第二章2.2.1(一)《橢圓及其標準方程(一)》

1、2. 2.1橢圓及其標準方程(一)【學習 L1標】1了解橢圓的實際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓 標準方程的推導與化簡過程 2掌握橢圓的定義、標準方程及幾何圖形.問題導學知識點一橢圓的定義思考 1給你兩個圖釘、一根無彈性的細繩、一張紙板，一支鉛筆，如何畫出一 個橢圓？答案在紙板上固定兩個圖釘，繩子的兩端固定在圖釘上，繩長大于兩圖釘間的 距離，筆尖貼近繩子，將繩子拉緊，移動筆尖即可畫出橢圓.思考 2在上述畫橢圓過程中，筆尖移動需滿足哪些條件？如果改變這些條件， 筆尖運動時形成的軌跡是否為橢圓？答案筆尖到兩圖釘?shù)木嚯x之和不變，等于繩長.繩長大于兩圖釘間的距離.若 在移動過程中繩長發(fā)生

2、變化，即到兩定點的距離不是定值，則軌跡就不是橢圓.若 繩長不大于兩圖釘間的距離，軌跡也不是橢圓.梳理 我們把平面內(nèi)與兩個定點FF，b b的距離的和等于常數(shù)(大于 1尺門)的點的 軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.(2) 橢圓的定義用集合語言敘述為：P P = = MWMFxMWMFxI +MFMF2 2=2a,=2a, 2aFx2aFx FAFA.(3) 2“與 1 尺鬥 1的大小關系所確定的點的軌跡如下表：條件結(jié)論錐曲線與方程2aFF2aFF動點的軌跡是橢圓2a=IF|F2l動點的軌跡是線段鬥鬥2b0),表示中心在原點，焦點在 x軸上的橢圓的標準方程， 其

3、中形式二：5+|=1(/70),表示中心在原點，焦點在 y 軸上的橢圓的標準方程， 其中b b2 2=a=a2 2(r.(r.(2)橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系橢圓在坐標系中的位十置oo F.)F.) x x7標準方程a2+$_l(b0)1 (/?0)焦點坐標Fi(c,0), F2(G0)Fi(0, -c),鬥(0,C)a,a, b,b,c 的關系題型探究b b2 2=cr=cr(r(r類型一橢圓定義的應用例 1點卩(一 3,0)是圓 C：疋+),2一 61一 55=0內(nèi)一定點，動圓 M與已知圓相內(nèi)切 且過 P點，判斷圓心M M的軌跡.解 方程壬+尸一 6 尤一 55=0化標準

4、形式為：(兀一 3)2+y2=64,圓心為(3,0),半徑 =&因為動圓 M 與已知圓相內(nèi)切且過 P點，所以 IMCI+IMPI= =8,根據(jù)橢圓的 定義，動點 M到兩定點 C, P 的距離之和為定值 86=ICPI,所以動點 M的軌跡 是橢圓.反思與感悟橢圓定艾的雙向運用(1) 判斷：符合定義中到兩定點的距離之和為常數(shù)(大于兩定點的距離)這一條件的 點的軌跡為橢圓.(2) 求值：橢圓上的點一定滿足定義中的條件即到兩定點的距離之和為2a.2a.跟蹤訓練 1(1)已知 A(-5,0), B(5,0).動點 C滿足 L4CI + IBCI=10，則點 C的軌跡是()A.橢圓B.直線C.線段

5、D.點(2)已知定點 A(0, 1),點 B在圓 F：疋+1)2=16上運動，F(xiàn)為圓心，線段ABAB的垂直平分線交BFBF于 P.則動點P P的軌跡E E為_.答案(1)C (2)以 A, F為焦點的橢圓解析(1)因為 L4CI+IBCI=1O=L4BI,所以點 C的軌跡是線段 A3,故選 C.由題意PAPA = = PB.PB.所以 IP1I + IPF1 = IPBI + IPFI=4L4F1 = 2,所以動點P P的軌跡 E是以 A, F為焦點的橢圓.類型二求橢圓的標準方程例 2求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點P P 百,|), 0(0, 扌)的橢圓 的標準方程.解方法一當橢圓焦

6、點在 x軸上時，可設橢圓標準方程為：牙+$=1(/0).=1,依題意有 V(|)2(護由ab0ab0知不合題意，故舍去當橢圓焦點在 y軸上時，可設橢圓的標準方程為:缶 +恭 =1（方0）（1?1 ,（3）2（3）戸+PT，依題意有0,m0,n0,m m = = 5.5.解得屮=4 所以所求橢圓的方程為 5壬+4護=1,=1,反思與感悟求橢圓的標準方程的方法:C.射線D.圓(1) 定義法：用定義法求橢圓標準方程的思路：先分析已知條件，看所求動點軌跡 是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，可以先定位，再確定，b的值.(2) 待定系數(shù)法：如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的 橢圓方

