《高中數(shù)學(xué)知識點歸納總結(jié)》

1、精品文檔 教師版高中數(shù)學(xué)必修+選修知識點歸納安徽合肥 郭建德老師整理 引言 1.課程內(nèi)容： 必修課程由 5 個模塊組成： 必修 1:集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、 對、冪函數(shù)） 必修 2:立體幾何初步、平面解析幾何初步。 必修3:算法初步、統(tǒng)計、概率。 必修 4:基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、 三角恒等變換。 必修 5:解三角形、數(shù)列、不等式。 以上是每一個高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。 上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、 函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初 步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打 好基礎(chǔ)的同時，進一步強調(diào)了這些知識的發(fā)生、

2、 發(fā)展過程和實際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做 過高的要求。 此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概 率、統(tǒng)計等內(nèi)容。 選修課程有 4 個系列： 系列 1:由 2 個模塊組成。 選修 1 1:常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。 選修 1 2:統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴 充與復(fù)數(shù)、框圖 系列 2:由 3 個模塊組成。 選修 2 1:常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、 空間向量與立體幾何。 選修 22:導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系 的擴充與復(fù)數(shù) 選修 23:計數(shù)原理、隨機變量及其分布列， 統(tǒng)計案例。 系列 3:由 6 個專題組成。 選修 3 1:數(shù)學(xué)史選講。 選修 32:信息安全與密碼。

3、選修 33:球面上的幾何。 選修 34:對稱與群。 選修 35:歐拉公式與閉曲面分類。 選修 36:三等分角與數(shù)域擴充。 系列 4:由 10 個專題組成。 選修 4 1:幾何證明選講。 選修 42:矩陣與變換。 選修 43:數(shù)列與差分。 選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程。 選修 45:不等式選講。 選修 46:初等數(shù)論初步。 選修 4 7:優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步 選修 48:統(tǒng)籌法與圖論初步。 選修 49:風(fēng)險與決策。 選修 410:開關(guān)電路與布爾代數(shù)。 2.重難點及考點： 重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量， 圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù) 難點：函數(shù)、圓錐曲線 高考相關(guān)考點： 集合與簡易邏輯：集合的

4、概念與運算、 簡易邏 輯、充要條件 函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、 值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函 數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對 數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用 數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù) 列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用 三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性 質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用 平面向量：有關(guān)概念與初等運算、坐標(biāo)運算、 數(shù)量積及其應(yīng)用 不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式 的證明、不等式的解法、絕對值不 等式、不等式的應(yīng)用 直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位 置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、 直線與圓的位置關(guān)系 圓錐曲線方程：

5、橢圓、雙曲線、拋物線、直 線與圓錐曲線的位置關(guān)系、 軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用 精品文檔 直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線 與平面、平面與平面、棱柱、 棱錐、球、空間向量 排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二 項式定理及其應(yīng)用 (11) 概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、 抽樣、正態(tài)分布 (12) 導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (13) 復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運算 必修 1 數(shù)學(xué)知識點 第一章：集合與函數(shù)概念 1.1.11.1.1、集合 1 1、 把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總 體叫做 集合。集合三要素: 確定性、互異性、無 序性。 2 2、 只要構(gòu)成兩個集合的元素是一

6、樣的，就稱這兩個 集合相等。 3 3、 常見集合：正整數(shù)集合：N*或N ,整數(shù)集合： Z ,有理數(shù)集合：Q ,實數(shù)集合：R. . 4 4、 集合的表示方法： 列舉法、描述法. . 1.1.21.1.2、集合間的基本關(guān)系 1 1、 一般地，對于兩個集合 A A、B B，如果集合 A A 中任 意一個元素都是集合 B B 中的元素， 則稱集合 A A 是 集合 B B 的子集。記作A B. . 2 2、 如果集合 A B，但存在元素x B，且x A, 則稱集合A A 是集合 B B 的真子集. .記作：雄 B.B. 3 3、 把不含任何元素的集合叫做空集. .記作：. .并規(guī)定： 空集合是任何集合

7、的子集. . 4 4、 如果集合 A A 中含有 n n 個元素，則集合 A A 有2n個子 集，2n 1個真子集. . 1.1.31.1.3、集合間的基本運算 1 1、 一般地，由所有屬于集合 A A 或集合 B B 的元素組成 的集合，稱為集合 A A 與 B B 的并集. .記作：A B . . 2 2、 一般地，由屬于集合 A A 且屬于集合 B B 的所有元素 組成的集合，稱為 A A 與 B B 的交集. .記作：A B . . 3 3、 全集、補集？ CU A x|x U ,且 x U 1.2.11.2.1、函數(shù)的概念 1 1、設(shè) A BA B 是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對

