第二章2.2.1(一)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)》

1、2. 2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)【學(xué)習(xí) L1標(biāo)】1了解橢圓的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程、橢圓 標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)過(guò)程 2掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一橢圓的定義思考 1給你兩個(gè)圖釘、一根無(wú)彈性的細(xì)繩、一張紙板，一支鉛筆，如何畫出一 個(gè)橢圓？答案在紙板上固定兩個(gè)圖釘，繩子的兩端固定在圖釘上，繩長(zhǎng)大于兩圖釘間的 距離，筆尖貼近繩子，將繩子拉緊，移動(dòng)筆尖即可畫出橢圓.思考 2在上述畫橢圓過(guò)程中，筆尖移動(dòng)需滿足哪些條件？如果改變這些條件， 筆尖運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的軌跡是否為橢圓？答案筆尖到兩圖釘?shù)木嚯x之和不變，等于繩長(zhǎng).繩長(zhǎng)大于兩圖釘間的距離.若 在移動(dòng)過(guò)程中繩長(zhǎng)發(fā)生

2、變化，即到兩定點(diǎn)的距離不是定值，則軌跡就不是橢圓.若 繩長(zhǎng)不大于兩圖釘間的距離，軌跡也不是橢圓.梳理 我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)FF，b b的距離的和等于常數(shù)(大于 1尺門)的點(diǎn)的 軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.(2) 橢圓的定義用集合語(yǔ)言敘述為：P P = = MWMFxMWMFxI +MFMF2 2=2a,=2a, 2aFx2aFx FAFA.(3) 2“與 1 尺鬥 1的大小關(guān)系所確定的點(diǎn)的軌跡如下表：條件結(jié)論錐曲線與方程2aFF2aFF動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓2a=IF|F2l動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段鬥鬥2b0),表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 其

3、中形式二：5+|=1(/70),表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 其中b b2 2=a=a2 2(r.(r.(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系橢圓在坐標(biāo)系中的位十置oo F.)F.) x x7標(biāo)準(zhǔn)方程a2+$_l(b0)1 (/?0)焦點(diǎn)坐標(biāo)Fi(c,0), F2(G0)Fi(0, -c),鬥(0,C)a,a, b,b,c 的關(guān)系題型探究b b2 2=cr=cr(r(r類型一橢圓定義的應(yīng)用例 1點(diǎn)卩(一 3,0)是圓 C：疋+),2一 61一 55=0內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)圓 M與已知圓相內(nèi)切 且過(guò) P點(diǎn)，判斷圓心M M的軌跡.解 方程壬+尸一 6 尤一 55=0化標(biāo)準(zhǔn)

4、形式為：(兀一 3)2+y2=64,圓心為(3,0),半徑 =&因?yàn)閯?dòng)圓 M 與已知圓相內(nèi)切且過(guò) P點(diǎn)，所以 IMCI+IMPI= =8,根據(jù)橢圓的 定義，動(dòng)點(diǎn) M到兩定點(diǎn) C, P 的距離之和為定值 86=ICPI,所以動(dòng)點(diǎn) M的軌跡 是橢圓.反思與感悟橢圓定艾的雙向運(yùn)用(1) 判斷：符合定義中到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)(大于兩定點(diǎn)的距離)這一條件的 點(diǎn)的軌跡為橢圓.(2) 求值：橢圓上的點(diǎn)一定滿足定義中的條件即到兩定點(diǎn)的距離之和為2a.2a.跟蹤訓(xùn)練 1(1)已知 A(-5,0), B(5,0).動(dòng)點(diǎn) C滿足 L4CI + IBCI=10，則點(diǎn) C的軌跡是()A.橢圓B.直線C.線段

5、D.點(diǎn)(2)已知定點(diǎn) A(0, 1),點(diǎn) B在圓 F：疋+1)2=16上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為圓心，線段ABAB的垂直平分線交BFBF于 P.則動(dòng)點(diǎn)P P的軌跡E E為_(kāi).答案(1)C (2)以 A, F為焦點(diǎn)的橢圓解析(1)因?yàn)?L4CI+IBCI=1O=L4BI,所以點(diǎn) C的軌跡是線段 A3,故選 C.由題意PAPA = = PB.PB.所以 IP1I + IPF1 = IPBI + IPFI=4L4F1 = 2,所以動(dòng)點(diǎn)P P的軌跡 E是以 A, F為焦點(diǎn)的橢圓.類型二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例 2求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P P 百,|), 0(0, 扌)的橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程.解方法一當(dāng)橢圓焦

6、點(diǎn)在 x軸上時(shí)，可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：牙+$=1(/0).=1,依題意有 V(|)2(護(hù)由ab0ab0知不合題意，故舍去當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:缶 +恭 =1（方0）（1?1 ,（3）2（3）戸+PT，依題意有0,m0,n0,m m = = 5.5.解得屮=4 所以所求橢圓的方程為 5壬+4護(hù)=1,=1,反思與感悟求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法:C.射線D.圓(1) 定義法：用定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的思路：先分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡 是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，可以先定位，再確定，b的值.(2) 待定系數(shù)法：如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的 橢圓方

