w矩陣論實(shí)用實(shí)用教案實(shí)用教案

1、,; , VF ( (下下面面有有: ): )0, 0(3;)VV 在在中中存存在在零零元元素素對(duì)對(duì)任任何何都都有有(1) ; (2);, (4); 0VV對(duì)對(duì)任任何何都都有有的的負(fù)負(fù)元元素素使使第1頁(yè)/共23頁(yè)第一頁(yè)，共24頁(yè)。(5) 1; ;6) ( (8). (7); 第2頁(yè)/共23頁(yè)第二頁(yè)，共24頁(yè)。2. 向量(xingling)空間中的向量(xingling)不一定是有序數(shù)組3 . 判別線性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定 定義的加法(jif)和數(shù)乘運(yùn)算不封閉， 或者運(yùn)算 不滿足八條性質(zhì)的任一條， 則此集合就不 能構(gòu)成線性空間 說(shuō)明說(shuō)明(shumng)：1凡滿足以上八條法則的加法及乘數(shù)運(yùn)

2、算， 稱(chēng)為線性運(yùn)算線性運(yùn)算第3頁(yè)/共23頁(yè)第三頁(yè)，共24頁(yè)。例例2 2 數(shù)域 F 上的全體 矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記為 nm m nF 11 , , |,.nTnnFFxxxxFF為為數(shù)數(shù)域域 則則對(duì)對(duì)向向量量的的加加法法和和數(shù)數(shù)乘乘構(gòu)構(gòu)成成 上上的的一一個(gè)個(gè)線線性性空空間間例例1 1 CR.復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域?yàn)闉閷?shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域上上的的線線性性空空間間例例3 3第4頁(yè)/共23頁(yè)第四頁(yè)，共24頁(yè)。0101 |,4R .nnnnnxaP xaaa xa 次次數(shù)數(shù)不不超超過(guò)過(guò) 的的全全體體實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式對(duì)對(duì)于于通通常常多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的加加法法和和數(shù)數(shù)乘乘構(gòu)構(gòu)成成線線性

3、性空空間間例例例例5 5 在區(qū)間 上全體實(shí)連續(xù)函數(shù) 對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間 , a b, , C a b第5頁(yè)/共23頁(yè)第五頁(yè)，共24頁(yè)。 nQ x對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算不不封封閉閉: :010 |,R, 0.nnnnnnP xxaaaaa xa 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的全全體體對(duì)對(duì)于于通通常常多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的加加法法和和乘乘數(shù)數(shù)不不構(gòu)構(gòu)成成向向量量空空間間例例6 6010()0 nnnxQxaaa x nQ x對(duì)對(duì)加加法法運(yùn)運(yùn)算算也也不不封封閉閉: :?第6頁(yè)/共23頁(yè)第六頁(yè)，共24頁(yè)。例例7 7 在正實(shí)數(shù)的全體 上定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為R ,(R, ,R ).ab

4、abaaa b 驗(yàn)證 對(duì)上述加法與乘數(shù)構(gòu)成線性空間R 證證,RR ;a bababR,RR .aaa 所以對(duì)定義的加法(jif)與乘數(shù)運(yùn)算封閉第7頁(yè)/共23頁(yè)第七頁(yè)，共24頁(yè)。下面(xi mian)一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算法則：(1);ababbaba()()()()2);(abcabcab cabcR1,(3)Ra 中中存存在在零零元元素素對(duì)對(duì)任任何何, ,有有;11aaa 1R ,4R( )aa 有有負(fù)負(fù)元元素素使使111;aaa a第8頁(yè)/共23頁(yè)第八頁(yè)，共24頁(yè)。11;(5)aaa ;(6)aaaaa ( ;7)aaa aaaaa ()(8)( )abababa b 所以 對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)

5、成線性空間R . baba 第9頁(yè)/共23頁(yè)第九頁(yè)，共24頁(yè)。1 1零元素零元素(yun s)(yun s)是唯一的是唯一的2 2負(fù)元素負(fù)元素(yun s)(yun s)是是唯一的唯一的 3. 00;1;00. 4如果如果 ，則則 或或 . 0 0 0 二、線性空間二、線性空間(kngjin)的的性質(zhì)性質(zhì)第10頁(yè)/共23頁(yè)第十頁(yè)，共24頁(yè)。1 1零元素零元素(yun s)(yun s)是唯一的是唯一的證證假設(shè) 都是線性空間 V 中的零元素.120 ,0120 ,0,V 由由于于所以(suy)212121000 , 000 ,V 對(duì)對(duì)任任何何有有112212000000 .120,0. 第11頁(yè)

