材料成型原理第十三章答案

1、14 思考與練習(xí)1. 什么叫張量？張量有什么性質(zhì)？答：張量：由若干個(gè)當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量組成的集合，稱為張量，需要用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)矢量，即 9 個(gè)分量才能完整地表示。它的重要特征是在不同的坐標(biāo)系中分量之間可以用一定的線性關(guān)系來(lái)?yè)Q算?；拘再|(zhì)：1) 張量不變量 張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f (Pij ) ，這些函數(shù)值與坐標(biāo)軸無(wú)關(guān)， 它不隨坐標(biāo)而改變， 這樣的函數(shù)， 叫做張量不變量。二階張量存在三個(gè)獨(dú)立的不變量。2) 張量可以疊加和分解 幾個(gè)同階張量各對(duì)應(yīng)的分量之和或差定義為另一個(gè)同階張量。兩個(gè)相同的張量之差定義為零張量。3) 張量可分為對(duì)稱張量、 非對(duì)稱張量、 反對(duì)稱張量若張

2、量具有性質(zhì) PijPji ，就叫對(duì)稱張量；若張量具有性質(zhì)PijPji ，且當(dāng) i=j 時(shí)對(duì)PijPji應(yīng)的分量為 0， 則叫反對(duì)稱張量； 如果張量， 就叫非對(duì)稱張量。任意非對(duì)稱張量可以分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量。4) 二階對(duì)稱張量存在三個(gè)主軸和三個(gè)主值如果以主軸為坐標(biāo)軸，則兩個(gè)下角標(biāo)不同的分量均為零，只留下兩個(gè)下角標(biāo)相同的三個(gè)分量，叫作主值。2. 如何表示任意斜微分面上的應(yīng)力？答：若過一點(diǎn)的三個(gè)互相垂直的微分面上的九個(gè)應(yīng)力分量已知，則借助靜力平衡條件，該點(diǎn)任意方向上的應(yīng)力分量可以確定。如圖14-1所示，設(shè)過Q點(diǎn)任一斜切面的法線N與三個(gè)坐標(biāo)軸的方向 余弦為l , m, n,l=cos(N

3、,x);m=cos(N,y);n=cos(N,z)。若斜微分面ABC的面積為dF, 微分面 OBC(x面)、OCA(y面)、OAB(z 面)的微分面積分別為dFx、dFy、dFz, 則各微分面之間的關(guān)系為圖14-1任意斜切微分面上的應(yīng)力又設(shè)斜微分面ABC上的全應(yīng)力為S,它在三坐標(biāo)軸方向上的分量為Sx、Sy、Sz,由靜力平衡條件Px0仔：SxdFxdFxyxdFyxx x y x yzxdFz整理得xyxzyxmymyzmzxn zyn zn(14-6)用角標(biāo)符號(hào)簡(jiǎn)記為Sjlij ix, y, z顯然，全應(yīng)力S222S2S2Sf斜微分面上的正應(yīng)力為全應(yīng)力S在法線N方向的投影，它等于dFx=ldF

4、 ; dFy= mdF; dFz=ndFSx, Sy, Sz在N方向上的投影之和，即SxlSym Szn22214-7 )xlym zn 2( xylm yzmn zxnl)斜切微分面上的切應(yīng)力為 2 S22(14-8 )所以，已知過一點(diǎn)的三個(gè)正交微分面上 9 個(gè)應(yīng)力分量，可以求出過該點(diǎn)任意方向微分面上的應(yīng)力，也就是說(shuō)，這9 個(gè)應(yīng)力分量可以全面表 示該點(diǎn)應(yīng)力狀況，亦即可以確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。3. 應(yīng)力張量不變量如何表達(dá)？答：應(yīng)力張量的三個(gè)不變量為J1123J2(1223 3 1)J3123其中J1 、 J 2、 J 3為應(yīng)力張量第一、第二、第三不變量。4. 應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量的物理意義是什