7、程一定是標準形式，就可以利用待定系數(shù)法先建立方程，然后依照題設條 件，計算出方程中 G,的值，從而確定方程.當不明確焦點在哪個坐標軸上時, 通常應進行分類討論，但計算較復雜，此時，可設橢圓的方程為mxmx2 2-ny-ny2 2=(mO=(mOt t“0,加 H”)，不必再考慮焦點的位置，用待定系數(shù)法結(jié)合題目給出的條件求出加,fifi的值即可.跟蹤訓練 2已知 P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點 P到兩焦點的距離分別為縛和羋過點P P作長軸的垂線，垂足恰好為橢圓的一個焦點，求此橢圓的 方程.解設橢圓的兩個焦點分別為,F2,F2,十4 托2525不妨取卩尺 1 =于，屮鬥 1=于，由橢圓的定義，

8、知 2“=IPFil + lPF2l = 20.即a=y/5.a=y/5.由 IPF1ZPF2I知，PE垂直于長軸.在 RtAPF2Fi 中，4c2=IPFil2-IPF2卩=罟， c -3*又所求的橢圓的焦點可以在 X軸上，也可以在 y軸上，故所求的橢圓方程為專+需=1或需+=】類型三橢圓中的焦點三角形問題例 3已知點P P是橢圓*+寧=1上的一點，F(xiàn)i, E分別是橢圓的兩個焦點，且ZFIPF2= 30,求厶FPFiFPFi的面積.解 由橢圓方程*+= 1可得=伍 b=2,b=2, c=yjac=yja2 2b b2 2=.=.XlFiFzl2=IPFil2+PFiPFi卩一 2PFPFl

9、IPF2I cos ZFF PF2PF2= =(PF(PFI+IPF2I)2一 2IPFi PF2-2PFI PF2-COS30, 4 = (2 侗 2 一(2+羽)|陽|.庶 1, IPFill2l=16(2V). S S jPFjPF、=IPFil-IPF2l-sin 30=8-43.反思與感悟由橢圓上一點與兩個焦點構成的三角形叫做焦點三角形，焦點三角 形常和橢圓的定義、正(余)弦定理、內(nèi)角和定理及而積公式等綜合考查.跟蹤訓練 3已知橢圓的方程為于+號=1，橢圓上有一點P P滿足ZPFIF2=90(如圖).求 ZPFIF2 的面積解 由已知得“=2,所以c=yjac=yja2 2b b2

10、2=y4=y43 3= 1.從而 IFIF2I=2C=2.在PF1F2中，由勾股定理可得IPF2l2=IPFil2+IFiF2l2,即 IPF2|2=IPF|2 + 4.又由橢圓定義知 IPFil + IPF2l=2X2=4,所以 IPF2l=4IPF】l.從而有(4-IPFi I)2= = PFPF卩+4.3解得 IPFil=z11333所以PF1F2的面積 S=0PFl IF|F2l=X jX2=j,即的面積是孑當堂訓練1.如圖所示，一圓形紙片的圓心為 0, F是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使 M與 F重合，然后抹平紙片，折痕M為 CD,CD,設 CDCD 與 OMOM 交于點

11、 P,P,則點 P的軌跡是(A.橢圓B.直線A.橢圓C.射線D.圓答案 A解析連接 FP,OF,OF, MF,MF,如圖,由題意知，CD是線段 MF的垂直平分線， IMPI = IPF1, PFPF + + PO=PMPO=PM + + PO=PO=IMOI（定值）.又MOFO.MOFO.根據(jù)橢圓的定義可推斷出點P P的軌跡是以 F, 0兩點為焦點的橢圓.2.已知方程（5-rnxrnx2 2+ （/-2 2）y y2 2= =8（/GR）表示焦點在 y 軸上的橢圓，則加的取值范圍是（）77A.2m22m2B，5/H5C.2m52m0,解得 2sq.3.已知 L4BI=2托， M是線段 A3的中

