參數(shù)方程與擺線

1、參數(shù)方程與擺線參數(shù)方程與擺線物理學(xué)中的物體運(yùn)動(dòng)方程，在數(shù)學(xué)上就是參數(shù)方程。參數(shù)方程對(duì)于解決實(shí)際問題具有重要意義。本專 題將介紹參數(shù)方程的基本概念，給出參數(shù)方程的一個(gè)重要實(shí)例一一擺線。擺線是一類十分重要的曲線，可 以分為平擺線、圓擺線、漸開線三大類。我們常見的大部分曲線都可以看成是摟線的特例，如星形線、心 臟線、阿基米德煤線、玫瑰線等等。擺線也是很有用的一類曲線，如最速降線就是平擺線；工廠中常用的 齒輪通常是漸開線或圓擺線；公共汽車的兩折門利用了星形線的原理.再如像收割機(jī)、翻土機(jī)等許多農(nóng)業(yè) 機(jī)械和工廠中的車床等，大都采用的是擺線原理.而且，攘線在天文中也有重要應(yīng)用，行星相對(duì)地球的軌 跡、月亮相對(duì)

2、太陽的軌跡都可以看作是擺線.本專題主要內(nèi)容是參數(shù)方程與接線，擺線可以利用向量方法通過參數(shù)方程表示出。因此本專題可以 看成是“解析幾何初步” “平面向量” “三角函數(shù)”等內(nèi)容的綜合應(yīng)用和進(jìn)一步深化。本專題首先介紹了 曲線的一般表示方法，闡述了坐標(biāo)系的類型和曲線方程的表現(xiàn)形式。這些內(nèi)容是“解析幾何初步”等內(nèi)容 的補(bǔ)充和完善，也是擺線內(nèi)容的必備基礎(chǔ)。通過對(duì)本專題的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握參數(shù)方程的基本概念，了解 曲線的表現(xiàn)形式，體會(huì)從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問題的興趣和能力.通過對(duì)天 體軌道方程的學(xué)習(xí)和對(duì)擺線應(yīng)用的了解，學(xué)生將體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值，提高應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能 力.通過對(duì)

3、接線的探索，學(xué)生將樹立辨證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，提高數(shù)學(xué)抽象能力，發(fā)展創(chuàng)新精神。內(nèi)容與要求1.參數(shù)方程（1）坐標(biāo)與曲線方程（2）曲線的一般方程隱式方程；參數(shù)方程；一一參數(shù)化與降式化簡(jiǎn)介。（3）特殊的參數(shù)方程（4）參數(shù)方程的參數(shù)變換回顧直角坐標(biāo)系的概念，回顧（顯式）曲線方程實(shí)例，比如拋物線產(chǎn)V等.給出曲線的顯式、隱式和參數(shù)方程的定義，說明顯式方程是隱式方程的特例，并通過實(shí)例（如圓等）， 指出隱式方程和參數(shù)方程才是曲線的一般方程，介紹隱式方程和參數(shù)方程各自的優(yōu)缺點(diǎn)，說明參數(shù)化與隱 式化的作用。通過參數(shù)變換舉例說明，同一曲線可以利用不同的參數(shù)來建立不同形式的參數(shù)方程，并指出 常用的參數(shù)形式（如時(shí)間、轉(zhuǎn)角和弧長(zhǎng)

4、等等）.特殊參數(shù)方程舉例，參數(shù)變換簡(jiǎn)介。2.平擺線與圓的漸開線（1）平接線（“圓”在“直線”上滾動(dòng)）標(biāo)準(zhǔn)平擺線；一一變幅平擺線；一一平接線的用途。（2）漸開線（“直線”在“圓”上滾動(dòng)）標(biāo)準(zhǔn)漸開線； 一一變幅漸開線； 漸開線的用途。介紹標(biāo)準(zhǔn)平接線的實(shí)際背景（如前進(jìn)中的自行車，車輪上偶然所粘的糖紙?jiān)诳罩挟嫵龅那€,就是 標(biāo)準(zhǔn)平擺線），利用平面向量方法建立標(biāo)準(zhǔn)平擺線參數(shù)方程.介紹變幅平擺線的實(shí)際背景（如前進(jìn)中的自行車，車輪幅條上一點(diǎn)或車輪氣嘴在空中畫出的曲線， 就是短幅平擺線；如在火車前進(jìn)時(shí)，緊扣在鐵軌上的車輪的外邊沿上的一點(diǎn)在空中畫出的曲線就是長(zhǎng)幅 平擺線）。指出若考慮幅長(zhǎng)變化，則可以將標(biāo)準(zhǔn)平授線