8、應(yīng) 關(guān)系f，使對于集合 A A 中的任意一個數(shù)x，在集 合 B B 中都有惟一確定的數(shù) fx和它對應(yīng)，那么就 稱f : A B為集合 A A 到集合 B B 的一個函數(shù)，記 作：y f x,x A. . 2 2、 一個函數(shù)的構(gòu)成要素為： 定義域、對應(yīng)關(guān)系、值 域. .如果兩個函數(shù)的定義域相同， 并且對應(yīng)關(guān)系完 全一致，則稱這兩個函數(shù)相等. . 1.2.21.2.2、函數(shù)的表示法 1 1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法 1.3.11.3.1、單調(diào)性與最大(小)值 1 1、注意函數(shù)單調(diào)性的證明方法： (1)(1)定義法：設(shè) x1 x2 a, b, x1 x2那么 f(xj f (x2)

9、 0 f(x)在a,b上是增函數(shù)； f(xj f(X2) 0 f(x)在a,b上是減函數(shù). . 步驟：取值一作差一變形一定號一判斷 格式：解：設(shè)x1,x2 a,b且x1 x2，則： f x1 f x2 = (2)(2)導(dǎo)數(shù)法：設(shè)函數(shù)y f (x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 若f (x) 0，則f (x)為增函數(shù)； 若f (x) 0f (x)為減函數(shù). . 1.3.21.3.2、奇偶性 1 1、一般地，如果對于函數(shù) f x的定義域內(nèi)任意一個 x，都有f X f x，那么就稱函數(shù) f x為 偶函數(shù). .偶函數(shù)圖象關(guān)于 y軸對稱. . 2 2、一般地，如果對于函數(shù) f x的定義域內(nèi)任意一個 x,都有f X

10、f x ,那么就稱函數(shù)f X為 奇函數(shù). .奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱. . 知識鏈接：函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 1 1、函數(shù)y f (x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)y f(x)在點Xo處的導(dǎo)數(shù)是曲線 y f (x)在 P(X, f (Xo)處的切線的斜率f (Xo),相應(yīng)的切線方 程疋y y0 f(X0)( X。). . 2 2、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) C 0 ; (Xn) n 1 nx ； (sin x) cosx ； i (cos x) sin x ； (ax) ax ln a ； (ex) ex ； (log a x) 1 1 :(In x) 一 xln a X 精品文檔 3 3、導(dǎo)數(shù)的運算法則 精

11、品文檔 (1) (u v) u v . (2) 1 1 (uv) u v 1 uv . 1 U u v 1 uv , c、 (3) () (v 0) 4 4、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)y f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù) y f (u), u g (x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 yx Yu Ux , 即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的 乘積. . 解題步驟：分層一層層求導(dǎo)一作積還原 . . 5 5、 函數(shù)的極值 (1)(1) 極值定義： 極值是在 x xo附近所有的點，都有 f (x) f (x) V f (xf (xo) ), 則 f(xf(xo) )是函數(shù) f(x)f(x)的極大值； 極值是在

12、 x xo附近所有的點，都有 f(x) f(x) f (Xf (Xo ) ), 則 f(xf(xo) )是函數(shù) f(x)f(x)的極小值. . (2)(2) 判別方法： 如果在 X Xo附近的左側(cè)f(x) 0 0,右側(cè)f(x) V0 0, 那么 f(xf(xo) )是極大值； 如果在 X Xo附近的左側(cè)f(x) V 0 0,右側(cè)f(x) o o, 那么 f(xf(xo) )是極小值. . 6 6、 求函數(shù)的最值 (1)(1)求y f (x)在(a,b)內(nèi)的極值(極大或者極小值) 將y f (x)的各極值點與f (a), f (b)比較，其中 最大的一個為最大值，最小的一個為極小值。 注：極值是

13、在局部對函數(shù)值進行比較(局部性質(zhì)) ； 最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較 ( (整體性質(zhì)) )。 a 0, m, n N , m 1 ； a n 1n n 0 ； a 4 4、運算性質(zhì): r s a a a a 0, r, s Q ； r s ar ars a 0,r,s Q ； ab r arbr a 0,b 0,r Q 2.1.22.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1 1、記住圖象： x c y a a 0, a 1 y=ax / 0a1 1 一 o a 1 0 a 1 圖 象 1 1 f 、 1 1 性 質(zhì) (1)定義域：R (2)值域：(0, +8) (3)過定點(0, 1),即 x=0

14、時，y=1 (4)在R上是增函數(shù) (4)在R上是減函數(shù) x 0,ax 1; ; x x 0,0 a 1 x 0,0 ax 1; ; x o, a 1 第二章：基本初等函數(shù)(I) 2.1.12.1.1、指數(shù)與指數(shù)幕的運算 1 1、 一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次方根。 其中n 1, n N . . 2 2、 當(dāng)n為奇數(shù)時，】an a ； 當(dāng)n為偶數(shù)時，van |a . 3 3、 我們規(guī)定： n _ m m n (1) a i a 2 2、性質(zhì)： 2.2.12.2.1、對數(shù)與對數(shù)運算 x 1 1、 指數(shù)與對數(shù)互化式： a N x log a N ； 2 2、 對數(shù)恒等式：alogaN N

