第二章2.2.1(一)《橢圓及其標準方程(一)》

1、2. 2.1橢圓及其標準方程(一)【學習 L1標】1了解橢圓的實際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓 標準方程的推導與化簡過程 2掌握橢圓的定義、標準方程及幾何圖形.問題導學知識點一橢圓的定義思考 1給你兩個圖釘、一根無彈性的細繩、一張紙板，一支鉛筆，如何畫出一 個橢圓？答案在紙板上固定兩個圖釘，繩子的兩端固定在圖釘上，繩長大于兩圖釘間的 距離，筆尖貼近繩子，將繩子拉緊，移動筆尖即可畫出橢圓.思考 2在上述畫橢圓過程中，筆尖移動需滿足哪些條件？如果改變這些條件， 筆尖運動時形成的軌跡是否為橢圓？答案筆尖到兩圖釘?shù)木嚯x之和不變，等于繩長.繩長大于兩圖釘間的距離.若 在移動過程中繩長發(fā)生

2、變化，即到兩定點的距離不是定值，則軌跡就不是橢圓.若 繩長不大于兩圖釘間的距離，軌跡也不是橢圓.梳理 我們把平面內(nèi)與兩個定點FF，b b的距離的和等于常數(shù)(大于 1尺門)的點的 軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.(2) 橢圓的定義用集合語言敘述為：P P = = MWMFxMWMFxI +MFMF2 2=2a,=2a, 2aFx2aFx FAFA.(3) 2“與 1 尺鬥 1的大小關(guān)系所確定的點的軌跡如下表：條件結(jié)論錐曲線與方程2aFF2aFF動點的軌跡是橢圓2a=IF|F2l動點的軌跡是線段鬥鬥2b0),表示中心在原點，焦點在 x軸上的橢圓的標準方程， 其

3、中形式二：5+|=1(/70),表示中心在原點，焦點在 y 軸上的橢圓的標準方程， 其中b b2 2=a=a2 2(r.(r.(2)橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關(guān)系橢圓在坐標系中的位十置oo F.)F.) x x7標準方程a2+$_l(b0)1 (/?0)焦點坐標Fi(c,0), F2(G0)Fi(0, -c),鬥(0,C)a,a, b,b,c 的關(guān)系題型探究b b2 2=cr=cr(r(r類型一橢圓定義的應用例 1點卩(一 3,0)是圓 C：疋+),2一 61一 55=0內(nèi)一定點，動圓 M與已知圓相內(nèi)切 且過 P點，判斷圓心M M的軌跡.解 方程壬+尸一 6 尤一 55=0化標準

4、形式為：(兀一 3)2+y2=64,圓心為(3,0),半徑 =&因為動圓 M 與已知圓相內(nèi)切且過 P點，所以 IMCI+IMPI= =8,根據(jù)橢圓的 定義，動點 M到兩定點 C, P 的距離之和為定值 86=ICPI,所以動點 M的軌跡 是橢圓.反思與感悟橢圓定艾的雙向運用(1) 判斷：符合定義中到兩定點的距離之和為常數(shù)(大于兩定點的距離)這一條件的 點的軌跡為橢圓.(2) 求值：橢圓上的點一定滿足定義中的條件即到兩定點的距離之和為2a.2a.跟蹤訓練 1(1)已知 A(-5,0), B(5,0).動點 C滿足 L4CI + IBCI=10，則點 C的軌跡是()A.橢圓B.直線C.線段

5、D.點(2)已知定點 A(0, 1),點 B在圓 F：疋+1)2=16上運動，F(xiàn)為圓心，線段ABAB的垂直平分線交BFBF于 P.則動點P P的軌跡E E為_.答案(1)C (2)以 A, F為焦點的橢圓解析(1)因為 L4CI+IBCI=1O=L4BI,所以點 C的軌跡是線段 A3,故選 C.由題意PAPA = = PB.PB.所以 IP1I + IPF1 = IPBI + IPFI=4L4F1 = 2,所以動點P P的軌跡 E是以 A, F為焦點的橢圓.類型二求橢圓的標準方程例 2求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點P P 百,|), 0(0, 扌)的橢圓 的標準方程.解方法一當橢圓焦

6、點在 x軸上時，可設橢圓標準方程為：牙+$=1(/0).=1,依題意有 V(|)2(護由ab0ab0知不合題意，故舍去當橢圓焦點在 y軸上時，可設橢圓的標準方程為:缶 +恭 =1（方0）（1?1 ,（3）2（3）戸+PT，依題意有0,m0,n0,m m = = 5.5.解得屮=4 所以所求橢圓的方程為 5壬+4護=1,=1,反思與感悟求橢圓的標準方程的方法:C.射線D.圓(1) 定義法：用定義法求橢圓標準方程的思路：先分析已知條件，看所求動點軌跡 是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，可以先定位，再確定，b的值.(2) 待定系數(shù)法：如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的 橢圓方

