)的最優(yōu)預(yù)見控制器為5-1峨 i) = kx0(i) + lfr(l)自+ 1)1=0(5.23)其中k = -h + gtpg'xgtp(5.24)fr(1) = -h + gtpg-1 grd pgr(/

39、= 0，1，s-l)(5.25) = gk = >-g h-gtpg-gtp(5.26)這里p是代數(shù)riccati方程p = 0rpo>-<dfpg/ + gtpg _,gfp0 + (2(5.27)的對(duì)稱半正定解.3.2.5誤差系統(tǒng)性質(zhì)的討論現(xiàn)在來研究保證能穩(wěn)定和(。1/2 能檢測(cè)的條件，實(shí)際上就是研究誤差系統(tǒng)(5.20)的性質(zhì).分為若干個(gè)定理來敘述.先看g)的能穩(wěn)定性.(5.28)定理5.2: (0)g)能穩(wěn)定的充分必要條件是或)能穩(wěn)定j1c| c2行滿秩.注意到o和g的結(jié)構(gòu)，仿照文獻(xiàn)113中引理la的證明可以證明本定理, 這里從略.另外注意，(5.28)中的矩陣等于(a

40、5.5)中的屮.定理5.3:(v b,)能穩(wěn)定的充要條件是(a5.1)成立.證明：注意到廣1吞及吞藎，文獻(xiàn)川9已經(jīng)證明(x/v或)能穩(wěn)定的充要條件是(a, )能穩(wěn)定.再注意到a=al-a222_，a耳=孕-心vb2,利用a2的可逆性和初等變換不改 變矩陣的秩的性質(zhì)得到，對(duì)任何復(fù)數(shù)/i，如果1，矩陣a19b'b,行滿秩的充耍條件是矩陣/-(屯-/-%,)行滿秩.這就是說，(a"或)能穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)(5.3)能穩(wěn)定.又系統(tǒng)(5.3)與系統(tǒng)(5.1)有相同的能穩(wěn)定忡.， 因此定理成立.綜合定理5.2和定理5.3即知，如果原系統(tǒng)(5.1)是能穩(wěn)定的，且(a5.5)中的 屮行滿秩

41、，則最后的形式系統(tǒng)(5.20)也是能穩(wěn)定的.而丑，此條件還是充要條 件.這些條件保證了定理5.1中的狀態(tài)反饋存在.再看(2 0>)的能檢測(cè)性.定理5.4:|/2能檢測(cè)的充分必要條件是能檢測(cè).事實(shí)上，從g0及rank/1/-oe,/2(a-1)/0c,0a/-v=rank0e,/20e,/20_ 0000rank又/-v=rank又 qv2、+ rank由pbh判別法即知本定理成立.定理5.5:能檢測(cè)的充要條件是及)能檢測(cè).c,證明：注意到,即知該定理就是文獻(xiàn)109中的一個(gè)引理.c,a/v-2?v 1定理5.6:(c,能檢測(cè)的充要條件是(a5.2)成立.證明：同樣按照pbh判別法來證明.對(duì)

42、任一滿足|/1>1的復(fù)數(shù)/i，注意到 a22可逆，得到rankai a2a21a22ranka/ - y4|a2l-a,2一戌2=rankrankg c2又-(ai -k%i)- auci c2a22 a2l_ a2a>2_1/i2i) c, 0-a220+ ran/:(a”)+ mziz:(a,9)i 00 04c c2系統(tǒng)(5.3)與系統(tǒng)(5.1)有相同的能檢測(cè)性，因此定理成立.綜合定理5.4、定理5.5和定理5.6,得到以下結(jié)論：如果原系統(tǒng)(5.1)是能檢測(cè)的，wj(e,/2也是能檢測(cè)的，此條件還是充要條件.這些條件保證了從而rankai a2列滿秩的充要條件是c,列滿秩.又

43、riccti方程(5.27)有唯一的半正定解.3.2.6原系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制器的設(shè)計(jì)我們回到誤差系統(tǒng)(5.20)的最優(yōu)輸入(5.23)式及與其相關(guān)的(5.24)-(5.27)成上.aw(zw)aw(zw + l)參參參，我們把尺、和盡(/)(/ = 0，1,，s-1)分解為-尺'巧0)(o _k =k('、，心(/)=n-、f )(0_nu、in + n - 2) “(/7v + 7v-1)(/ = 0，l，.，s-l)于是(5.23)式就是(5.29)_ a«(zw) _ a“(zw+l)離攀攀-尺ks-1"f；0)(/)_ aw(z7v + /v-2)