15、 . . 3 3、 基本性質(zhì)：loga1 0 , log a a 1. . 4 4、 運算性質(zhì)當(dāng) a 0,a 1,M 0, N 0時： log a MN log a M log a N ； 精品文檔 2.22、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 第三章：函數(shù)的應(yīng)用 3.1.13.1.1、方程的根與函數(shù)的零點 1 1、 方程f x 0有實根 函數(shù)y f x的圖象與x軸有交點 函數(shù)y f x有零點. . 2 2、 零點存在性定理： 如果函數(shù)y f x在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷 1 1、記住圖象：y log a x a 0, a 1 的一條曲線，并且有 f a f b 0 ,那么函數(shù) y f x在區(qū)間a,b內(nèi)有零

16、點，即存在 c a,b , 使得f c 0，這個c也就是方程f x 0的根 3.1.23.1.2、用二分法求方程的近似解 1 1、掌握二分法 3.2.13.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型 3.2.23.2.2、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例 1 1、解決問題的常規(guī)方法：先畫散點圖，再用適當(dāng)?shù)暮?數(shù)擬合，最后檢驗. . (1)(1)定義域：(0 0, + +R) (2 2)值域：R R (3(3)過定點(1 1, 0 0),即 x=1 x=1 時，y=0y=0 (4 )在(0，+比)上是增函數(shù) (4)在(0, +)上是減函數(shù) x 1,loga x 0 : 0 x 1, loga x 0 x 1, log a

17、x 0 : 0 x 1,log a x 0 2.32.3、幕函數(shù) 1 1、幾種幕函數(shù)的圖象: 必修 2 數(shù)學(xué)知識點 第一章：空間幾何體 1 1、 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺：常見的旋轉(zhuǎn)體有： 圓柱、圓錐、圓臺、球。 棱柱:有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且 每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍 成的多面體叫做棱柱。 棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與 截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。 2 2、 空間幾何體的三視圖和直觀圖 把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影， 中心投影 的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的投影叫 平行投影

18、，平行投影的投影線是平行的。 3 3 3 空間幾何體的表面積與體積 logaN lOgaM lOgaN ； log a M n n log a M . . 5 5、換底公式: logc b a logc a 1, 1, c 0,cc 0,c 1,b 0 .1,b 0 . logan bm mlogab n log a b 1 a a i i 0, 0, a 1,ba 1,b 0, b 1 .0, b 1 . y y=log ax 0a1 2 2、性質(zhì): 6 6、重要公式: 7 7、倒數(shù)關(guān)系: a a 0, 0, a a b a 精品文檔 圓柱側(cè)面積；S側(cè)面 2 r l 圓臺側(cè)面積： S側(cè)面 r

19、 1 體積公式： V柱體 S h； V臺體3 s上 V錐體 1 S h ； 3 S上 S下 S下 h 球的表面積和體積： S 球 4 R ， V球3 R3. . 第二章：點、直線、平面之間的位置關(guān)系 1 1、 公理 1 1:如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條 直線在此平面內(nèi)。 2 2、 公理 2 2 :過不在一條直線上的三點， 有且只有一個平面 3 3、 公理 3 3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它 們有且只有一條過該點的公共直線。 4 4、 公理 4 4：平行于同一條直線的兩條直線平行. 5 5、 定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這 兩個角相等或互補。 6 6、

20、 線線位置關(guān)系： 平行、相交、異面。 7 7、 線面位置關(guān)系： 直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直 線和平面相交。 8 8、 面面位置關(guān)系： 平行、相交。 9 9、 線面平行： 判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則 該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行） 。 性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一 平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則 線線平行）。 1010、 面面平行: 圓錐側(cè)面積：S 側(cè)面 精品文檔 判定：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行， 則這兩個平面平行（簡稱線面平行，則面面平行） 。 性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么 它

21、們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行）。 1111、 線面垂直： 定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線， 那么就說這條直線和這個平面垂直。 判定：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， 則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直） 性質(zhì)：垂直于同一個平面的兩條直線平行。 1212、 面面垂直: 定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面 角，就說這兩個平面互相垂直。 判定：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個 平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直） 。 性質(zhì)：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的 直線垂直于另一個平面。（簡稱面面垂直，則線面垂直） 第三章：

22、直線與方程 1 1、傾斜角與斜率： k tan 上_ X2 X1 2 2、直線方程： 點斜式： y y。 k x Xo 斜截式： y kx b 兩點式： y y1 y2 y1 x X1 x X1 截距式： x y 1 a b 一般式： Ax By C 0 3 3、 對于直線 l1 : y k1x b| ,l2 : y k2x b2 有:k2 ； b2 k1 和 2 合和12 相 精品文檔 li I2 kh 1. . 4 4、對于直線： h：AiX Biy Ci 0,. 有 l2 : A2X B2y C2 0 l1/l2 A1 B2 A2 Bi B1C B2C li 和 l2相交 AiB2 A2

23、Bi ; li和l2重合 A B2 A2 Bi Bi C2 B2Ci li l2 AiA2 BiB2 0. . 5 5、兩點間距離公式: |Pi P21 J 2 2 X2 Xi y yi 6 6、點到直線距離公式: d AX0 By0 C 7 7、兩平行線間的距離公式: li: AX By Ci 0 與 l2 : AX By C2 0平行, Ci C2 2 B2 第四章：圓與方程 i i、圓的方程： 標(biāo)準(zhǔn)方程: 其中圓心為（a,b），半徑為r . . 一般方程： 2 X 2 y DX Ey F 0. . 其中圓心為（ D E) ，半徑為 r 丄 JD2 E2 4F 2 2 2 2 2、直線與圓

