向量解題技巧

1、WORD格式一、怎么樣求解向量的有關(guān)概念問題掌握并理解向量的基本概念 . 判斷下列各命題是否正確(1) 若 ab,bc,則 ac；(2) 兩向量 a、 b 相等的充要條件是ab 且 a、 b 共線；(3)ab是向量 ab 的必要不充分條件；(1) 若 A、 B、 C、 D 是不共線的四點(diǎn)，則 ABDC是四邊形 ABCD為平行四邊形的充要條件；(2)ABCD 的充要條件是A 與C 重合， B 與 D 重合。二、向量運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算的求解方法兩個(gè)不共線的向量，加法的三角形法則和平行四邊形法則是一致的。兩個(gè)有相同起點(diǎn)的向量的差是連結(jié)兩向量的終點(diǎn)，方向指向被減向量的向量，若起點(diǎn)不同，要平移到同一起點(diǎn)；重

2、要結(jié)論：a 與b不共線，則ab 與 ab 是以 a 與b 為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線所表示的向量。在求解向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題時(shí)，注意向量坐標(biāo)等終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)，即若(,),(,)Ax1yBxy，則122ABOBOA(x2,y 2 )(x 1 ,y 1 )(x 2x1 ,y 2y1 ) 。例 1 若向量 a(3,2),b(0,1),則 2ba的坐標(biāo)是 _例 2 若向量 a(1,1),b(1,1),c(1,2)則 c_13133131A.ab B.ab C.abD.ab22222222例 3 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(1,3), 若點(diǎn)COCOAOB，其中 ,R

3、且 1，則點(diǎn) C 的軌跡為（）滿足A.3x2 y 110B.(x2( y21)2)0C.2xy0D.x2 y 50例 4O是平面上一定點(diǎn)， A、 B、 C 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 滿足ABACOPOA()，0,)，則 P 的軌跡一定過(guò)ABC的（）ABACA. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心例 5 設(shè) G是 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，試證明 :(1) 若 G是為 ABC重心，則 GAGBBC0；專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式(2) 若 GAGBBC0，則 G是為 ABC重心。三、三點(diǎn)共線問題的證法證明 A,B,C 三點(diǎn)共線，由共線定理(AB 與 AC共線 ) ，只需證

4、明存在實(shí)數(shù)，使ABAC，其中必須有公共點(diǎn)。共線的坐標(biāo)表示的充要條件，若(,),(,)ax1ybxy ，則122a/babx 1y2x2y10(x1y2x2y1 )例 1 已知 A、 B 兩點(diǎn)， P 為一動(dòng)點(diǎn)，且 OPOAtAB，其中 t 為一變量。證明： 1.P 必在直線 AB上； 2.t 取何值時(shí)， P 為 A 點(diǎn)、 B 點(diǎn)？例 2 證明：始點(diǎn)在同一點(diǎn)的向量 a、 b 、3a2b 的終點(diǎn)在同一直線上例 3 對(duì)于非零向量 a 、 b , 求證： ababab四、求解平行問題兩向量平行，即共線，往往通過(guò)“點(diǎn)的坐標(biāo)”來(lái)實(shí)現(xiàn)；兩向量是否共線與它們模長(zhǎng)的大小無(wú)關(guān)，只由它們的方向決定；兩向量是否相等起點(diǎn)

5、無(wú)關(guān)，只由模長(zhǎng)和方向決定。例 1已知 M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y)且MN/PQ，求 y 的值。例 2已知點(diǎn) A(1,2) ，若向量 AB 與 a(2,3)同向， AB213, 則 B 點(diǎn)的坐標(biāo)是 _.例 3平面內(nèi)給定三向量a(3,2),b(1,2),c(4,1)，則：(1)求 3ab2c;(2) 求滿足 ambnc的實(shí)數(shù) m、 n(3)若 (akb)/(2ba),求實(shí)數(shù) k;(4)設(shè) d(x,y) 滿足 (dc)/(ab)且 dc1,求 d.例 4(1) 已知點(diǎn) A(4,0),B(4,4),C(2,6)，求 AC與 DB的交點(diǎn)， P 的坐標(biāo)。(2) 若平行四邊形ABC

6、D的頂點(diǎn) A(1,2),B(3,1),C(5,6),求頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)。五、向量的數(shù)量積的求法定義法： ababcos求數(shù)量積：坐標(biāo)法：abxxyy1212當(dāng) a/b時(shí)， 0 和 180 兩種可能。故 abab專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式一些重要的結(jié)論：222222aaa(ab)(ab ) ab22a；(ab ) aabb；例 1 設(shè) a,b,c是任意的非零的向量，且相互不共線，則（） (ab)c(ca)b0; abab;2 (bc)a(ac）b 不與 c 垂直 (3a2b)(3a2b)9a 24b其中是真命題的為（）例 2 已知平面上三點(diǎn) A、B、C，滿足 AB3,BC