7、程一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待定系數(shù)法先建立方程，然后依照題設(shè)條 件，計(jì)算出方程中 G,的值，從而確定方程.當(dāng)不明確焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí), 通常應(yīng)進(jìn)行分類討論，但計(jì)算較復(fù)雜，此時(shí)，可設(shè)橢圓的方程為mxmx2 2-ny-ny2 2=(mO=(mOt t“0,加 H”)，不必再考慮焦點(diǎn)的位置，用待定系數(shù)法結(jié)合題目給出的條件求出加,fifi的值即可.跟蹤訓(xùn)練 2已知 P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn) P到兩焦點(diǎn)的距離分別為縛和羋過(guò)點(diǎn)P P作長(zhǎng)軸的垂線，垂足恰好為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求此橢圓的 方程.解設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,F2,F2,十4 托2525不妨取卩尺 1 =于，屮鬥 1=于，由橢圓的定義，

8、知 2“=IPFil + lPF2l = 20.即a=y/5.a=y/5.由 IPF1ZPF2I知，PE垂直于長(zhǎng)軸.在 RtAPF2Fi 中，4c2=IPFil2-IPF2卩=罟， c -3*又所求的橢圓的焦點(diǎn)可以在 X軸上，也可以在 y軸上，故所求的橢圓方程為專+需=1或需+=】類型三橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題例 3已知點(diǎn)P P是橢圓*+寧=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)i, E分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且ZFIPF2= 30,求厶FPFiFPFi的面積.解 由橢圓方程*+= 1可得=伍 b=2,b=2, c=yjac=yja2 2b b2 2=.=.XlFiFzl2=IPFil2+PFiPFi卩一 2PFPFl

9、IPF2I cos ZFF PF2PF2= =(PF(PFI+IPF2I)2一 2IPFi PF2-2PFI PF2-COS30, 4 = (2 侗 2 一(2+羽)|陽(yáng)|.庶 1, IPFill2l=16(2V). S S jPFjPF、=IPFil-IPF2l-sin 30=8-43.反思與感悟由橢圓上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形叫做焦點(diǎn)三角形，焦點(diǎn)三角 形常和橢圓的定義、正(余)弦定理、內(nèi)角和定理及而積公式等綜合考查.跟蹤訓(xùn)練 3已知橢圓的方程為于+號(hào)=1，橢圓上有一點(diǎn)P P滿足ZPFIF2=90(如圖).求 ZPFIF2 的面積解 由已知得“=2,所以c=yjac=yja2 2b b2

10、2=y4=y43 3= 1.從而 IFIF2I=2C=2.在PF1F2中，由勾股定理可得IPF2l2=IPFil2+IFiF2l2,即 IPF2|2=IPF|2 + 4.又由橢圓定義知 IPFil + IPF2l=2X2=4,所以 IPF2l=4IPF】l.從而有(4-IPFi I)2= = PFPF卩+4.3解得 IPFil=z11333所以PF1F2的面積 S=0PFl IF|F2l=X jX2=j,即的面積是孑當(dāng)堂訓(xùn)練1.如圖所示，一圓形紙片的圓心為 0, F是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使 M與 F重合，然后抹平紙片，折痕M為 CD,CD,設(shè) CDCD 與 OMOM 交于點(diǎn)

11、 P,P,則點(diǎn) P的軌跡是(A.橢圓B.直線A.橢圓C.射線D.圓答案 A解析連接 FP,OF,OF, MF,MF,如圖,由題意知，CD是線段 MF的垂直平分線， IMPI = IPF1, PFPF + + PO=PMPO=PM + + PO=PO=IMOI（定值）.又MOFO.MOFO.根據(jù)橢圓的定義可推斷出點(diǎn)P P的軌跡是以 F, 0兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.2.已知方程（5-rnxrnx2 2+ （/-2 2）y y2 2= =8（/GR）表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，則加的取值范圍是（）77A.2m22m2B，5/H5C.2m52m0,解得 2sq.3.已知 L4BI=2托， M是線段 A3的中

12、點(diǎn)， 點(diǎn) P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且 I 必 l+IPBI=6,則 IPMI的最大值和最小值分別是（）A. 3,y5y5B. 3,2 C. 3,書D. 4,2答案 B解析 由題意，知點(diǎn) P的軌跡是以點(diǎn) A, B為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 6,焦距為 2詬，所以短軸長(zhǎng)為 4,易知 IPMI 的最大值為 3,最小值為 2? 24. 已知橢圓 C：話+右=1(小0)的左，右焦點(diǎn)分別為 Fi(4,0), F2(4,0),線段0鬥(0 為坐標(biāo)原點(diǎn))的中點(diǎn)為 5，橢圓與 y軸上半軸的交點(diǎn)為 A,且AO5為等 腰直角三角形，則橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程是_ 答案疋+疋=1戸木 204解析 由題意，得 c=4.又點(diǎn)為線段 OFi