24、的位置關(guān)系 直線AX By C 0與圓（x a)2 (y b)2 r2 的位置關(guān)系有三種： d r 相離 0; ; d r 相切 0; ; d r 相交 0. . 弦長公式：| 2 r2 d2 .1 k2.( X X2)2 4X1X2 3 3、 兩圓位置關(guān)系： d r ； 。1。2| 外離 d R 外切 d R r ； 相交 R r d R r ； 內(nèi)切 d R r ； 內(nèi)含 d R r. . 3 3、空間中兩點間距離公式： 2 P1P2| . X2 第一章：算法 Xi -2 2 y2 yi Z2 zi 必修 3 數(shù)學(xué)知識點 1 1、 算法三種語言： 自然語言、流程圖、程序語言； 2 2、 流

25、程圖中的圖框： 起止框、 輸入輸出框、 處理框、 判斷框、 流程線等 規(guī)范表示方法； 3 3、算法的三種基本結(jié)構(gòu)： 順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu) 順序結(jié)構(gòu)示意圖: 當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) （圖1 1） 條件結(jié)構(gòu)示意圖: 精品文檔 輸出語句的 賦值語句的 （“=“=”有時也用）. . 條件語句的一般格式有兩種: IF IF THEN THEN ELSEELSE 語句的一般格式為: （圖2 2） IF 條件 THEN 語句 1 ELSE 語句 2 END IF （圖 2） 循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖： 當(dāng)型（WHILEWHILE 型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖: IF IF THENTHEN 語句的一般格式為： I

26、F 條件 THEN 語句 END IF （圖 3 3） 循環(huán)語句的一般格式是兩種： 當(dāng)型循環(huán)（WHILEWHILE 語句的一般格式： WHILE 條件 循環(huán)體 （圖4 4） WEND 直到型循環(huán)（UNTILUNTIL）語句的一般格式: （圖4 4） DO 循環(huán)體 LOOP UNTIL 條件 （圖5 5） 4 4、基本算法語句： 輸入語句的一般格式: INPUT INPUT “提示內(nèi)容”；變量 算法案例： 輾轉(zhuǎn)相除法一結(jié)果是以相除余數(shù)為 0 0 而得到 利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下： i） :用較大的數(shù) m m 除以較小的數(shù) n n 得到一個商S0和 一個余數(shù)R0 ； ii） ：若R0

27、= 0 0，則 n n 為 m, nm, n 的最大公約數(shù)；若 豐豐0 0， 則用除數(shù) n n 除以余數(shù)Rj得到一個商S,和一個余 數(shù)R ； iii） ：若Ri = 0 0,則Ri為 m, nm, n 的最大公約數(shù)；若R工 0 0，則用除數(shù) 除以余數(shù)R得到一個商S2和一個余數(shù) R2 ； 精品文檔 依次計算直至Rn = 0 0,此時所得到的Rn 1即為所求 的最大公約數(shù)。 更相減損術(shù)一結(jié)果是以減數(shù)與差相等而得到 利用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下： i) :任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。 若是，用 2 2 約簡；若不是，執(zhí)行第二步。 ii) :以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與

28、 所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直 到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)(等數(shù))就是所求的 最大公約數(shù)。 進位制 十進制數(shù)化為 k k 進制數(shù)一除 k k 取余法 k k 進制數(shù)化為十進制數(shù) 第二章：統(tǒng)計 1 1、 抽樣方法： 簡單隨機抽樣(總體個數(shù)較少) 系統(tǒng)抽樣(總體個數(shù)較多) 分層抽樣(總體中差異明顯) 注意：在 N N 個個體的總體中抽取出 n n 個個體組成樣本， 每個個體被抽到的機會(概率)均為 n。 N N 2、 總體分布的估計： 一表二圖： 頻率分布表一一數(shù)據(jù)詳實 頻率分布直方圖 - 分布直觀 頻率分布折線圖一一便于觀察總體分布趨勢 注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積

29、為 1 1。 莖葉圖： 莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù) 的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。 個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大 書寫，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫。 3 3、 總體特征數(shù)的估計： 平均數(shù)：為 X X2 X X3 X Xn ； n n 取值為 X XX X2， ,X,Xn的頻率分別為 P Pi，P P2， , , P Pn，則其 平均數(shù)為 X Xi P Pi X X2 P P2 X Xn P Pn ； 注意：頻率分布表計算平均數(shù)要取組中值。 方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù) X X1, X, X2 , , , , X Xn 注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。 平均數(shù)反映

30、數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的 穩(wěn)定水平。 線性回歸方程 變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系； 制作散點圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系 線性回歸方程：y bx a y bx a (最小二乘法) XX nx y i 1 n 2 Xi a y bX 注意： 線性回歸直線經(jīng)過定點 (x, y)。 第三章：概率 1 1、 隨機事件及其概率： 事件：試驗的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母 表示； 必然事件、不可能事件、隨機事件的特點； 隨機事件 A A 的概率：P(A) P(A) m ,0 ,0 P(A) P(A) 1 1. . n n 2 2、 古典概型： 基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果

