高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)--等比數(shù)列

1、6.3等比數(shù)列等比數(shù)列棗莊八中南校棗莊八中南校 高三數(shù)學(xué)組高三數(shù)學(xué)組 定義定義 如果一個(gè)數(shù)列從第如果一個(gè)數(shù)列從第2 2項(xiàng)起項(xiàng)起, ,每一項(xiàng)與它的前每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù), ,那么這個(gè)數(shù)列就叫做那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列等比數(shù)列, ,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比, ,公差通公差通常用字母常用字母q q表示表示(q0).(q0). 等比數(shù)列的判定方法等比數(shù)列的判定方法 1.1.定義法：定義法： 對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列aan n,若若 , ,則數(shù)列則數(shù)列aan n 是是等比數(shù)列。等比數(shù)列。)0(1qqaann 對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列aan n,若若 ,

2、 ,則數(shù)列則數(shù)列aan n 是是等比數(shù)列等比數(shù)列212nnnaaa2,2,等比中項(xiàng)等比中項(xiàng): :3.3.通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式法：nnacq（c,qc,q均是不為零的常數(shù)）均是不為零的常數(shù)） na是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；4.4.前前n n項(xiàng)和公式法：項(xiàng)和公式法：1111nnnaaSqkqkqq（ 是常數(shù)是常數(shù) ）11akq0,1qq且 na是等比數(shù)列；是等比數(shù)列； 等比中項(xiàng)等比中項(xiàng) GbaGabG2 如果在如果在a a與與b b之間插入一個(gè)數(shù)之間插入一個(gè)數(shù)G G，使，使a a，G G，b b成成等比數(shù)列，那么等比數(shù)列，那么G G叫做叫做a a與與b b的等比中項(xiàng)。的等比中項(xiàng)。也就是，如果也就是，

3、如果G G是是a,ba,b的等比中項(xiàng)，那么的等比中項(xiàng)，那么即即 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 11nnqaa1111(1)(1)11nnnnSnaqSaa qaqqqq 如果等比數(shù)列如果等比數(shù)列aan n 的首項(xiàng)是的首項(xiàng)是a a1 1, ,公比是公比是q q，則等比數(shù)列的通項(xiàng)為則等比數(shù)列的通項(xiàng)為 等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 1 1等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果 是等是等比比數(shù)列的第數(shù)列的第m m項(xiàng)，項(xiàng)， 是等比數(shù)列的第是等比數(shù)列的第n n項(xiàng)，項(xiàng)，且且 ，公比為，公比為q q，則有，則有namanm mnmnqaa2.2.對(duì)于等比數(shù)列，若對(duì)于等比

4、數(shù)列，若 ，則，則 vumnvumnaaaa3.3.若數(shù)列若數(shù)列aan n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列,S,Sn n是其前是其前n n項(xiàng)的和，那項(xiàng)的和，那么么 ， ， 成等比數(shù)列成等比數(shù)列 kSkkSS2kkSS23等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì)例例1 1：各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列：各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列a an n的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，若，若S S1010 =10 =10，S S3030=70=70，求，求S S4040. .解法一：解法一：（利用前（利用前n n項(xiàng)和公式）項(xiàng)和公式）由題意知：由題意知： 數(shù)列數(shù)列a an n的公比的公比q1q1則則101103013011011701

5、aqSqaqSq由由 得得201060qq101032qq 舍 ，4014011aqSq又由由 得得404010301151SqSq10150S（用等比數(shù)列的性質(zhì)）（用等比數(shù)列的性質(zhì)）解法二：解法二：設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列a an n的公比的公比q q， 由題意得：由題意得：10201030204030,SSSSSSS成等比數(shù)列，且公比為成等比數(shù)列，且公比為q q1010. .22010103020SSSSS220201010 70SS20220106000SS而20203020SS 或1020020qS 舍2030S2302020104030SSSSSS又240402030S40150S例例2.2.數(shù)

6、列數(shù)列 na的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為*213nnSanN （1 1）判斷）判斷na是什么數(shù)列？是什么數(shù)列？（2 2）求數(shù)列）求數(shù)列nna的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. .解解: : 當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí)111213Saa 135a當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí)21,3nnSa 11213nnSa 1nnnaSS12233nnaa 152,33nnaa125nnaa2n 所以所以 是等比數(shù)是等比數(shù)列列 na0 2113nnSa 112123nnSa （2）-（1）得）得1123nnnaaa153nnaa125nnaanN111213Saa 1305a所以所以 是等比數(shù)是等比數(shù)列列 na或或: : 由由