5、推廣為變幅平擺線。變幅平接線可作為學(xué)生作業(yè)或 探究題材，要求學(xué)生建立平擺線的一般方程.指出漸開線的幾何意義及漸開線與平操線的對(duì)應(yīng)性質(zhì)，利用平面向量方法建立標(biāo)準(zhǔn)漸開線的參數(shù) 方程?？蓪⒆兎鶟u開線的內(nèi)容作為學(xué)生作業(yè)或探究素材，要求學(xué)生建立漸開線的一般方程。對(duì)漸開線與平 擺線對(duì)應(yīng)關(guān)系的探究，也可作為小科研活動(dòng)的課題。介紹平擺線與漸開線的用途，如最速降線就是平擺線，齒輪的咬合可以利用漸開線等等.這些應(yīng) 用的數(shù)學(xué)證明可以作為閱讀材料給出?！疤骄孔钏俳稻€的用途”等題材，可以作為小科研活動(dòng)的課題。3,圓擺線的概念（1）外擺線（兩圓外切，“動(dòng)圓”在“靜圓”上滾動(dòng)）（2）內(nèi)擺線（兩圓內(nèi)切，“小圓”在“大圓”內(nèi)滾

6、動(dòng)）（3）環(huán)擺線（兩圓內(nèi)切，“大圓”在“小圓”外滾動(dòng)，類似呼啦圈的轉(zhuǎn)動(dòng)）（4）網(wǎng)擺線的對(duì)偶關(guān)系給出外擺線的定義，直接導(dǎo)出變幅外擺線的一般方程.討論具體的外擺線（如心臟線等），嘗試通 過改變兩圓半徑比和改變幅長(zhǎng),構(gòu)造和探索各種外援線。給出內(nèi)擺線與環(huán)援線的定義，指出外援線、內(nèi)接線與環(huán)擺線的概念是依據(jù)生成方式給出的。利用 圖示法說明外援線的一般方程，也適用于內(nèi)擺線與環(huán)擺線，因此是網(wǎng)擺線的一種統(tǒng)一方程（圓擺線統(tǒng)一方 程I以轉(zhuǎn)角為參數(shù)）。利用統(tǒng)一方程，討論和探索具體的圓擺線（如星形線、玫瑰線都是內(nèi)擺線，心臟線可以用環(huán)擺線表 示等），嘗試通過改變兩圓半徑比和改變幅長(zhǎng)，構(gòu)造和探索各種圓擺線。直角坐標(biāo)系與極坐

7、標(biāo)系下，特殊 曲線的不同表示可以作為學(xué)生的探究課題。利用圓擺線的統(tǒng)一方程，通過代數(shù)變換導(dǎo)出對(duì)偶方程與對(duì)偶關(guān)系，舉例說明對(duì)偶關(guān)系的幾何意義。 進(jìn)而說明內(nèi)擺線的對(duì)偶還是內(nèi)接線，外擺線與環(huán)擺線互相對(duì)偶.有條件的學(xué)?？梢岳糜?jì)算機(jī)來動(dòng)態(tài)演示 對(duì)偶現(xiàn)象。4.圓擺線與天體運(yùn)行軌道（1）理想模型一一天體運(yùn)行方程（2）等效形式一天體軌道方程（同轉(zhuǎn)軌道、異轉(zhuǎn)軌道）（3）方程的統(tǒng)一性質(zhì)（圓排線統(tǒng)一方程II以時(shí)間為參數(shù)）一一分類對(duì)應(yīng)（由天體角速度決定：外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線）：一一變幅關(guān)系（由天體線速度決定：標(biāo)準(zhǔn)、長(zhǎng)幅、短幅）.（4）方程的對(duì)偶性質(zhì)對(duì)偶方程的表現(xiàn)形式；對(duì)偶關(guān)系（內(nèi)擺線與內(nèi)接線對(duì)偶，外擺線與環(huán)擺線對(duì)偶

8、）。給出太陽、地球、月亮系統(tǒng)的理想模型，指導(dǎo)學(xué)生導(dǎo)出月亮的運(yùn)動(dòng)方程，即天體運(yùn)行方程。并介 紹地心說、日心說和開普勒的橢圓軌道模型。利用曲線參數(shù)變換，通過簡(jiǎn)化天體運(yùn)行方程，給出天體軌道方程。并根據(jù)方程性質(zhì)，給出天體軌 道方程的分類。介紹天體軌道方程的統(tǒng)一性，說明天體軌道方程就是擺線的統(tǒng)一方程；給出其與內(nèi)擺線、外擺線、 環(huán)擺線的對(duì)應(yīng)關(guān)系；并給出具體的對(duì)偶關(guān)系。圓擺線統(tǒng)一方程II的推導(dǎo)，可以作為學(xué)生小科研活動(dòng)的課 題.讓學(xué)生觀察天體軌道方程的對(duì)稱性，推測(cè)軌道方程存在對(duì)偶表示；借助幾何直觀及平行四邊形的 性質(zhì)，想象此時(shí)對(duì)偶模型新的幾何形式。最后，通過代數(shù)變換導(dǎo)出對(duì)偶方程，此內(nèi)容也可作為學(xué)生小科研 活動(dòng)

