埃爾米特插值

1、復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)前面我們已經(jīng)學(xué)過兩種插值方法：前面我們已經(jīng)學(xué)過兩種插值方法：LangrangeLangrange插值法插值法和和NewtonNewton插值法插值法特點(diǎn)特點(diǎn)1 1）插值條件為）插值條件為函數(shù)值函數(shù)值，即，即2 2）求一個(gè)次數(shù)不超過）求一個(gè)次數(shù)不超過n的代數(shù)多項(xiàng)式的代數(shù)多項(xiàng)式3 3）構(gòu)造方法：）構(gòu)造方法：采用節(jié)點(diǎn)基函數(shù)采用節(jié)點(diǎn)基函數(shù)LangrangeLangrange插值法：插值法： niiinxlyxL0)()(NewtonNewton插值法：插值法：)()(,)(,)()(1000100 nnnxxxxxxfxxxxfxfxN注：注：兩種方法的結(jié)果相同（唯一性）兩種方法的結(jié)果相同（

2、唯一性）一、埃爾米特（一、埃爾米特（HermiteHermite）插值多項(xiàng)式）插值多項(xiàng)式 二、兩種簡單情形二、兩種簡單情形三、例題三、例題一、一、 HermiteHermite插值多項(xiàng)式的定義插值多項(xiàng)式的定義插值條件中除插值條件中除函數(shù)值函數(shù)值外，還有外，還有導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值（回顧（回顧TaylorTaylor展開式展開式, , 是某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值），是某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值），如如已知：已知：2 2n+2+2個(gè)條件個(gè)條件)(iixfy 0y 1y ny 求求: :一個(gè)次數(shù)不超過一個(gè)次數(shù)不超過2 2n+1+1的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式H H2 2n+1+1( (x x) )二、簡單情形二、簡單情形 情形情形1. 1. 已

3、知：已知：3 3個(gè)條件個(gè)條件)(iixfy 0y 求求: :一個(gè)次數(shù)不超過一個(gè)次數(shù)不超過2 2的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式H H2 2( (x x) )。注意用注意用Lagerange基函數(shù)的思想和方法：基函數(shù)的思想和方法：各司其職。各司其職。解：解：用用Lagerange基函數(shù)基函數(shù)的方法，設(shè)的方法，設(shè))()()()(0011002xyxyxyxH 要求滿足要求滿足: :其中其中 是基函數(shù)，滿足是基函數(shù)，滿足)(),(),(010 xxx （1 1）都是）都是2 2次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 （2 2）無關(guān)性）無關(guān)性000111000010010000011000110( )( )( )( )( )( )( )(

4、 )( )，20000001)(11)(1()(0)0(1)0()(1()(01)(1xxbabaxxxbaxxxx則：，則：帶入將：，則可以設(shè)：）（零點(diǎn)：為二次項(xiàng)式，且有一個(gè)由于：)1 ()()(11) 1 ()()(00)0(0)0()(0211211111xxxxxccxxxxx同理：則：則：又：則：的二重根為則：又：為二次項(xiàng)式同理：)()(! 3)()()()(1202xxxxfxHxfxR 情形情形2.2.已知：已知：4 4個(gè)條件個(gè)條件)(iixfy 0y 求求: :一個(gè)次數(shù)不超過一個(gè)次數(shù)不超過3 3的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式H H3 3( (x x) )1y 練習(xí)：用練習(xí)：用Lagerang

5、eLagerange基函數(shù)的思想和方法：基函數(shù)的思想和方法：各司其職。各司其職。2120)4(3)()(! 4)()()()(xxxxfxHxfxR 已知：已知：2n+2個(gè)條件個(gè)條件求求:一個(gè)次數(shù)不超過一個(gè)次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式H2n+1(x)()()()()(0000 xyxyxyxyxHnnnnn0)(1)()()()(12)()()(, 1 , 0, 1 , 0, 0)(, 2 , 10)(1)(02iiiinijjjiiijjijijixxbaxxbaxxnxxijxxninjxnjijxijx由以下兩式確定：和則：得次數(shù)是因?yàn)榈亩馗羌矗浩渲校呵?，因?yàn)椋簄ijjjiii

6、iijjijijixxxxcxxxxxijxxiijxjijxjx02)()()()()()(n, 1 , 01)(n, 1 , 0,0)(n, 1 , 00)(則：的一重根是的二重根，是則：其中：，njjnnnxxnfxHxfxR02)1()()!1()()()()(作業(yè)：作業(yè)：習(xí)題習(xí)題 1414，1616三、例題三、例題例例1 1：給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于3 3次的代數(shù)插值多項(xiàng)式。次的代數(shù)插值多項(xiàng)式。)(ixf xyxxxxyxxxxxL101001011)(ixiy滿足：其中求：)(),(22xHxH)(ixf 2212222222212)()()() 1

7、()(10)0() 1()() 1)(0()(0) 1 (0)0()()()(xxRxLxHxxxRcHxcxxxHxxcxRRRxRxLxH則：則：則：又：有：則：則：設(shè)：ixiy滿足：其中求)(),(:33xHxH)(ixf 3233333( ) =( )+( )?(0) = 0?(1) = 0?(0) = 0?( ) = 0HxHxR xRRRR xc：其中：例例2 2：給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于3 3次的代數(shù)插值多項(xiàng)式。次的代數(shù)插值多項(xiàng)式。)(ixf 例例3 3：給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于4 4次的代數(shù)插值多項(xiàng)式。次的代數(shù)插值

8、多項(xiàng)式。)(ixf 例例4 4：給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于5 5次的代數(shù)多項(xiàng)式。次的代數(shù)多項(xiàng)式。)(ixf 解：解：先構(gòu)造插值于四個(gè)函數(shù)值的插值多項(xiàng)式先構(gòu)造插值于四個(gè)函數(shù)值的插值多項(xiàng)式用用NewtonNewton插值法可得：插值法可得：322030010036161914)1()1(61)1()1(410)()(,)(,)()(xxxxxxxxxxxxxxxfxxxxfxfxN 再構(gòu)造插值于兩個(gè)導(dǎo)數(shù)值的插值多項(xiàng)式再構(gòu)造插值于兩個(gè)導(dǎo)數(shù)值的插值多項(xiàng)式)2)(1()1)()()(35 xxxxBAxxNxH解出系數(shù)解出系數(shù)360161,36059 BA例例5 5：給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于給定如下數(shù)據(jù)表，求次數(shù)不高于3 3次的代數(shù)多項(xiàng)式。次的代數(shù)多項(xiàng)式。)(ixf )(0 xf)(ixf )(0 xf )()()()(12023xxxxAxHxH例例6 6：給定如下數(shù)據(jù)表，求首項(xiàng)系數(shù)為給定如下