31、； 古典概型的特點： 所有的基本事件只有有限個； 每個基本事件都是等可能發(fā)生。 古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事 件共有n n 個，事件 A A 包含了其中的 m m 個基本事件，則 事件 A A 發(fā)生的概率 P(A) P(A) m . . n n 3 3、 幾何概型： 幾何概型的特點： 所有的基本事件是無限個； 每個基本事件都是等可能發(fā)生。 幾何概型概率計算公式： P(A) P(A) d的測度； D D 的測度； 其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、 體積等。方差：s s* 2 n ni1(X 2 X)； 標(biāo)準(zhǔn)差: 2 X) 2 nx s 精品文檔 如果事件 AI,A2

32、, ,A,An彼此互斥，則有： P(AP(Ai A A An) P(A) P(Ai) P(A) P(A2) ) P(AP(An) ) 對立事件： 兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生， 則稱 這兩個事件為對立事件。 事件A的對立事件記作 A A P(A) P(A) 1, P(A) 1 P(A) 對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事 件。 0 0 6 4 73 2 2 P 3 4 3 2- 2 sin cos tan 5 5、特殊角 0 0, 3030，45 45 ，6060， 9090，180180，270270 等的三角函數(shù)值 必修 4 數(shù)學(xué)知識點 第一章：三角函數(shù) 1.1.11.1.1、任

33、意角 1 1、 正角、負角、零角、象限角 的概念. . 2 2、 與角終邊相同的角的集合： 1 1、 平方關(guān)系： 2 sin 2 cos 12 2、 商數(shù)關(guān)系: tan sin cos 3 3 倒數(shù)關(guān) tan cot 1 1.2.21.2.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 2k ,k Z . . 1.1.21.1.2、弧度制 1 1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做 1 1 弧度 的角 l 3 3、弧長公式：l R. . 4 4、扇形面積公式： 180 S n R2 360 1 IR . . 2 1.2.11.2.1、任意角的三角函數(shù) 它的終邊與單位圓交于點 1 1、 設(shè)是一個任意角， x,

34、y，那么：sin y, cos x, tan 設(shè)點A x , y 為角 終邊上任意一點，那么: (設(shè) sin cos -，tan r y ,cot x sin 函數(shù)線的畫法. . cos ，tan 在四個象限的符號和三角 正弦線 余弦線 正切線 MP;MP; OM;OM; ATAT 1 1、 誘導(dǎo)公式一: sin 2k cos 2sin , cos ,（其中：k Z） tan . 2 2、 誘導(dǎo)公式二: sin sin , cos cos , tan tan . 3 3、 誘導(dǎo)公式三： sin sin , cos cos , tan tan . 4 4、 誘導(dǎo)公式四： sin sin , co

35、s cos , tan tan . 5 5、 誘導(dǎo)公式五： sin 2 cos , cos _ 2 sin . 6 6、 誘導(dǎo)公式六： 1.31.3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 (概括為“奇變偶不變，符號看象限” k Z) 精品文檔 sin cos 2 精品文檔 sin 1.4.11.4.1、正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1 1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象： y=s inx -5 廠、/ - 2_ -4 -7 -3 -2 2 -3 2 y=cosx -5 -3 2 -4 -7 -2 -3 1.41.423 3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) y=ta nx 1y 1 / r r J _ - y y=cotx 1 1

36、1 1 1 1 i 3 - / -2 o 2 /孑 X -H 2 o- * 3 、2 * / 1 / 1 to L 1 1 定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性 周期函數(shù)定義： 對于函數(shù)f x， 如果存在一個非零常數(shù) T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時， 都有 f x Trx，那么函數(shù)f x就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) T叫做這個函數(shù)的周期. y sin x y cosx y tanx 圖象 i y 0 / / i i 1 2 2 Ji2 Ji -_n 律 ! / x T y 0 I XJ 1 L 1 X, | / X I it i /i i / * i / 1 -玄 1 / - 3Ll

37、 / YV r r 1r 定義域 R R x |x x |x k ,k Z 2k ,k Z 2 值域 卜 1,11,1 - -1,11,1 R 1 1、記住正切函數(shù)的圖象: 2 2、記住3 3、能夠?qū)φ請D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì): 圖表歸納：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì) 精品文檔 2 2、 能夠?qū)φ請D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)： 定 義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、 奇偶性、單調(diào)性、周期性 3 3、 會用五點法作圖. . y sinx在x 0, 2 上的五個關(guān)鍵點為： （0,0,，,（，）弓，-D，（2，）精品文檔 1.51.5、函數(shù) y Asin x 的圖象 1 1、對于