13、的中點(diǎn)，A為上頂點(diǎn)，/AOBi/AOBi為等腰直角三角形，所以力=1041=1051=2,所以 a2=b2+c2=20, 所以橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程為話+=1.5. 已知橢圓的方程為：去+=1，若 C為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn),F,尺分別為橢圓的左,右焦點(diǎn)，并且|CF|I = 2,則 ICEI=_.答案 8解析根據(jù)橢圓的定義，橢圓上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為 10,因?yàn)?ICCI=2, 所以 ICF2l =&(-規(guī)律與方法-)(1)橢圓的定艾式：IPF1I+PFPF2 2 = =2a(2aFi2a(2aFiF2I).在解題過(guò)程中將PFPF +PFA+PFA看成 一個(gè)整體，可簡(jiǎn)化運(yùn)算.(2) 橢圓的定狡

14、中要求一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為常數(shù)，因而在解決問(wèn)題時(shí)，若出 現(xiàn)“兩定點(diǎn)” “距離之和”這樣的條件或內(nèi)容，應(yīng)考慮是否可以利用橢圓的定艾 來(lái)解決.(3) 凡涉及橢圓上的點(diǎn)的問(wèn)題，首先要考慮它應(yīng)滿足橢圓的定 5CIMFil + lMF2l = 2a(M為橢圓上的點(diǎn)， Fi, E為橢圓的焦點(diǎn))， 一般進(jìn)行整體變換， 其次要考慮該 點(diǎn)的坐標(biāo) M(M,yo)適合橢圓的方程，然后再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.40分鐘課時(shí)作業(yè)憑化訓(xùn)練拓展提升一、選擇題1.已知橢圓上一點(diǎn) P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 2,則 P 到另一個(gè)焦點(diǎn)的距 離為（）A. 1 B. 4 C. 3 D. 25-2答案 B解析 由橢圓的定義知 P到兩焦點(diǎn)的距離之和

15、等于 2“ = 6,故所求距離為 62=4,故選 B.2.已知橢圓 5W+幼 2 = 5的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,2）,那么 R的值為（）A. -1 B. 1 C.5 D.一書答案 B解析原方程可化簡(jiǎn)為疋+=1， 因 c2=|1=4,得 k=l.3.已知橢圓卡+= 1的一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0）,則橢圓的方程是（.v2,y y2 2B亍+亍=1答案 D解析由題意知 2=4,“2=6,所求橢圓的方程為+=】4.“1SV3”是“方程一一+嚴(yán)=1表示橢圓”的（）m m13 3niniA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案 Binin 1 0,3心 0,?一 1 工 3 7

16、,且加 H2；當(dāng)m m = = 2 2時(shí)，方程變?yōu)槿?于=1,它表示一個(gè)圓.5.設(shè) ae（O,號(hào)），方程計(jì)花+縣 =1表示焦點(diǎn)在 y軸上的橢圓，則 a 的取值范 圍為（）A.（0,扌B.（扌，號(hào)）所以 lvv3itit7rn nC.（0,4）D.玄，2）答案 C解析 由題意知，cos asina0a0, , tanaa1,VaG（0,彳），0ctIO 102I=6.由橢圓的定義知 M在以 Oi, 6 為焦點(diǎn)的橢圓上，且。=5, c=3,: :.b.b2 2=a=a2 2-c-c2 2=259=6.=259=6.12.已知點(diǎn) p是橢圓 j+r=i上的一點(diǎn)，F(xiàn)i,鬥是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).(1) 當(dāng) Z

17、F1PF2=6O時(shí)，求 ZF|PF2 的面積；(2) 當(dāng)ZFiPFiZFiPFi為鈍角時(shí)，求點(diǎn)P P橫坐標(biāo)的取值范圉.解(1)由橢圓的定義，得 IPFil + IPF2l=4,且 Fi(-V3, 0), F2(V, 0).在F1PF2 中,由余弦定理得 IF02卩=PFPFI2+PFPF2 2 2 2-2IPF11-IPF2IC0S 60. _ 4由得 IPFil IPF2l=亍I伍所以S.E= = PFPFI-IPF2lsinZF1PF2(2)設(shè)點(diǎn) P(心必由已知 ZFiPF?為鈍角，得命尸 AvO, 即(X+A/3, y)-(x/3, y)vO, 又尸=1-手,所以討2， 解得一孌普 所以點(diǎn) P橫坐標(biāo)的取值范圍是一學(xué) OV學(xué).13.已知橢圓的中心在原點(diǎn),兩焦點(diǎn) FI,F2在 x 軸上,且過(guò)點(diǎn)4(-4