9、的課題。作業(yè)或可選探究課題：討論特殊曲線在圓擺線統(tǒng)一方程II下的具體表示，觀測(cè)行星運(yùn)動(dòng)的接線行 為，設(shè)計(jì)繪制接線的機(jī)械裝置。附錄一：擺線的應(yīng)用選題（1）最速降線是平擺線（2）橢圓是特殊的內(nèi)擺線卡丹轉(zhuǎn)盤（3）闋接線齒輪與漸開線齒輪（4）收割機(jī)、翻土機(jī)等機(jī)械裝置的擺線原理與設(shè)計(jì)（5）星形線與公共汽車門（6）行星運(yùn)動(dòng)軌道的探索這些選題可以作為選讀材料，或作為課后探究和數(shù)學(xué)建模的題材。附錄二：擺線的統(tǒng)一方程（1）圓擺線的孤長(zhǎng)參數(shù)統(tǒng)一方程（圓擺線統(tǒng)一方程m以弧長(zhǎng)為參數(shù)）<2）擺線（平擺線、圓擺線、漸開線）的統(tǒng)一方程（大統(tǒng)一方程）此處內(nèi)容可以作為選讀材料，或作為課后探究與數(shù)學(xué)建模的題材。圈攜線（外擺

10、線、內(nèi)擺線、環(huán) 擺線）的統(tǒng)一方程稱為小統(tǒng)一方程，一般擺線（平擺線、圓擺線、漸開線）的統(tǒng)一方程稱為大統(tǒng)一方程圓排線的統(tǒng)一方程m可以由統(tǒng)一方程I經(jīng)簡(jiǎn)版變換后直接得到。大統(tǒng)一方程可以由小統(tǒng)一方程（統(tǒng) 一方程m）經(jīng)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)水平平移而得到。平擺線、漸開線是大統(tǒng)一方程的極限狀態(tài).說明與建議（1）參數(shù)方程是本專題的主要工具，本專題的核心內(nèi)容是利用參數(shù)方程學(xué)習(xí)、探索接線的性質(zhì)和作 用.首先要說明曲線的表示方法，介紹坐標(biāo)系的分類（直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系）和曲線方程的三種形式，解 將它們的關(guān)系。這也是對(duì)以前所學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充。（2）關(guān)注學(xué)生對(duì)已有的平面向量、三角函數(shù)等知識(shí)的運(yùn)用，鼓勵(lì)學(xué)生自主建立曲線方程，加強(qiáng)對(duì)學(xué) 生

11、自主探究方面的訓(xùn)練。以平擺線、漸開線作為接線的基礎(chǔ)，以圓探線為核心，以天體運(yùn)行為應(yīng)用，以特 殊方程為實(shí)例，注肅擺線的實(shí)際背景，建立擺線的統(tǒng)一方程，了解擺線的性質(zhì)，探索擺線的用處。（3）注意曲線可以通過選擇不同的參數(shù)，建立不同形式的參數(shù)方程，體會(huì)不同參數(shù)在建立曲線參數(shù) 方程時(shí)的作用圓擺線的三種小統(tǒng)一方程中，小統(tǒng)一方程口（即天體軌道方程）最為優(yōu)美，在表述曲線的 分類關(guān)系、變幅關(guān)系和對(duì)偶關(guān)系時(shí)也最為簡(jiǎn)潔。（4）可以在學(xué)生中成立擺線興趣小組，組織學(xué)生在數(shù)學(xué)探究、實(shí)際應(yīng)用、計(jì)算機(jī)探索等三個(gè)方面展 開課外活動(dòng)。四、計(jì)算機(jī)中的數(shù)學(xué)與藝術(shù) 計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的藝術(shù)品。廣告、海報(bào)、宣傳品等實(shí)用藝術(shù)，新興出現(xiàn)的 現(xiàn)代藝

12、術(shù)中的媒體藝術(shù)中，都可見到數(shù)學(xué)鬼斧神 工的創(chuàng)造力。各種藝術(shù)性的曲線也應(yīng)用的更為廣 泛。下面介紹兩種藝術(shù)曲線:連鎖螺線和外擺線。1.連鎖螺線方程：/=°2/82.外擺線方程： x = (a+b) cost b cos(a !b+ l)r)y = (a + b)sint -bsin(a/b + )t)以下圖形是部分用計(jì)算機(jī)軟件Matlab產(chǎn)生的 函數(shù)圖像，從中可見數(shù)學(xué)與藝術(shù)結(jié)合之美。下面的兩幅美麗圖案(蝶戀花)是極坐標(biāo)函數(shù) 圖形，其中蝴蝶函數(shù)與花函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別 為p = 3sin6 + 3.5cos(l 0)cos89p = 0.2sin(36) + sin(48) + 2sin(

13、58) + 1.9sin(7) - 0.2sin(96) + sin(l 0)HypotrochoidHypotrochoidParametric Cartesian equation：x = (a - 2>) cos() + c cos (a/2? -1) t), y = (a - 6) sin(t) - c sin(a/2>-l)t)There are four curves which are closely related. These are the epicycloid, the epitrochoid, the hypocycloid and the hypotrochoid and they are traced by a point P on a circle of radius b which rolls round a fixed circle of radius aFor the hypotrochoid, an example of which is shown above, the circle of radius b rolls on t