5、么？答：應(yīng)力：在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就會(huì)產(chǎn)生相互作用的力，稱為內(nèi)力。單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力，可采用截面法進(jìn)行分析應(yīng)力球張量： 也稱靜水應(yīng)力狀態(tài)， 其任何方向都是主方向， 且主應(yīng)力相同，均為平均應(yīng)力。特點(diǎn)： 在任何切平面上都沒有切應(yīng)力， 所以不能使物體產(chǎn)生形狀變化，而只能產(chǎn)生體積變化，即不能使物體產(chǎn)生塑性變形。應(yīng)力偏張量： 是由原應(yīng)力張量分解出應(yīng)力球張量后得到的。 應(yīng)力偏張量的切應(yīng)力分量、 主切應(yīng)力、 最大切應(yīng)力及應(yīng)力主軸等都與原應(yīng)力張量相同。特點(diǎn)：應(yīng)力偏張量只使物體產(chǎn)生形狀變化， 而不能產(chǎn)生體積變化。材 料的塑性變形是由應(yīng)力偏張量引起的。5. 平面應(yīng)力狀態(tài)和純切應(yīng)力狀態(tài)有何特點(diǎn) ？答

6、：平面應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)為：變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)與某坐標(biāo)軸垂直的平面上沒有應(yīng)力。純切應(yīng)力狀態(tài):6. 等效應(yīng)力有何特點(diǎn)？寫出其數(shù)學(xué)表達(dá)式。答：等效應(yīng)力的特點(diǎn)：等效應(yīng)力不能在特定微分平面上表示出來(lái)，但它可以在一定意義上“代表”整個(gè)應(yīng)力狀態(tài)中的偏張量部分，因而與材料的塑性變形密切有關(guān)。人們把它稱為廣義應(yīng)力或應(yīng)力強(qiáng)度。等效應(yīng)力也是一個(gè)不變量。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:等效應(yīng)力在主軸坐標(biāo)系中定義為( 12)( 23)( 31 ) j 3J2在任意坐標(biāo)系中定義為1222222 ：；( x y)2( y z)2( z x)26( xyzx )57.已知受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力張量為50508050075807530(MPa),試

7、求外法線方向余弦為l=m=1/2 , n=為的斜切面上的全應(yīng)力、正應(yīng)力和切應(yīng)力。解：設(shè)全應(yīng)力為S,sy分別為S在三軸中的分量,則有:s x =50 + 50 +8022xyxzlyxmymyzmzxn zyn znsy =501+021-75 2s z=801- 7522-30_2_2SSxS2SxlSymSzn而2S211 =106.61=-28.01 2=-18.7則得到S則得到則得到= 111.79 MPa= 26.1 MPa= 108.7 MPa8.已知受力體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力張量分別為112) j01720010017200101000，10000 (MPa)41）畫出該點(diǎn)的應(yīng)力單元體;2

8、）求出該點(diǎn)的應(yīng)力張量不變量、主應(yīng)力及主方向、主切應(yīng)力、最大切應(yīng)力、等效應(yīng)力、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量;3）畫出該點(diǎn)的應(yīng)力莫爾圓。解：1）略2）在狀態(tài)下:J1= x+ y+ z=10J 2 =-(2)+ xy +22yz +2zxy z+2xy式MT0和由yz zx(3yzJ12+ y zx +=2002xy )=0J 2 J31 = 203=-10I112,mini代入公式對(duì)于1 = 20時(shí):對(duì)于2=0時(shí):對(duì)于3 = - 10時(shí):1210m3主切應(yīng)力3123322 153115最大切應(yīng)力等效應(yīng)力:2)2（23）2（ 31）23J2應(yīng)力偏張量:10203403102031(20 0=1(m 3110)10320x萬(wàn)403應(yīng)力球張量:00310003001032039.某受力物體內(nèi)應(yīng)力場(chǎng)為：32xy c2 y C3X yz yz zx26xy3Cl X32c2xy2試從