三角形的證明單元復(fù)習(xí)(準(zhǔn)備打印版)

1、三角形的證明三角形的證明知識(shí)點(diǎn)匯總知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)：知識(shí)點(diǎn)1全等三角形的判定及性質(zhì)判定定理簡(jiǎn)稱判定定理的內(nèi)容性質(zhì)SSS三角形分別相等的兩個(gè)三角形全等全等三角形對(duì) 應(yīng)邊相等、對(duì) 應(yīng)角相等SAS兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等ASA兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等AAS兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等HL (RtA)斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)定理及推論內(nèi)容幾何語(yǔ)言條件與結(jié)論等腰三角形 的性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等。 簡(jiǎn)述為：等邊對(duì)等角在ZkABC中，若AB=AC,則NB 二 NC條件：邊相等，即AB=AC結(jié)論：角相等，即NB二NC

2、推論等腰三角形頂角的平分線、 底邊上的中線及底邊上的 高線互相垂直，簡(jiǎn)述為：三 線合一在ABC, AB=AC, AD±BC, 則AD是BC邊上的中線，且AD平分NBAC條件：等腰三角形中已知頂點(diǎn)的 平分線，底邊上的中線、底邊上 的高線之一結(jié)論：該線也是其他兩線等腰三角形中的相等線段：1、等腰三角形兩底角的平分線相等；2、等腰三角形兩腰上的高相等；3、兩腰 上的中線相等；4、底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等知識(shí)點(diǎn)3等邊三角形的性質(zhì)定理內(nèi)容性質(zhì)定理等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度解讀(1)等邊三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性質(zhì)(2)等邊三角形每條邊上的中線、

3、高線和所對(duì)角的平分線“三線合一”【易錯(cuò)點(diǎn)】所有的等邊三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等邊三角形知識(shí)點(diǎn)4等腰三角形的判定定理內(nèi)容幾何語(yǔ)言條件與結(jié)論等腰三角 形的判定 定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰 三角形，簡(jiǎn)述為：等校對(duì)等邊在ZkABC 中,若NB=NC 則 AC二BC條件：角相等，即NB二NC 結(jié)論：邊相等，即AB二AC解讀對(duì)”等角對(duì)等邊”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一個(gè)三角形中”拓展判定一個(gè)三角形是等腰三角形有兩種方法：1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定 理，即“等角對(duì)等邊“試卷第11頁(yè)，總12頁(yè)知識(shí)點(diǎn)5反證法概念證明的一般步驟反證法在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)

4、論不成立，然后推 導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件 相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立， 這種證明方法稱為反證法（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推論方 法，得出與定義、基本事實(shí)' 已有定理或已 知條件相矛盾的結(jié)果（3）由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,從而肯 定原命題正確解讀【要點(diǎn)提示】（1）對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)命題，當(dāng)用直接證法比較困難甚至不能證明時(shí)，往往采用間 接證法，反證法就是其中一種，當(dāng)一個(gè)命題涉及“一定”“至少”“至多” “無限”“唯一” 等情況時(shí)，由于結(jié)論的反面簡(jiǎn)單明確，常常用反證法來證明（2） “推理”必須順著假設(shè)的思路進(jìn)行，即把假設(shè)當(dāng)作已知條件

5、，“得出矛盾”是指推出與 定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果知識(shí)點(diǎn)6等邊三角形的判定定理內(nèi)容判定定理1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形判定定理2有一角是60度的等腰三角形是等邊三角形解讀應(yīng)用判定定理2時(shí)，證三角形是等腰三角形，且三角形中有一角為60°拓展判定一個(gè)三角形是等邊三角形的方法有三個(gè)：（1）三邊都相等的三角形是等邊三角 形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角等于60c的等腰三 角形是等邊三角形。注意要更根據(jù)條件和特征靈活選擇判定方法巧計(jì)樂背三種方法證等邊，定義與兩個(gè)判定，判定2可先證等腰，再找60°角知識(shí)點(diǎn)7線段的垂直平分線的性質(zhì)及判

6、定內(nèi)容性質(zhì)定理線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等判定定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上實(shí)例應(yīng)用：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等（交點(diǎn)是外接圓圓 心）知識(shí)點(diǎn)8角平分線的性質(zhì)及判定內(nèi)容性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等判定定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上實(shí)例應(yīng)用：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等（交點(diǎn)是內(nèi)切圓圓心）針對(duì)性練習(xí)題:一、選擇題試卷第6頁(yè)，總12頁(yè)1 .等腰三角形的兩邊分別為6, 13,則它的周長(zhǎng)為（C ）A. 25 B. 25 或 32 C.