7、4,CA5, 則 ABBCBCCACAAB的值等于 _ 。例 3 已知向量 a 和 b 的夾角為 120，且 a2,b5, 則 (2ab ) a_.六、如何求向量的長(zhǎng)度形如 ab 的模長(zhǎng)求法：先平方轉(zhuǎn)化為含數(shù)量積運(yùn)算開方，即：ab22222a2abb例 1 已知向量 a,b,ab4,a 與 b 的夾角為 60, 則 ab_,ab_, 其中ab 與 a_,ab 與 a 方向夾角為 _.方向的夾角為例 2 設(shè)向量 a,b 滿足 ab1,3a2b3, 求 3ab 的值。七、如何求兩向量的夾角abxxyy1212cos夾角公式： 2222abxyxy11221例 1 已知 )36,_.a10,b12,

8、 且 (3a)(b求 ab 的夾角5例 2 若e 與是夾角為60 的單位向量，且a2ee,b3 e2e, 求 ab 及 a 與 b 的夾角1e1。2212八、垂直問題的求解向量垂直的充要條件：aa00bbx1xyy212專業(yè)資料整理WORD格式例 1 若向量 a,b滿足 abab, 則 a 與 b 所成的角。例 2 在 ABC中 AB(2,3),AC(1,k),且 ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求 k 的值。3專業(yè)資料整理WORD格式例 3 已知 ab,a2,b3. 且。 3a2b 與 ab 垂直，求例 4 已知 O(0,0),A(0,5),B(6,3),ADOB于點(diǎn) D, 求 D 點(diǎn)的坐標(biāo)。九、向

9、量的數(shù)量積的逆向應(yīng)用求解有關(guān)向量的問題，可設(shè)出該向量的坐標(biāo)，列出方程或方程組求之。例 1 已知 a(4,3),b1,且 ab5, 則 b?例 2 求與向量 a(3,1) 和 b(1,3) 的夾角相等，且模長(zhǎng)為的向量c 的坐標(biāo)例 3 若平面向量 b 與向量 a(1,2) 的夾角是 180，且 b35, 則 b()A.(3,6)B.(3,6)C.(6,3)D.(6,3)例 4 已知向量 b 與向量 a(3,4) 垂直，且 b15, 則 b_.十、線段定比分點(diǎn)公式的運(yùn)用技巧求解定比分點(diǎn)問題，要注意結(jié)合圖形，分清是內(nèi)分點(diǎn)是外分點(diǎn)，不能混淆起點(diǎn)和終點(diǎn)，xxxxxx12121中點(diǎn)坐標(biāo)公式：2yyyyyy1

10、21 221定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：，xx1xx23重心坐標(biāo)公式：y3yy1y233例 1 設(shè)點(diǎn) P 分有向線段 PP所成的比為，則 P分 P2 P 所成的比為 _。12314例 2 已知兩點(diǎn) P(4,9),Q(2,3), 則 PQ與 y 軸的交點(diǎn)分有向線段 PQ所成的比為 _.十一、利用平移公式解題點(diǎn) A(x,y) 按向量 a(h,k) 平移，得到點(diǎn) (xh,yk) ，而函數(shù) yf(x) 的圖像按向量a(h,k)平移得到的函數(shù)的解析式為yf(xh)k，解題時(shí)要注意理解圖像平移前后的關(guān)系。例 1 已知兩個(gè)點(diǎn)P(1,2),P'(2,14),向量 a(3,12),則：(1) 把 P 按向量 a

11、平移得 _.(2) 某點(diǎn)按 a , 得到 P' ，求這個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)。(3)P 按某向量平移得到P', 求這個(gè)向量坐標(biāo)。例 2 將函數(shù) log(21)4y 的圖像，那么y3x 的圖像按向量 a 平移后得到的是函數(shù) log 3 (2x)a 的坐標(biāo)是 _.專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式例 3 將函數(shù) y2sin2x的圖像按向量a 平移，得 )1 的圖像，y2sin(2x則向量 a 的坐標(biāo)3是（）A.(,1)B.(,1)C(,1)D( ,1)3636十二、怎樣利用正、余弦定理求三角形的邊與角主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角變換，誘導(dǎo)公式。abc； a2RsinA ，

12、 b2RsinB ， c2RsinC正弦定理： 2RsinAsinBsinC111。三角形面積公式：SABCabsinCbcsinAacsinB222222222余弦定理：2bccosA;cosAbcaabc2bc下面關(guān)系式需熟記：在ABC中sin(AB)sinCcos(AB)cosCABCABsin()sin C222)coscos(例 1 在 ABC中， sinA:sinB:sinC2: 3 : 4, 則 ABC?例 2 已知 ABC中的最大角A 是最小角 C 的二倍，且a、 b、 c 成等差數(shù)列，則a:b:c_例 3 已知 a、 b、 c 是 ABC中 A,B,C 的對(duì)邊， a、 b、 c 成等差數(shù)列， B30， ABC的面積為3 ，那么 b_。26。例 4 在 RtABC中， Cabc, 求 A B 的值,22十三、如何判定三角形的形狀原則上是將角化成邊或?qū)⑦吇山?，主要工具是正余弦定理和三角恒等變形及代?shù)變形。注意：做等式變形過(guò)程中因式不可直接約分！例 1 在 ABC中，若 2cosBsinAsinC,則 ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角