6、/共23頁(yè)第十一頁(yè)，共24頁(yè)。2 2負(fù)元素負(fù)元素(yun s)(yun s)是是唯一的唯一的證證. 0, 0 從而(cng r)0 0. , 假假設(shè)設(shè) , ,都都是是的的負(fù)負(fù)元元 則則.向向量量的的負(fù)負(fù)元元- -記記為為第12頁(yè)/共23頁(yè)第十二頁(yè)，共24頁(yè)。 3. 00;1;00. 證證 01010100; 1111100 1; 10 0 . 0 第13頁(yè)/共23頁(yè)第十三頁(yè)，共24頁(yè)。4如果如果 ，則則 或或 . 0 0 0 證證0, 假假設(shè)設(shè)那么(n me) 1100; 11, 又 0. 所所以以第14頁(yè)/共23頁(yè)第十四頁(yè)，共24頁(yè)。三、線性子空間三、線性子空間(kngjin)(kngjin

7、) WFVWVFWV設(shè)設(shè)為為數(shù)數(shù)域域上上線線性性空空間間的的一一個(gè)個(gè)非非空空子子集集. .若若對(duì)對(duì)的的加加法法和和數(shù)數(shù)乘乘也也是是上上的的線線性性空空間間, ,則則稱(chēng)稱(chēng)為為 的的一一義義2 2個(gè)個(gè). .間間定定子子空空 ,;,.WFVWVWVWWWkFkW 設(shè)設(shè)為為數(shù)數(shù)域域上上線線性性空空間間的的一一個(gè)個(gè)非非空空子子集集, ,則則為為的的子子空空間間對(duì)對(duì)的的加加法法和和數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算封封閉閉: : ( (1 1) ) ( (2 2) ) 理理定定第15頁(yè)/共23頁(yè)第十五頁(yè)，共24頁(yè)。 : VV兩兩個(gè)個(gè)平平凡凡的的任任何何線線性性空空間間都都有有本本身身和和零零子子空空子子空空間間. . 間間

8、00例例8 8 :(1) 0( ; )0 m nnAAXNXAFAFA 對(duì)對(duì)于于齊齊次次方方程程的的一一切切解解構(gòu)構(gòu)成成的的一一個(gè)個(gè) 子子空空間間, , 稱(chēng)稱(chēng)其其為為 矩矩陣陣, ,記記為為( (方方程程的的解解) )核核 空空間間的的例例9 9( (2) ) |nmmRAAx xFFFA 為為的的子子空空間間, , 的的值值 稱(chēng)稱(chēng)其其為為矩矩陣陣域域. . 第16頁(yè)/共23頁(yè)第十六頁(yè)，共24頁(yè)。解解(1) 不構(gòu)成(guchng)子空間.因?yàn)?yn wi)對(duì)1000001WBA 2 3 R? 的的下下列列子子集集是是否否構(gòu)構(gòu)成成子子空空間間為為什什么么例例1010 110(1),R ;0bWb

9、 c dcd 20(2)0, ,R.00abWabca b cc有,0000021WBA 第17頁(yè)/共23頁(yè)第十七頁(yè)，共24頁(yè)。即 對(duì)矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.1W 2000(2),000W 因因.2非空非空即即W對(duì)任意(rny)112221200,0000ababABWcc有, 0111 cba, 0222 cba于是(ysh), 212121000ccbbaaBA第18頁(yè)/共23頁(yè)第十八頁(yè)，共24頁(yè)。且 , 0212121 ccbbaa2 .ABW即即Rk 對(duì)對(duì)任任意意有有1110,00kakbkAkc 且, 0111 kckbka.2kAW 即即2 32, R.W 總總之之是是的的子

10、子空空間間第19頁(yè)/共23頁(yè)第十九頁(yè)，共24頁(yè)。三、生成三、生成(shn (shn chn)chn)子空間子空間111111 , , ,.span,mmmmmmxxVk xk xkkFVxxxx 若若為為線線性性空空間間中中的的向向量量, ,則則它它們們的的一一切切線線性性組組合合| |為為 的的一一個(gè)個(gè)子子空空間間, ,稱(chēng)稱(chēng)義義3 3生生成成的的子子空空間間定定1321233 R |011 span1 ,0.01xxxxxx 例例1111第20頁(yè)/共23頁(yè)第二十頁(yè)，共24頁(yè)。思考題思考題R, R? ?nAXB 實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域上上的的 元元非非齊齊次次線線性性方方程程組組的的所所有有解解向向量量對(duì)對(duì)于于通通常常向向量量加加法法和和數(shù)數(shù)量量乘乘法法 是是否否構(gòu)構(gòu)成成上上的的一一個(gè)個(gè)線線性性空空間間為為什什么么第21頁(yè)/共23頁(yè)第二十一頁(yè)，共24頁(yè)。思考題解答思考題解答(jid)R .答答 不不能能構(gòu)構(gòu)成成上上的的一一個(gè)個(gè)線線性性空空間間0: ()2AXBBA XYBBAYB 第22頁(yè)/共23頁(yè)第二十二頁(yè)，共24頁(yè)。謝謝您的觀看(gunkn)！第23頁(yè)/共23頁(yè)第二十三頁(yè)，共24頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)第1頁(yè)/共23頁(yè)。2. 向量空間中的向量