第二章_應(yīng)力分析

1、第二章 應(yīng)力分析 研究彈性力學(xué)問題要從三方面規(guī)律（條件）：平衡、幾何、物理來建立，本章就是研究第一個(gè)規(guī)律：平衡規(guī)律。第1節(jié) 內(nèi)力和外力1.1 外力：物體承受外因而導(dǎo)致變形，外因可以是熱力作用、化學(xué)力作用、電磁力作用和機(jī)械力作用；另一方面從量綱分類，外力主要為體積力和表面積力。我們討論的外力是屬于機(jī)械力中的體力和面力的范圍。1 外部體力：作用在物體單位體積（質(zhì)量）上的力如重力（慣性力）。量綱：力/（長度）3。求V中任意點(diǎn)P上承受體力采用極限方法：PX1X3X2DSDFPX1X3X2DVDF 其中 為沿三個(gè)坐標(biāo)軸分量。2. 外部面力：作用在物體外部表面力，如靜水壓力、土壓力等。量綱：力/（長度）2

2、。求物體表面上任意一點(diǎn)P上受面力仍采用極限方法： 1.2 內(nèi)力： 物體內(nèi)部抵抗外力而產(chǎn)生相互作用的力。在材力和結(jié)力中以N、M、Q形式出現(xiàn)，但在彈力中以應(yīng)力來描述。第2節(jié) 應(yīng)力和應(yīng)力張量2.1 應(yīng)力當(dāng)變形體受外力作用時(shí)，要發(fā)生變形，同時(shí)引起物體內(nèi)部各點(diǎn)之間相互作用力（抵抗力）內(nèi)力，為了描述物體內(nèi)任意點(diǎn)P的內(nèi)力可采取如下方法：DFnDSPV+過P點(diǎn)設(shè)一個(gè)截面S將V分為兩部分：（作用力與反作用力）F+F-n+n-V+V-S+S- 一部分：、外法線 、合力 ； 另一部分：、外法線 、合力 ； 截面上的合力： 或 截面上P點(diǎn)上的內(nèi)力情況，在V+上S面圍繞P點(diǎn)取 DS，DS上合力為。 應(yīng)力矢量（作用在V+

3、）： 應(yīng)力矢量與P點(diǎn)位置有關(guān)，與截面方向（ 方向）有關(guān)。（應(yīng)力矢量具有一個(gè)方向性）。量綱為力/（長度）2。 取V- ：，作用在V-上。 當(dāng)P點(diǎn)的截面與坐標(biāo)面平行時(shí)， ，。定理2.1：過P點(diǎn)以為單位外法線截面上的應(yīng)力矢量，是作用在通過P點(diǎn)坐標(biāo)平面的應(yīng)力矢量、的線性函數(shù)、其系數(shù)是的方向余弦，、。即 x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA 而 代入上式，并忽略高階微量 或 展開為 或 2.1 應(yīng)力張量 每個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力矢量又可以沿三個(gè)坐標(biāo)面分解三個(gè)分量，比如坐標(biāo)面法線為x1 t(1)x1(x)x3(z)x2(y)s11s12s13同理，得沿三個(gè)坐標(biāo)面的應(yīng)力矢量由九個(gè)元素(分

4、量)表示,這九個(gè)分量組成一個(gè)二階張量： （1）這九個(gè)分量的兩個(gè)下標(biāo)：第一個(gè)表示應(yīng)力矢量作用面的法線方向，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力矢量的分量的方向。 應(yīng)力分量的正負(fù)：在正面上應(yīng)力分量指向坐標(biāo)正向?yàn)檎粗疄樨?fù)；在負(fù)面上的應(yīng)力分量指向坐標(biāo)負(fù)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。矩陣中，對角線元素代表以i軸為法線的平面上的正應(yīng)力。非對角線元素代表以i軸為法線的平面上沿j軸方向的剪應(yīng)力。矩陣（1）中，由于，；即，所以矩陣中9個(gè)應(yīng)力分量中獨(dú)立的分量只有6個(gè).3.2.主平面、主軸、主應(yīng)力3.2.1、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由于 ， 即，由 由 （3.1）由 由上式可看出：當(dāng)一點(diǎn)處的應(yīng)力張量已知時(shí)，可確定出過該點(diǎn)任意平面上的應(yīng)力沿三個(gè)坐標(biāo)州的

5、分量，由此可進(jìn)一步求出該平面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。其中，正應(yīng)力為矢量t在法線n上的投影，即二者的點(diǎn)積。 3.2.2、坐標(biāo)變換 當(dāng)物體受外力作用下，其內(nèi)力和變形也是一定的，但這些物理量隨著選取的直角坐標(biāo)系不同他們的分量是不一樣的，但不同坐標(biāo)下它們（分量）之間轉(zhuǎn)換應(yīng)遵循一定的規(guī)律。例：當(dāng)坐標(biāo)系Oxyz轉(zhuǎn)換為另一坐標(biāo)系Oxyz，新舊坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系如表3.1 所示，其中，為軸在舊坐標(biāo)系中軸方向的投影，即 =cos(<,>)<,> 為軸與軸之間的夾角。求：新舊坐標(biāo)系下應(yīng)力分量和之 間的關(guān)系解：（1） 令軸為法線的坐標(biāo)平面上的應(yīng)力分別為、， 如表所示，軸在舊坐標(biāo)系中的方向余弦為