38、函數(shù): y Asi n x B A 0, 0有：振幅 A A，周 2 期T ，初相 ，相位 x ，頻率f 辛 亍. 2 2、能夠講出函數(shù)y si nx的圖象與 y As in x B的圖象之間的平移伸縮變 換關(guān)系 先平移后伸縮： y sin X平移| |個單位 y sin x （左加右減） 橫坐標(biāo)不變 y Asin x 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A倍 縱坐標(biāo)不變 - y As in x 1 1 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢一|倍 平移|B|個單位卜y Asin x B （上加下減） 先伸縮后平移： y sin x 橫坐標(biāo)不變 十 y Asin x 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A倍 縱坐標(biāo)不變 .y As in x 橫坐標(biāo)

39、變?yōu)樵瓉淼?|丄|倍 平移 個單位 y Asin x （左加右減） 平移|B|個單位 y Asin x B （上加下減） 3 3、三角函數(shù)的周期 ，對稱軸和對稱中心 函數(shù)y sin( x )， x x R R 及函數(shù)y cos( x ）， x x R R（A, A, 為常數(shù)，且 2 AM 0)0)的周期T ； | | 函 數(shù) y tan( x )，x k - , k Z (A, (A, 3 , , 2 為 常數(shù)，且 A AM 0 0）的周期T | |. . 對于 y Asin( x )和 y Acos( x ）來 說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系 求函數(shù)y Asin（ x ）圖像的

40、對稱軸與對稱中心, 只需令 x k-(k Z)與 x k (k Z) 2 解出x即可. .余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可得 . . 4 4、由圖像確定三角函數(shù)的解析式 利用圖像特征： A ymax ymin B ymax 血 2 2最值 x 2k ,k Z時，ymax 1 2 x 2k -, k Z時，丫丫口皿 1 2 x 2k ,k Z時,ymax 1 x 2k ,k Z時，Ymin 1 無 周期性 T 2 T 2 T 奇偶性 奇 偶 奇 單調(diào)性 k Z 在2 k _ 2 k _上單調(diào)遞增 2 2 在2k - 2k 上單調(diào)遞減 2 2 在2 k ,2 k 上單調(diào)遞增 在2k ,2k 上單調(diào)遞減

41、在（k k k k ）上單調(diào)遞增 2 2 2 2 對稱性 k Z 對稱軸方程：x k 2 對稱中心（k k ,0,0） 對稱軸方程：x kx k 對稱中心（k ,0） 2 無對稱軸 k 對稱中心（,0） 2 精品文檔 要根據(jù)周期來求，要用圖像的關(guān)鍵點來求 1.61.6、三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 1 1、要求熟悉課本例題 第三章、三角恒等變換 3.1.13.1.1、兩角差的余弦公式 記住 1515的三角函數(shù)值： 3.23.2、簡單的三角恒等變換 1 1、 注意正切化弦、平方降次 2 2、 輔助角公式 y asinx bcosx . a2 b2 sin（x ） （其中輔助角 所在象限由點（a,b）的

42、象限決 sin cos tan 12 2 屈 4 4 3.1.23.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 定，tan ）. . a 第二章：平面向量 2.1.12.1.1、向量的物理背景與概念 1 1、 了解四種常見向量： 力、位移、速度、加速度 1 1、 sin sin cos cos sin 2 2、 sin sin cos cos sin 3 3、 cos cos cos sin sin 4 4、 cos cos cos sin sin 5 5、 tan tan tan 1 tan tan 6 6、 tan tan tan 1 tan tan 3.1.33.1.3、 二倍角的正弦 、

43、余弦、 正切公式 1 1、 si n2 2sin cos , 變形： .sin cos 1 1 sin2 . . 2 2、 cos 2 2 cos sin2 2 cos2 1 2 2、既有大小又有方向的量叫做 向量. . 2.1.22.1.2、向量的幾何表示 1 1、帶有方向的線段叫做 有向線段，有向線段包含三 個要素：起點、方向、長度 向量AB的大小，也就是向量 AB的長度（或稱 uuu 模），記作AB ；長度為零的向量叫做 零向量；長 度等于 1 1 個單位的向量叫做 單位向量. . 3 3、方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共 線向量）. .規(guī)定：零向量與任意向量平行 . . 2

44、.1.32.1.3、相等向量與共線向量 1 1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. . 2.2.12.2.1、向量加法運算及其幾何意義 1 1、三角形加法法則 和平行四邊形加法法則 精品文檔 1 2si n2 變形如下： - k 1 cos2 升幕公式： 1 cos2 2 2、a b w a b . . 2.2.22.2.2、向量減法運算及其幾何意義 1 1、與a長度相等方向相反的向量叫做 a的相反向量. .2cos2 2sin2 2 cos 降幕公式： .2 sin 2（1 cos2 ） 2（1 2 2、三角形減法法則和平行四邊形減法法則 3 3、tan2 2tan 2 1 tan2 s

45、i n2 1 cos 2 4 4、 tan - - 1 cos2 sin 2 2.2.32.2.3、向量數(shù)乘運算及其幾何意義 平廳四辺舷確皓陡測 精品文檔 當(dāng) 0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng) 0時，a的方向與a的方向相反. . 2 2、 平面向量共線定理：向量a a 0與b共線，當(dāng) 且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù) ，使b a. . 2.3.12.3.1、平面向量基本定理 1 1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩 個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量 a， 有且只有對實數(shù) 1 , 2，使a 1 G 2。2 . . 2.3.22.3.2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 1 1、 a xi