12、點， 點 P在平面內(nèi)運動且 I 必 l+IPBI=6,則 IPMI的最大值和最小值分別是（）A. 3,y5y5B. 3,2 C. 3,書D. 4,2答案 B解析 由題意，知點 P的軌跡是以點 A, B為焦點的橢圓，其長軸長為 6,焦距為 2詬，所以短軸長為 4,易知 IPMI 的最大值為 3,最小值為 2? 24. 已知橢圓 C：話+右=1(小0)的左，右焦點分別為 Fi(4,0), F2(4,0),線段0鬥(0 為坐標原點)的中點為 5，橢圓與 y軸上半軸的交點為 A,且AO5為等 腰直角三角形，則橢圓 C的標準方程是_ 答案疋+疋=1戸木 204解析 由題意，得 c=4.又點為線段 OFi

13、的中點，A為上頂點，/AOBi/AOBi為等腰直角三角形，所以力=1041=1051=2,所以 a2=b2+c2=20, 所以橢圓 C的標準方程為話+=1.5. 已知橢圓的方程為：去+=1，若 C為橢圓上一點，F(xiàn),F,尺分別為橢圓的左,右焦點，并且|CF|I = 2,則 ICEI=_.答案 8解析根據(jù)橢圓的定義，橢圓上的點到兩定點的距離之和為 10,因為 ICCI=2, 所以 ICF2l =&(-規(guī)律與方法-)(1)橢圓的定艾式：IPF1I+PFPF2 2 = =2a(2aFi2a(2aFiF2I).在解題過程中將PFPF +PFA+PFA看成 一個整體，可簡化運算.(2) 橢圓的定狡

14、中要求一動點到兩定點的距離和為常數(shù)，因而在解決問題時，若出 現(xiàn)“兩定點” “距離之和”這樣的條件或內(nèi)容，應考慮是否可以利用橢圓的定艾 來解決.(3) 凡涉及橢圓上的點的問題，首先要考慮它應滿足橢圓的定 5CIMFil + lMF2l = 2a(M為橢圓上的點， Fi, E為橢圓的焦點)， 一般進行整體變換， 其次要考慮該 點的坐標 M(M,yo)適合橢圓的方程，然后再進行代數(shù)運算.40分鐘課時作業(yè)憑化訓練拓展提升一、選擇題1.已知橢圓上一點 P到一個焦點的距離為 2,則 P 到另一個焦點的距 離為（）A. 1 B. 4 C. 3 D. 25-2答案 B解析 由橢圓的定義知 P到兩焦點的距離之和

15、等于 2“ = 6,故所求距離為 62=4,故選 B.2.已知橢圓 5W+幼 2 = 5的一個焦點坐標是（0,2）,那么 R的值為（）A. -1 B. 1 C.5 D.一書答案 B解析原方程可化簡為疋+=1， 因 c2=|1=4,得 k=l.3.已知橢圓卡+= 1的一個焦點為（2,0）,則橢圓的方程是（.v2,y y2 2B亍+亍=1答案 D解析由題意知 2=4,“2=6,所求橢圓的方程為+=】4.“1SV3”是“方程一一+嚴=1表示橢圓”的（）m m13 3niniA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案 Binin 1 0,3心 0,?一 1 工 3 7

16、,且加 H2；當m m = = 2 2時，方程變?yōu)槿?于=1,它表示一個圓.5.設 ae（O,號），方程計花+縣 =1表示焦點在 y軸上的橢圓，則 a 的取值范 圍為（）A.（0,扌B.（扌，號）所以 lvv3itit7rn nC.（0,4）D.玄，2）答案 C解析 由題意知，cos asina0a0, , tanaa1,VaG（0,彳），0ctIO 102I=6.由橢圓的定義知 M在以 Oi, 6 為焦點的橢圓上，且。=5, c=3,: :.b.b2 2=a=a2 2-c-c2 2=259=6.=259=6.12.已知點 p是橢圓 j+r=i上的一點，F(xiàn)i,鬥是橢圓的兩個焦點.(1) 當 Z

17、F1PF2=6O時，求 ZF|PF2 的面積；(2) 當ZFiPFiZFiPFi為鈍角時，求點P P橫坐標的取值范圉.解(1)由橢圓的定義，得 IPFil + IPF2l=4,且 Fi(-V3, 0), F2(V, 0).在F1PF2 中,由余弦定理得 IF02卩=PFPFI2+PFPF2 2 2 2-2IPF11-IPF2IC0S 60. _ 4由得 IPFil IPF2l=亍I伍所以S.E= = PFPFI-IPF2lsinZF1PF2(2)設點 P(心必由已知 ZFiPF?為鈍角，得命尸 AvO, 即(X+A/3, y)-(x/3, y)vO, 又尸=1-手,所以討2， 解得一孌普 所以點 P橫坐標的取值范圍是一學 OV學.13.已知橢圓的中心在原點,兩焦點 FI,F2在 x 軸上,且過點4(-4