常微分方程-拉氏變換法求解常微分方程（課堂PPT）

1、1拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法 /Laplace Transform /2拉普拉斯變換拉普拉斯變換n含義：q簡(jiǎn)稱拉氏變換q從實(shí)變量函數(shù)到復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換 n用途與優(yōu)點(diǎn)q對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉氏變換，并在復(fù)數(shù)域中進(jìn)行運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域計(jì)算容易得多。n應(yīng)用：q求解線性微分方程q在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合3拉普拉斯變換法用于求解常微分方程的基本思路：拉普拉斯變換法用于求解常微分方程的基本思路： 對(duì)常微分方程進(jìn)行拉氏變換法，得代數(shù)方程，求解對(duì)常微分方程進(jìn)行拉氏變換法，得代數(shù)方程，求解再反變換獲取原方程的解再反變換獲取原方

2、程的解問(wèn)題：?jiǎn)栴}：1. 什么是拉氏變換什么是拉氏變換2. 拉氏變換的基本性質(zhì)拉氏變換的基本性質(zhì)3. 什么是拉氏逆變換什么是拉氏逆變換4. 如何用拉氏變換求解微分方程如何用拉氏變換求解微分方程4若若0dttfest）（）（sF0stef tdt（）)( tf), 0)(tf)()(sFtfL1拉普拉斯變換定義拉普拉斯變換定義(簡(jiǎn)稱拉氏變換簡(jiǎn)稱拉氏變換)對(duì)于在對(duì)于在上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對(duì)于已給的對(duì)于已給的S（一般為復(fù)數(shù)）存在，則稱（一般為復(fù)數(shù)）存在，則稱為函數(shù)為函數(shù)的拉普拉斯變換，記為的拉普拉斯變換，記為TstTdttfe0）（limf (t)稱為稱為L(zhǎng)aplace Transform 的

3、原函數(shù)，的原函數(shù)，F(xiàn)(s)稱為稱為f (t)的的象象函數(shù)函數(shù). Res5拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法存在性存在性是分段連續(xù)的是分段連續(xù)的, 并且并且 常數(shù)常數(shù))(tf0t0M00ttMetf )(sRe)(tf假若函數(shù)假若函數(shù)在在的每一個(gè)有限區(qū)間上的每一個(gè)有限區(qū)間上使對(duì)于所有的使對(duì)于所有的都有都有成立成立則當(dāng)則當(dāng)時(shí)時(shí),的的Laplace Transform是存在的。是存在的。61)(tf)(0 t01dtest 例例1 limsessTT11s10sRe)(Re0 11ssL當(dāng)當(dāng)即即limTstTes01拉普拉斯變換實(shí)例拉普拉斯變換實(shí)例7例例2 ( 是給定的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)是給定的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù) ) z

4、tetf)(zzteL0dteeztst)0)(Re( zs)Re(Rezs 0dtetzs)(zs1zteLzs18n常用函數(shù)拉氏變換表n利用拉氏變換進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可直接查變換表得結(jié)果92 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì))(),(tgtf)()()()(tgLtfLtgtfL1 線性性質(zhì)線性性質(zhì)如果如果是原函數(shù)是原函數(shù),和和是任意兩個(gè)常數(shù)是任意兩個(gè)常數(shù)(可以是復(fù)數(shù)可以是復(fù)數(shù))，則有，則有102 原函數(shù)的原函數(shù)的微分性質(zhì)微分性質(zhì))(,),(),()(tftftfn )(tfL)()(0ftfsL)()(tfLn)(tfLsn)(01fsn)()()(0012nnffs如果如果都是原

5、函數(shù)，則有都是原函數(shù)，則有或或113 象函數(shù)的微分性質(zhì)象函數(shù)的微分性質(zhì))()(tfLsF0)()(dttftesFst0)()() 1()(dttfetsFstnnn( )( )( 1)( )nnnFsL t f t 123 3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換已知象函數(shù)，求原函數(shù)已知象函數(shù)，求原函數(shù))()(tfsFL1也具有線性性質(zhì)也具有線性性質(zhì))()(sFcsFcL22111)()(sFLcsFLc21211113)(tf)(sF)()()(1sFsFsFn由線性性質(zhì)可得由線性性質(zhì)可得如果如果的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換可分解為可分解為并假定并假定 的拉普拉斯變換容易求得，即的拉普拉斯變換容易

6、求得，即)(sFi)(sFi)(tfLi則則)()()(sFLsFLsFLn1111)()(tftfn114例例3 求求 的的Laplace 反變換反變換233)(2ssssF)()(2112111sLsLsFLtfttee220t解解)()(2132332sssssssF2112ss拉普拉斯逆變換實(shí)例拉普拉斯逆變換實(shí)例15例例4 求求22)2)(1(5)(ssssssF的的Laplace 反變換反變換解解2)2(111)(sssF)()(2112111sLsLtf)(0 2tteett164 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法(求非齊次線性方程的特解求非齊次線性方程的特解 )步驟：步驟：174 拉

7、普拉斯變換法拉普拉斯變換法(求非齊次線性方程的特解求非齊次線性方程的特解 )( )(1)11( ) nnnnxaxa xa xf t)()()(,)(,)(,)(1010000000 nnxxxxxxxxia為常數(shù)為常數(shù)令令 )()(txLsX0)( dttxest0 xssXtxL)()()()()()()(10200201nnnnnnxsxxsxssXstxL18)()()()(sBsFsXasasasnnnn111)()()()(sAsBsFsX)()()()()(sAsBsFLsXLtx11給給(4.32)兩端施行兩端施行Laplace Transform)()()()()()()()

8、(sFsXaxssXaxxsxssXsaxsxxsxssXsnnnnnnnnnnn012003021110200201( )(1)11( ) nnnnxaxa xa xf t19解解 令令)()(sXtxL)(teLxLdtdxL2210ssXxssX)()()(1121211sssssX)()(tteesLsLsXLtx21111121)()(例例5texdtdx20)0(x滿足初始條件滿足初始條件 求求的特解的特解 用拉氏變換求微分方程實(shí)例用拉氏變換求微分方程實(shí)例20令令 1 tddxdtdx2222dxddtxd1eeet010)(x010)(x)()(sXxL例例 6 求求 texxx 20) 1 () 1 ( xx滿足初始條件滿足初始條件 的特解的特解 解解21eex221)(ttetetetx212121121)()()()(essXss111122)()(2112121132)(!)()(sesssesXessXxssXxsxsXs11102002)()()()()()(22133 xxxx0)0()0()0( xxx)()(txLsXssXssXsXssXs1332