7、知知1113 25 5nnnaa q13255nnnan12323nnTaaana2132221235555nn 23123 2222223155 55555nnnTnn 2312322222115555555nnnTn23122222155555nnnTn 23122222155555nnnTn 21252515nnn552335nn設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列a an n中，中，S S1 1=1, S=1, S2 2=2,=2,113202 ,nnnSSSn na判斷是不是等比數(shù)列？是不是等比數(shù)列？解：解：113202 ,nnnSSSn112,nnnnSSSS122nnaan即122nnana111,aS

8、又2212 11,aSS 2112aa 所以不是等比數(shù)列。所以不是等比數(shù)列。變式練習(xí)：變式練習(xí)：1nna a學(xué)案例學(xué)案例1.1.數(shù)列數(shù)列 na中，中，a a1 1=2, a=2, a2 2=3,=3,且且是以是以3 3為公比的等比數(shù)列，記為公比的等比數(shù)列，記*212nnnbaanN（1 1）求）求a a3 3 ,a,a4 4 ,a,a5 5 的值；的值；（2 2）求證：）求證： 為等比數(shù)列為等比數(shù)列 nb3456(1)6,9,18,27aaaa解：變變式式解解: :(2)(2)1nna a為等比數(shù)列為等比數(shù)列, ,首項(xiàng)首項(xiàng)a a1 1 a a2 2=6,=6,公比為公比為3 3，116 32

9、3nnnna a1126 32 3nnnnaa 得：得：23nnaa即即a an n中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以a a1 1=2=2為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，3 3為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列; ;1211nnaa q12 3n115 335 3nnnnbb a an n中的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以中的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以a a2 2=3=3為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，3 3為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列; ;1223nnnaa q2 132 36a3 152 318a2439a 36327a 212nnnbaa12 33nn112 33 3nn 15 3n*nN nb為等比數(shù)列為等比數(shù)列. .例例3.3.三個(gè)互不相等的數(shù)成

10、等差數(shù)列，若適三個(gè)互不相等的數(shù)成等差數(shù)列，若適當(dāng)排列這三個(gè)數(shù)，也可成為等比數(shù)列，已當(dāng)排列這三個(gè)數(shù)，也可成為等比數(shù)列，已知這三個(gè)數(shù)的積為知這三個(gè)數(shù)的積為8 8，求這三個(gè)數(shù)。，求這三個(gè)數(shù)。解：設(shè)這三個(gè)數(shù)為解：設(shè)這三個(gè)數(shù)為, ,.aa aqq因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)互不相等，因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)互不相等， 所以所以q1q18aaaqq 2a所以這三個(gè)數(shù)為所以這三個(gè)數(shù)為2,2,2 . qq2,2,2qq若成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則224qq解得解得 q=1(q=1(舍）舍）（1）2,2 ,2qq若成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則224qq解得解得 q=1(q=1(舍）或舍）或12q 22,2qq若成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，

11、則422qq解得解得 q=1(q=1(舍）或舍）或2q 三數(shù)為三數(shù)為-4,-1,2-4,-1,2三數(shù)為三數(shù)為2,-1,-42,-1,-4（2）（3）綜上所述這三個(gè)數(shù)為綜上所述這三個(gè)數(shù)為-4,-1, 2-4,-1, 2. .例例4.4.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 na的首項(xiàng)的首項(xiàng)114aa且且11214nnnanaan為偶數(shù)為奇數(shù)211,*4nnbanN又(1)(1)求求a a2 2,a,a3 3; ;(2)(2)判斷數(shù)列判斷數(shù)列 nb是否為等比數(shù)列，并是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論。證明你的結(jié)論。解：解：211(1)4aa1,4a32111228aaa例例4.4.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 na的首項(xiàng)的首項(xiàng)114aa且且11214nnnanaan為偶數(shù)為奇數(shù)211,*4nnbanN又(1)(1)求求a a2 2,a,a3 3; ;(2)(2)判斷數(shù)列判斷數(shù)列 nb是否為等比數(shù)列，并是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論。證明你的結(jié)論。（2 2） nb是公比為是公比為 的等比數(shù)列的等比數(shù)列12證明：證明：由已知得由已知得211,2nnaa22114nnaa21211128nnaa1nnbb21211414nnaa2121112814nnaa121111044baa且 nb是等比數(shù)列。是等比數(shù)列。431(2)4aa1328a54113.2416aaa111144baa023111,424baa35111.444