46、 y j X, y . . 2.3.32.3.3、平面向量的坐標(biāo)運算 1 設(shè) a X1,y1 ,b X2,y2 ，則： a* a b X1 X2 y y， b- a b X1 X2,y1 y ， r a X1, y1 ， a/b x2 X2y1. . 2、 設(shè) A X1, y1 , B X2, y2，則： AB X2 X1，y2 y1 . . 2.3.42.3.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示 仁設(shè) A X1, y1 ,B X2,y2 ,C X3, y3，則 3 3、 a2 a . . 4、 |a a . . F * 5 5、 a b a b 0. . 2.4.22.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

47、、模、夾角 仁設(shè) a X1, y1 ,b X2,y2，則： a b X1X2 1112 a . xi 2 y1 r r r a b a b 0 X2 I1I2 2 2、設(shè) A Xi, yi , B X2, y2 ,則: 兩向量的夾角公式 X1X2 y2 2 2 2 yi X2 y2 4 4、點的平移公式 平移前的點為P(X, y)(原坐標(biāo))，平移后的對應(yīng)點 LULT 為P(x,y)(新坐標(biāo))，平移向量為 PP (h,k)， h k. f(x)的圖像按向量 a (h,k)平移后的 1 1、 規(guī)定：實數(shù) 與向量a的積是一個向量，這種運 算叫做向量的數(shù)乘. .記作： a，它的長度和方向 規(guī)定如下：

48、) ABCABC 的重心坐標(biāo)為 241241、 1 1、 S- -fc- a b cos X1 X2 X3 % y2 ya I I 2 2、 a在b方向上的投影為：a cos r r r a/b a o o y1y1 卷 yyyy X r r cos 函數(shù) 線段 ABAB 中點坐標(biāo)為 N X2 % y? 2 ， 2 ， 精品文檔 圖像的解析式為 y k f(x h). 2.5.12.5.1、平面幾何中的向量方法 2.5.22.5.2、向量在物理中的應(yīng)用舉例精品文檔 知識鏈接：空間向量 空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得 下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進行 總結(jié)歸納 1 1

49、、直線的方向向量和平面的法向量 直線的方向向量： 若 A A、B B 是直線|上的任意兩點，則AB為直線I的 uuu 一個方向向量；與AB平行的任意非零向量也是直線 I 的方向向量 .平面的法向量：_ 若向量n所在直線垂直于平面 ，則稱這個向量 垂直于平面，記作n ,如果n ,那么向量n 叫做平面的法向量 .平面的法向量的求法(待定系數(shù)法) ： 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 設(shè)平面 的法向量為n (x,y,z). 求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo) r ir a (a1,a2,a3), b (bbb) r r 根據(jù)法向量定義建立方程組 n r 0 n b 0 解方程組，取其中一組解，即得平面 的法向量. .

50、 2 2、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系 線線平行 設(shè)直線l1,l2的方向向量分別是 a、b，則要證明l1 / r r r r l2，只需證明 a / b，即 a kb(k R). . 即:兩直線平行或重合 的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外 (法二)要證明一條直線和一個平面平行，也可 以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線 向量即可. . 面面平行 若平面的法向量為u,平面的法向量為v,要 r r r r 證 / ，只需證u / v，即證u v . .(如圖) 直線 兩直 線的方向向量共線。 線面平行 (法一)設(shè)直線I的方向向量是a,平面的法向 量是u,則要證明I / ,只

51、需證明a u，即a u o. . 即:直線與平面平行 精品文檔 兩平 面的法向量共線。 3 3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系 線線垂直 r r 設(shè)直線l1,l2的方向向量分別是 a、b，則要證明 r r r r li J，只需證明a b，即a b 0. . 即:兩直線垂直 兩直 線的方向向量垂直。 線面垂直 （法一）設(shè)直線i的方向向量是a，平面的法向 量是u,則要證明i ,只需證明a u，即a u. . 直線 的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量者$垂 直。 面面垂直 若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要 r r r r 證 ，只需證u V ,即證u V 0. . -即：兩平面垂直即

52、：兩平面平行或重合 （法二）設(shè)直線i的方向向量是a ,平面 內(nèi)的兩 r IT IT ur 個相父向量分別為 m、n,若 a m r r ,則 i . a n 0 即：直線與平面垂直 直線 的方向向量與平面的法向量共線 精品文檔 AO I, BO I，貝U AOB為二面角 I 的平 面角. . 如圖： 求法：設(shè)二面角 I 的兩個半平面的法向量 分別為m、n,再設(shè) m、n的夾角為 ，二面角 的平面角為 ur r ，則二面角 為m、n的夾角 或其補角 兩平 面的法向量垂直。 4 4、利用向量求空間角 求異面直線所成的角 已知a,b為兩異面直線，A A，C C 與 B B，D D 分別是a,b 上的任

