常微分方程-拉氏變換法求解常微分方程（課堂PPT）

1、1拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法 /Laplace Transform /2拉普拉斯變換拉普拉斯變換n含義：q簡稱拉氏變換q從實變量函數(shù)到復變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換 n用途與優(yōu)點q對一個實變量函數(shù)作拉氏變換，并在復數(shù)域中進行運算，再將運算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實數(shù)域中的相應結(jié)果，往往比直接在實數(shù)域計算容易得多。n應用：q求解線性微分方程q在經(jīng)典控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和綜合3拉普拉斯變換法用于求解常微分方程的基本思路：拉普拉斯變換法用于求解常微分方程的基本思路： 對常微分方程進行拉氏變換法，得代數(shù)方程，求解對常微分方程進行拉氏變換法，得代數(shù)方程，求解再反變換獲取原方程的解再反變換獲取原方

2、程的解問題：問題：1. 什么是拉氏變換什么是拉氏變換2. 拉氏變換的基本性質(zhì)拉氏變換的基本性質(zhì)3. 什么是拉氏逆變換什么是拉氏逆變換4. 如何用拉氏變換求解微分方程如何用拉氏變換求解微分方程4若若0dttfest）（）（sF0stef tdt（）)( tf), 0)(tf)()(sFtfL1拉普拉斯變換定義拉普拉斯變換定義(簡稱拉氏變換簡稱拉氏變換)對于在對于在上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對于已給的對于已給的S（一般為復數(shù)）存在，則稱（一般為復數(shù)）存在，則稱為函數(shù)為函數(shù)的拉普拉斯變換，記為的拉普拉斯變換，記為TstTdttfe0）（limf (t)稱為稱為Laplace Transform 的

3、原函數(shù)，的原函數(shù)，F(xiàn)(s)稱為稱為f (t)的的象象函數(shù)函數(shù). Res5拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法存在性存在性是分段連續(xù)的是分段連續(xù)的, 并且并且 常數(shù)常數(shù))(tf0t0M00ttMetf )(sRe)(tf假若函數(shù)假若函數(shù)在在的每一個有限區(qū)間上的每一個有限區(qū)間上使對于所有的使對于所有的都有都有成立成立則當則當時時,的的Laplace Transform是存在的。是存在的。61)(tf)(0 t01dtest 例例1 limsessTT11s10sRe)(Re0 11ssL當當即即limTstTes01拉普拉斯變換實例拉普拉斯變換實例7例例2 ( 是給定的實數(shù)或復數(shù)是給定的實數(shù)或復數(shù) ) z

4、tetf)(zzteL0dteeztst)0)(Re( zs)Re(Rezs 0dtetzs)(zs1zteLzs18n常用函數(shù)拉氏變換表n利用拉氏變換進行計算時，可直接查變換表得結(jié)果92 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì))(),(tgtf)()()()(tgLtfLtgtfL1 線性性質(zhì)線性性質(zhì)如果如果是原函數(shù)是原函數(shù),和和是任意兩個常數(shù)是任意兩個常數(shù)(可以是復數(shù)可以是復數(shù))，則有，則有102 原函數(shù)的原函數(shù)的微分性質(zhì)微分性質(zhì))(,),(),()(tftftfn )(tfL)()(0ftfsL)()(tfLn)(tfLsn)(01fsn)()()(0012nnffs如果如果都是原

5、函數(shù)，則有都是原函數(shù)，則有或或113 象函數(shù)的微分性質(zhì)象函數(shù)的微分性質(zhì))()(tfLsF0)()(dttftesFst0)()() 1()(dttfetsFstnnn( )( )( 1)( )nnnFsL t f t 123 3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換已知象函數(shù)，求原函數(shù)已知象函數(shù)，求原函數(shù))()(tfsFL1也具有線性性質(zhì)也具有線性性質(zhì))()(sFcsFcL22111)()(sFLcsFLc21211113)(tf)(sF)()()(1sFsFsFn由線性性質(zhì)可得由線性性質(zhì)可得如果如果的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換可分解為可分解為并假定并假定 的拉普拉斯變換容易求得，即的拉普拉斯變換容易

6、求得，即)(sFi)(sFi)(tfLi則則)()()(sFLsFLsFLn1111)()(tftfn114例例3 求求 的的Laplace 反變換反變換233)(2ssssF)()(2112111sLsLsFLtfttee220t解解)()(2132332sssssssF2112ss拉普拉斯逆變換實例拉普拉斯逆變換實例15例例4 求求22)2)(1(5)(ssssssF的的Laplace 反變換反變換解解2)2(111)(sssF)()(2112111sLsLtf)(0 2tteett164 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法(求非齊次線性方程的特解求非齊次線性方程的特解 )步驟：步驟：174 拉

7、普拉斯變換法拉普拉斯變換法(求非齊次線性方程的特解求非齊次線性方程的特解 )( )(1)11( ) nnnnxaxa xa xf t)()()(,)(,)(,)(1010000000 nnxxxxxxxxia為常數(shù)為常數(shù)令令 )()(txLsX0)( dttxest0 xssXtxL)()()()()()()(10200201nnnnnnxsxxsxssXstxL18)()()()(sBsFsXasasasnnnn111)()()()(sAsBsFsX)()()()()(sAsBsFLsXLtx11給給(4.32)兩端施行兩端施行Laplace Transform)()()()()()()()

8、(sFsXaxssXaxxsxssXsaxsxxsxssXsnnnnnnnnnnn012003021110200201( )(1)11( ) nnnnxaxa xa xf t19解解 令令)()(sXtxL)(teLxLdtdxL2210ssXxssX)()()(1121211sssssX)()(tteesLsLsXLtx21111121)()(例例5texdtdx20)0(x滿足初始條件滿足初始條件 求求的特解的特解 用拉氏變換求微分方程實例用拉氏變換求微分方程實例20令令 1 tddxdtdx2222dxddtxd1eeet010)(x010)(x)()(sXxL例例 6 求求 texxx 20) 1 () 1 ( xx滿足初始條件滿足初始條件 的特解的特解 解解21eex221)(ttetetetx212121121)()()()(essXss111122)()(2112121132)(!)()(sesssesXessXxssXxsxsXs11102002)()()()()()(22133 xxxx0)0()0()0( xxx)()(txLsXssXssXsXssXs1332