5-2非齊次線性方程組

1、5.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì).0,1)( 2121的解的解為對應(yīng)的齊次方程為對應(yīng)的齊次方程則則的解的解都是都是及及設(shè)設(shè) AxxbAxxx 證明證明 . 021 bbA . 021 Axx滿滿足足方方程程即即 bAbA 21, 證明證明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 證畢證畢.,0,2)( 的解的解仍是方程仍是方程則則的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程設(shè)設(shè)bAxxAxxbAxx .11 rnrnkkx其中其中 為對應(yīng)齊次線性方程為對應(yīng)齊次線性方程組的通解，組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個特為非齊

2、次線性方程組的任意一個特解解.rnrnkk 11 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=b的通解為的通解為與方程組與方程組 有解等價的命題有解等價的命題bAx ;, 21線線性性表表示示能能由由向向量量組組向向量量nb ;,2121等等價價與與向向量量組組向向量量組組bnn .,2121的秩相等的秩相等與矩陣與矩陣矩陣矩陣bBAnn 線性方程組線性方程組 有解有解bAx 線性方程組的解法線性方程組的解法（1 1）應(yīng)用克萊姆法則）應(yīng)用克萊姆法則特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算量大，容易出錯，但有重要的

3、理論價值，可計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可用來證明很多命題用來證明很多命題（2 2）利用初等變換）利用初等變換特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運(yùn)算在一個矩陣（數(shù)無窮多解的各種情形，全部運(yùn)算在一個矩陣（數(shù)表）中進(jìn)行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效表）中進(jìn)行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效的計算方法的計算方法例例1 1 求解方程組求解方程組 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行變換施行初等行變換對增廣矩陣對增廣矩陣B 2132111311101111B,0000021

4、2100211011 并有并有故方程組有解故方程組有解可見可見, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx則則即得方程組的一個解即得方程組的一個解.021021 取取中中組組在對應(yīng)的齊次線性方程在對應(yīng)的齊次線性方程,2,43421 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及則則xx程組的基礎(chǔ)解系程組的基礎(chǔ)解系即得對應(yīng)的齊次線性方即得對應(yīng)的齊次線性方,1201,001121 于是所求通解為于是所求通解為).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx .123438,23622, 2323, 75432

5、154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 12134382362120231213711111B例例2 2 求下述方程組的解求下述方程組的解 0000000000002362120711111 .,知知方方程程組組有有解解由由BRAR , 3, 2 rnAR又又所以方程組有無窮多解所以方程組有無窮多解.且原方程組等價于方程組且原方程組等價于方程組 236227543254321xxxxxxxxx求基礎(chǔ)解系求基礎(chǔ)解系.100,010,001543 xxx 令令依次得依次得.32,10,212121 xx 236227543254321xxxxxxxxx代入代入.1

6、0032,01010,0012121321 求特解求特解.223,29, 021543 xxxxx得得令令故得基礎(chǔ)解系故得基礎(chǔ)解系.0002232910032000100012121321 kkkx.,321為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkk所以方程組的通解為所以方程組的通解為 0000000000002362120711111另一種解法另一種解法 12134382362120231213711111B 00000000000022331211029202101則原方程組等價于方程組則原方程組等價于方程組 223321292215432531xxxxxxx 554433543253122332

7、2922xxxxxxxxxxxxx所以方程組的通解為所以方程組的通解為.0002232910032010100012121321 kkkx.,321為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkk齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA（1）對系數(shù)矩陣）對系數(shù)矩陣 進(jìn)行初等變換，將其化為進(jìn)行初等變換，將其化為最簡形最簡形A nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于（2）得出）得出 ，同時也可知方程組的一，同時也可知方程組的一個基礎(chǔ)解系含有個基礎(chǔ)解系含有 個線性無關(guān)的解向量個線性無關(guān)的解向量 rAR

8、rn 令令.,xxxnrr 10001000121,bb,bb,bbxxrn ,rrn ,rrr 12121111得得,bbr 0011111 ,bbr 0102122 .bb,rn ,rrn ,rn 1001 故故為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.有解有解0 Ax 個解向量個解向量此時基礎(chǔ)解系中含有此時基礎(chǔ)解系中含有ARn nBRAR nBRAR .有無窮多解有無窮多解bAx BRAR .無解無解bAx .有唯一解有唯一解bAx 線性方程組解的情況線性方程組解的情況nAR)( 滿滿足足的的三三個個解解向向量量方方程程組組如如果果非非齊齊次次線線性性且且矩矩陣陣是是設(shè)設(shè)321,. 1,3 bAxARmA ,32121 ,11032 10113 .的通解的通解求求bAx , 1)(,3 ARmA矩陣矩陣是是解解 .2130 無關(guān)的解向量無關(guān)的解向量個線性個線性的基礎(chǔ)解系中含有的基礎(chǔ)解系中含有 Ax則則令令,133221cba ,21231)(211