7、程一定是標準形式，就可以利用待定系數(shù)法先建立方程，然后依照題設條 件，計算出方程中 G,的值，從而確定方程.當不明確焦點在哪個坐標軸上時, 通常應進行分類討論，但計算較復雜，此時，可設橢圓的方程為mxmx2 2-ny-ny2 2=(mO=(mOt t“0,加 H”)，不必再考慮焦點的位置，用待定系數(shù)法結(jié)合題目給出的條件求出加,fifi的值即可.跟蹤訓練 2已知 P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點 P到兩焦點的距離分別為縛和羋過點P P作長軸的垂線，垂足恰好為橢圓的一個焦點，求此橢圓的 方程.解設橢圓的兩個焦點分別為,F2,F2,十4 托2525不妨取卩尺 1 =于，屮鬥 1=于，由橢圓的定義，

8、知 2“=IPFil + lPF2l = 20.即a=y/5.a=y/5.由 IPF1ZPF2I知，PE垂直于長軸.在 RtAPF2Fi 中，4c2=IPFil2-IPF2卩=罟， c -3*又所求的橢圓的焦點可以在 X軸上，也可以在 y軸上，故所求的橢圓方程為專+需=1或需+=】類型三橢圓中的焦點三角形問題例 3已知點P P是橢圓*+寧=1上的一點，F(xiàn)i, E分別是橢圓的兩個焦點，且ZFIPF2= 30,求厶FPFiFPFi的面積.解 由橢圓方程*+= 1可得=伍 b=2,b=2, c=yjac=yja2 2b b2 2=.=.XlFiFzl2=IPFil2+PFiPFi卩一 2PFPFl

9、IPF2I cos ZFF PF2PF2= =(PF(PFI+IPF2I)2一 2IPFi PF2-2PFI PF2-COS30, 4 = (2 侗 2 一(2+羽)|陽|.庶 1, IPFill2l=16(2V). S S jPFjPF、=IPFil-IPF2l-sin 30=8-43.反思與感悟由橢圓上一點與兩個焦點構(gòu)成的三角形叫做焦點三角形，焦點三角 形常和橢圓的定義、正(余)弦定理、內(nèi)角和定理及而積公式等綜合考查.跟蹤訓練 3已知橢圓的方程為于+號=1，橢圓上有一點P P滿足ZPFIF2=90(如圖).求 ZPFIF2 的面積解 由已知得“=2,所以c=yjac=yja2 2b b2

10、2=y4=y43 3= 1.從而 IFIF2I=2C=2.在PF1F2中，由勾股定理可得IPF2l2=IPFil2+IFiF2l2,即 IPF2|2=IPF|2 + 4.又由橢圓定義知 IPFil + IPF2l=2X2=4,所以 IPF2l=4IPF】l.從而有(4-IPFi I)2= = PFPF卩+4.3解得 IPFil=z11333所以PF1F2的面積 S=0PFl IF|F2l=X jX2=j,即的面積是孑當堂訓練1.如圖所示，一圓形紙片的圓心為 0, F是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使 M與 F重合，然后抹平紙片，折痕M為 CD,CD,設 CDCD 與 OMOM 交于點

11、 P,P,則點 P的軌跡是(A.橢圓B.直線A.橢圓C.射線D.圓答案 A解析連接 FP,OF,OF, MF,MF,如圖,由題意知，CD是線段 MF的垂直平分線， IMPI = IPF1, PFPF + + PO=PMPO=PM + + PO=PO=IMOI（定值）.又MOFO.MOFO.根據(jù)橢圓的定義可推斷出點P P的軌跡是以 F, 0兩點為焦點的橢圓.2.已知方程（5-rnxrnx2 2+ （/-2 2）y y2 2= =8（/GR）表示焦點在 y 軸上的橢圓，則加的取值范圍是（）77A.2m22m2B，5/H5C.2m52m0,解得 2sq.3.已知 L4BI=2托， M是線段 A3的中