6、。 根據(jù)公式（3.1）知，此坐標(biāo)平面上的總應(yīng)力在三個(gè)舊坐標(biāo)軸上的分量應(yīng)為， 將與軸作內(nèi)積得到這個(gè)坐標(biāo)平面上的正應(yīng)力 = = 如表所示，軸在舊坐標(biāo)系中的方向余弦為。 將與軸作內(nèi)積得到這個(gè)坐標(biāo)平面上的剪應(yīng)力 = 如表所示，軸在舊坐標(biāo)系中的方向余弦為。 將與軸作內(nèi)積得到這個(gè)坐標(biāo)平面上的剪應(yīng)力 = 綜上所述，可得： （a） 同理可得：以軸為法線的坐標(biāo)平面上的應(yīng)力、以及以軸為法線的坐標(biāo)平面上的應(yīng)力、。且， (b) (c)將(a)、(b)、(c)三式寫成通式，則得： 新舊坐標(biāo)系應(yīng)力分量之間的關(guān)系。（2） 討論：平面應(yīng)力問題（僅、不為零）。此種情況下的新舊坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如表3.2所示。 表3.2根據(jù)上

7、面的通式，可得：3.2.3.主平面、主軸、主應(yīng)力、應(yīng)力不變量一、 主值的概念設(shè)A為一二階張量，A=aij（i=1,2,3;j=1,2,3）,與空間中任一矢量n作內(nèi)積，得另一矢量m，即： A×n=m （2.18）若矢量m與矢量n共線，即得: m=ln （2.19）式中，稱矢量n為二階張量A的主軸，l為二階張量A的主值（為一具體的數(shù)值）。由公式（2.18）和（2.19）可得： A×n=ln （2.20 ）上式用下標(biāo)記號法可表示為： aijlj=lli （2.21 ）二、主平面、主軸、主應(yīng)力由于應(yīng)力（應(yīng)變）張量為對稱的2階張量，所以一定存在3個(gè)主軸和相應(yīng)的主值。現(xiàn)設(shè)某個(gè)主軸為n，

8、方向余弦為li(i=1,2,3),相應(yīng)的主值為l，則存在有下式 sijlj=lli (3.7)設(shè)以n為法線方向的平面上的應(yīng)力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為pi, 則得： pi=sijlj 將公式（3.8）代入（3.7）得， pi=lli (3.8)此式表明，此平面上的應(yīng)力方向與法線相同，即此平面上只有正應(yīng)力，沒有剪應(yīng)力，此正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，其值為： s=sn= pili=llili=l （3.9）討論：1、主應(yīng)力即為與主軸n相應(yīng)的主值l，對于一個(gè)對稱的2階張量，存在三個(gè)主值和相應(yīng)的主軸。 以主軸為法線的平面稱為主平面。 2、由于三個(gè)主軸為相互垂直關(guān)系，若以此三主軸為坐標(biāo)軸建立主坐標(biāo)系，則主坐標(biāo)系中的應(yīng)

9、力分量應(yīng)為： （3.10）從上式可看出：主坐標(biāo)系中的應(yīng)力張量具有最簡單的形式，它的矩陣為對角矩陣。三、應(yīng)力不變量 對于對稱的二階張量有三個(gè)不變量，分別表示如下： （3.11）討論：（1）當(dāng)主軸為坐標(biāo)軸時(shí)，三個(gè)不變量分別為： ， ， （3.12）（2） 主應(yīng)力方程根據(jù)公式（3.7）和（3.9）可得： sijlj=sli (3.14)展開上式，得： （3.15）上式可轉(zhuǎn)變?yōu)椋?（3.16）上式若有非零解，系數(shù)行列式值必為零，即： 將上述行列式展開，即得主應(yīng)力方程 （3.16）求解主應(yīng)力方程，可求得主應(yīng)力、的大小。將三個(gè)主應(yīng)力分別代回式（3.15）式，即可求得相應(yīng)的主軸，并可證明三主軸是相互正交的。 幾點(diǎn)說明：（1）（因?yàn)橛删€性代數(shù)知實(shí)對稱陣的特征值為實(shí)數(shù)）三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)，且時(shí)，；（2）當(dāng)有一個(gè)重根時(shí)，如，則與垂直平面內(nèi)任何方向均為主應(yīng)力，為；（3） 當(dāng)，任意方向均為主方向，稱為球形應(yīng)力或靜水應(yīng)力狀態(tài)。3.3.應(yīng)力張量的分解和應(yīng)力偏張量3.3.1.應(yīng)力張量的分解如圖，此平面上的應(yīng)力p在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為pi（i=1,2,3），根據(jù)公式（3.1）得： 展開得到：將法線方向n取為單位長度，則將式（3.25）代入式（3.26），得3.3.2.討論：（1）：如果以p1，p2，p3為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，則在此坐標(biāo)系中，上式為一橢球面方程，主半軸分別為s1，s2，s3，稱為應(yīng)力橢球面。