44、w(，7v + ；v-l)尺 ov-i)z=()a/?(z + z)可進(jìn)一步分開寫為s-1(5.30)再注意到ai/(zw + 7)= (y)x0(/) + j；f')(/)a(/4-/)1=0/=1，2,；y = o,l,2,.,7v-l(5.31)x0(/)=_ e(in) _e(zw + l)e(in + n-2)，鄉(xiāng))=e(zw + n-l)ar, (zw)e(i) ar, (z)a(ztv)a/?(zw+l)蠡r、in + n - 2) a/?(z7v + ；v-l)kj)=k(j) <.n我們把/c(/)繼續(xù)分解如下于是(5.31)式進(jìn)一步成為5-1aw(zw + j

45、) = k(ej)e( + f(rjl 識(shí)/ + /)/=0就是5-1u(/ + 1 )/v + 7) = n(z/v + 7) + </'i) + /c；-zx, (z+1 w)-; (zw) + f;n(，)a(z + /) /=0把其屮的/用/-i代替，就得到系統(tǒng)(5.3)所需要的輸入.于是，結(jié)合上面的討論，我們得到本章的關(guān)鍵性定理：定理5.7:如果以下條件滿足(i)系統(tǒng)(5.1)是能穩(wěn)定的(a5.1);系統(tǒng)(5.1 )是能檢測(cè)的(a5.2);(iii) (5.4)式中的矩陣屮行滿秩(a5.5);(iv) 2e0，"n0，則(5.27)式所表示的代數(shù)riccati

46、方程冇唯一的半正定解，而jdl系統(tǒng)(5.3)的最 優(yōu)控制輸入為u(in + j)+ 即-1) + 0 似1=0/=1，2,；7 = 0,1,2,.,-!其中-尺 u” _c f；o)(/)-k =尺=<?)參參參蠡，fr(l) =參(/=0，1，sn-)coe(d-l)n)e(f-l)7v + l)通過由式(5.24)-(527)確定.e(i-l)=:e(/-l)yv + n-2)這里禾(/-1)= (，-i)yv)，r(in + n-2)-r(i-l)n + n-2)/?(/w + n-l)-/?(/-1)n + n-1)u(ii)n + l)w(z-l)7v + n-2)圖5.2-5

47、.7說明了木節(jié)所設(shè)計(jì)的控制器的有效性.3.3非因果系統(tǒng)3.3.1問題的描述與準(zhǔn)備考慮正則的線性離散時(shí)間廣義非因果系統(tǒng)(3.16).按照廣義系統(tǒng)理論和預(yù)見控制理論的基本要求，本章將假設(shè)系統(tǒng)(3.16) 能穩(wěn)定，能檢測(cè)，并作出如5.2.1節(jié)中基本假設(shè)(a5.3ha5.4).另外，還將作出 一個(gè)假設(shè)：假設(shè)5.6(a5.6):系統(tǒng)(3.16)是因果能控和因果能觀的；由(a5.6)，必存在靜態(tài)輸出反饋“=m)， + v()=a/cx + v=alv + v(5.32)其中/c = a/c, m e r，使得閉環(huán)系統(tǒng)ex(k + l) =(a + bk)x(k) + bv(k)(5.33)是因果的571，

48、即deg |det se - (a + bk )j = rank(e)利用3.3.1節(jié)中因果分解的過程，系統(tǒng)(5.33)以及輸出方程受限等價(jià)于定義誤差信號(hào)為(5.5)，引入二次型性能指標(biāo)函數(shù)為(5.6).為了研宂的進(jìn)行，我們還將作出以下假設(shè)：3.3.2廣義因果系統(tǒng)的離散提升通過以上的討論可知，系統(tǒng)(5.34)也是多采樣率系統(tǒng)，先對(duì)其進(jìn)行離散提升，使其變?yōu)閱尾蓸勇氏到y(tǒng).利用5.2.2節(jié)己經(jīng)得到的結(jié)果，廣義因果系統(tǒng)(5.34)被離散提升為 禾(/ + 1) = +如 y(o = (o+c2v(/) =艮=3“132, xl(i) = x1(in)e/i(5.36)其中?2 (/) = x2 (zw) g rnq, p (z)=v(/w)參參參(/n + n-2) (/w + 7v-1)b、v耳#耳，c2 = c2a22-1 b2 , j(z)剌y(z7v + l)參拳參c, c20.o0 1c,acaq 00參參» c2 =參 蠢漢-2cbcan'2bc4房a頌0c2y(z