12、點， 點 P在平面內(nèi)運動且 I 必 l+IPBI=6,則 IPMI的最大值和最小值分別是（）A. 3,y5y5B. 3,2 C. 3,書D. 4,2答案 B解析 由題意，知點 P的軌跡是以點 A, B為焦點的橢圓，其長軸長為 6,焦距為 2詬，所以短軸長為 4,易知 IPMI 的最大值為 3,最小值為 2? 24. 已知橢圓 C：話+右=1(小0)的左，右焦點分別為 Fi(4,0), F2(4,0),線段0鬥(0 為坐標原點)的中點為 5，橢圓與 y軸上半軸的交點為 A,且AO5為等 腰直角三角形，則橢圓 C的標準方程是_ 答案疋+疋=1戸木 204解析 由題意，得 c=4.又點為線段 OFi

13、的中點，A為上頂點，/AOBi/AOBi為等腰直角三角形，所以力=1041=1051=2,所以 a2=b2+c2=20, 所以橢圓 C的標準方程為話+=1.5. 已知橢圓的方程為：去+=1，若 C為橢圓上一點，F(xiàn),F,尺分別為橢圓的左,右焦點，并且|CF|I = 2,則 ICEI=_.答案 8解析根據(jù)橢圓的定義，橢圓上的點到兩定點的距離之和為 10,因為 ICCI=2, 所以 ICF2l =&(-規(guī)律與方法-)(1)橢圓的定艾式：IPF1I+PFPF2 2 = =2a(2aFi2a(2aFiF2I).在解題過程中將PFPF +PFA+PFA看成 一個整體，可簡化運算.(2) 橢圓的定狡

14、中要求一動點到兩定點的距離和為常數(shù)，因而在解決問題時，若出 現(xiàn)“兩定點” “距離之和”這樣的條件或內(nèi)容，應考慮是否可以利用橢圓的定艾 來解決.(3) 凡涉及橢圓上的點的問題，首先要考慮它應滿足橢圓的定 5CIMFil + lMF2l = 2a(M為橢圓上的點， Fi, E為橢圓的焦點)， 一般進行整體變換， 其次要考慮該 點的坐標 M(M,yo)適合橢圓的方程，然后再進行代數(shù)運算.40分鐘課時作業(yè)憑化訓練拓展提升一、選擇題1.已知橢圓上一點 P到一個焦點的距離為 2,則 P 到另一個焦點的距 離為（）A. 1 B. 4 C. 3 D. 25-2答案 B解析 由橢圓的定義知 P到兩焦點的距離之和

15、等于 2“ = 6,故所求距離為 62=4,故選 B.2.已知橢圓 5W+幼 2 = 5的一個焦點坐標是（0,2）,那么 R的值為（）A. -1 B. 1 C.5 D.一書答案 B解析原方程可化簡為疋+=1， 因 c2=|1=4,得 k=l.3.已知橢圓卡+= 1的一個焦點為（2,0）,則橢圓的方程是（.v2,y y2 2B亍+亍=1答案 D解析由題意知 2=4,“2=6,所求橢圓的方程為+=】4.“1SV3”是“方程一一+嚴=1表示橢圓”的（）m m13 3niniA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案 Binin 1 0,3心 0,?一 1 工 3 7

16、,且加 H2；當m m = = 2 2時，方程變?yōu)槿?于=1,它表示一個圓.5.設 ae（O,號），方程計花+縣 =1表示焦點在 y軸上的橢圓，則 a 的取值范 圍為（）A.（0,扌B.（扌，號）所以 lvv3itit7rn nC.（0,4）D.玄，2）答案 C解析 由題意知，cos asina0a0, , tanaa1,VaG（0,彳），0ctIO 102I=6.由橢圓的定義知 M在以 Oi, 6 為焦點的橢圓上，且。=5, c=3,: :.b.b2 2=a=a2 2-c-c2 2=259=6.=259=6.12.已知點 p是橢圓 j+r=i上的一點，F(xiàn)i,鬥是橢圓的兩個焦點.(1) 當 Z

17、F1PF2=6O時，求 ZF|PF2 的面積；(2) 當ZFiPFiZFiPFi為鈍角時，求點P P橫坐標的取值范圉.解(1)由橢圓的定義，得 IPFil + IPF2l=4,且 Fi(-V3, 0), F2(V, 0).在F1PF2 中,由余弦定理得 IF02卩=PFPFI2+PFPF2 2 2 2-2IPF11-IPF2IC0S 60. _ 4由得 IPFil IPF2l=亍I伍所以S.E= = PFPFI-IPF2lsinZF1PF2(2)設點 P(心必由已知 ZFiPF?為鈍角，得命尸 AvO, 即(X+A/3, y)-(x/3, y)vO, 又尸=1-手,所以討2， 解得一孌普 所以點 P橫坐標的取值范圍是一學 OV學.13.已知橢圓的中心在原點,兩焦點 FI,F2在 x 軸上,且過點4(-4