53、意兩點，a,b所成的角為 ， uur uur AC BD 貝H cos uur uur . AC BD 求直線和平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成 的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角 求法：設(shè)直線I的方向向量為a,平面的法向量 為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為 則為的余角或 的余角 即有: sin cos 的補角 求二面角 定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分, 其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個 半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面 角的棱，每個半平面叫做二面角的面 面角的平面角是指在二面角 I 的棱上 任取一點 o o,分別在兩個

54、半平面內(nèi)作射線 AB 根據(jù)具體圖形確定 是銳角或是鈍角: 如果是銳角，則cos 即 arcco cos ir r m n min ； 如果是鈍角，則cos 即 arccos cos m n mr mn 5 5、利用法向量求空間距離 點 Q Q 到直線I距離 若 Q Q 為直線|外的一點，P在直線I上， r uuu 方向向量，b = = PQ，則點 Q Q 到直線I距離為 h r、(靑詁 |)2 (a b)2 |a| 點 A A 到平面 的距離 若點 平面 UULT MP P為平面 a為直線I的 外一點，點 M M 為平面 內(nèi)任一點, 的法向量為n，則 P P 到平面 的距離就等于 在法向量n方

55、向上的投影的絕對值 uuur ruuuir MP cos n, MP 精品文檔 直線a與平面 之間的距離 當(dāng)一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平 面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化 為求直線上任一點到平面的距離， 即轉(zhuǎn)化為點面距離。 P0 ,0 a , a AP 概括為：垂直于斜線就垂直于射影 7 7、三余弦定理 設(shè) ACAC 是平面 內(nèi)的任一條直線，ADAD 是 的一條 斜線 ABAB在 內(nèi)的射影，且 BDL AD,BDL AD,垂足為 D.D.設(shè) ABAB 與 （ADAD）所成的角為i , ADAD 與 ACAC 所成的角為 2 , AB AB 與 ACAC所成的角為 .

56、則COS COS 1 COS 2 . . 兩平行平面 ，之間的距離 利用兩平行平面間的距離處處相等， 可將兩平行平 面間的距離轉(zhuǎn)化為求點面距離。 .r urn, n MP 即 d L_p. n 異面直線間的距離 r 設(shè)向量n與兩異面直線a,b都垂直，M a, P b, unr r 則兩異面直線a,b間的距離d就是MP在向量n方向 上投影的絕對值。 .r luur, n MP 即 d 1一rL n 8 8、面積射影定理 已知平面 內(nèi)一個多邊形的面積為 S S原，它在 平面內(nèi)的射影圖形的面積為 S S射 ，平面與平 面所成的二面角的大小為銳二面角 ，則 S S射 cos =. S S原 9 9、一

57、個結(jié)論 長度為I的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射 sin2 1 sin2 2 sin2 3 2. . （立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例） 6 6、三垂線定理及其逆定理 三垂線定理： 在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個 平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂 必修 5 數(shù)學(xué)知識點 r ujir n MP 推理模式：PAI A a AO 影長分別為|2、l3，夾角分別為1 2 2 2 2 l l1 l2 l3 2 2 2 COS 1 COS 2 COS 3 2、 1 3, ,則有 精品文檔 第一章：解三角形直. 推理模式： 1 1、正弦定理： 概括為：垂直于射影就垂直于斜線 _

58、三垂線定理的逆定理： 在平面內(nèi)的一條直線，如果 和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的 射影垂直 a sin A b c sin B sin C 2R. . （其中R為 ABC外接圓的半徑） a 2RsinA,b 2Rsin B, c 2Rsin C; sin A ,sin B 2R 2R,SinC c 2R a :b: c sin A:sin B:sin C. 用途：已知三角形兩角和任一邊，求其它元素; 已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求其它 PA a A 精品文檔 兀素。 2 2、余弦定理： a2 3 b2 2 c 2bccosA, b2 a2 2 c 2accosB, 2 2 c

59、 a b2 2abcosC. cos A b2 2 c 2 a 2b J cosB 2 a 2 c b2 2a J cosC 2 a b2 2 c 2a 用途：已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素; 已知三角形三邊，求其它元素。 做題中兩個定理經(jīng)常結(jié)合使用 3 3、三角形面積公式： 1 1 1 S ABC absin C bcsin A acsin B 2 2 2 4 4、三角形內(nèi)角和定理： 在厶 ABCABC 中，有A B C C (A B) C A B 2C 2 2(A B). . 2 2 2 5 5、一個常用結(jié)論：_ 在ABC中，a b sin A sin B A B; 若 sin2A s

60、in 2B,則 A B 或A B 一. 9 特別注意, 在三角函數(shù)中，si nA sin B A B不成立。 2 2、等差數(shù)列： 定義：如果一個數(shù)列從第 2 2 項起，每一項與它的前 一項的差等于同一個常數(shù)，即 an an 1 =d =d , (n n 3 3 n n N N ), 通項公式：an a (n 1)d am (n m)d 或an pn q(p、q 是常數(shù)). 前n項和公式： n n 1 n 印 an Sn n - d 2 2 常用性質(zhì)： 若 m n p q m, n, p, q N ，貝y am an ap aq ； 下標(biāo)為等差數(shù)列的項 ak,ak m,ak 2m,，仍組成 等差數(shù)列；