7、 32 D. 192 .等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50° ,則另外兩個(gè)角的度數(shù)分別是（C）A. 65° , 65°B. 50° , 80°C. 65° , 65° 或 50° , 80°D. 50° , 50°3 .如圖，在ABC中，BC=8cm, AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交邊AC點(diǎn)E, AC 的長(zhǎng)為12cm,則aBCE的周長(zhǎng)等于（B ）A. 16cmB. 20cmC. 24cmD. 26cm4 .下列命題中，逆命題是真命題的是（A ）A.直角三角形的兩銳角互余B.對(duì)頂角相等C.若兩

8、直線垂直，則兩直線有交點(diǎn)D.若x=l,則x5 .等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為10cm和6cm,則它的周長(zhǎng)為（C ）A. 26cm B. 22cmC. 26cm 或 22cm D.以上都不正確6 .如圖，直線a、b、c表示三條公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（D ）試卷第12頁(yè)，總12頁(yè)C、三處D、四處7.如圖，在ABC 中，AB=AC,ZA=30° ， E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，NABC與NACE的平分線相交于點(diǎn)D,則ND的度數(shù)為（A ）.A. 15°B. 17. 5°C. 20°D. 22. 5°8.以下列各

9、組數(shù)為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（D ）A. 1, 2, 3B. V3, VJ,、片C. 32 , 42 , 52 D. 3, 4, 59.如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱這個(gè)三角形為“智慧 三角形”.下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是（D ）A. 1, 2, 3B. 1, 1,亞C. 1, 1, 6D. 1, 2, 610 .若等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于5,另一邊長(zhǎng)等于3,則它的周長(zhǎng)等于（D ）.A. 10B. 11C. 13D. 11 或 1311 .在直角坐標(biāo)系中，己知A （3, 3）,在x軸、y軸上確定一點(diǎn)P,使AAOP為 等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（

10、C ）A. 10 個(gè) B. 8 個(gè) C. 6 個(gè) D. 4 個(gè)12 .如圖，在aABC中，ZB=90° , AP是NBAC的平分線，PQ_LAC,垂足為Q.下 列4個(gè)結(jié)論：AB=AQ；NAPB=NAPQ；PQ=PB；NCPQ=NAPQ.其中正確的 試卷第6頁(yè)，總12頁(yè)ADc (13)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D. 4個(gè)13.如圖，在ABC 中，AB=AC,NA=36° , BD、CE 分別是ABC、ZBCD 的角平分線，則圖中的等腰三角形有（A ）A.5個(gè) B.4個(gè) C. 3個(gè) D. 2個(gè)14 .如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A、B是兩格點(diǎn), 如果C也是

11、圖中的格點(diǎn)，且使得aABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是:（D ）B.6C.7D.8試卷第11頁(yè)，總12頁(yè)15 .如圖，從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、45° ,如果此 時(shí)熱氣球C處的高度CD為100米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離 是（）A. 200 米 B. 200日米C- 220米D. 100（V3+1）米16 .己知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為2和3,則它的周長(zhǎng)為（）A. 7 B. 8 C. 5 D. 7 或 817 .如圖，伊寧火車站附近現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，三條直線表示3條公路要求中轉(zhuǎn)站到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()A.

12、一處 B.兩處 C.三處 D.四處二、填空題18 .己知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4,另一邊長(zhǎng)為8,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng) 為.19 .若直角三角形斜邊上的高和中線長(zhǎng)分別是6cm, 8cm,則它的面積是.20 .如圖，在aABC中，AC=4cm,線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N, ZBCN的周 長(zhǎng)是7cm,則BC的長(zhǎng)為 cm.盤 上5(20)86 C(21)21 .如圖，在 ABC中，AB=AC, D為BC的中點(diǎn)，則ABDgZkACD,其根據(jù)是.22 .如圖，在ABC 中,AB=AC,NA=36° ,BD 是ABC 的角平分線，則NABD二° 23 .如圖，A46c中，AB=AC

13、=10, BC=8, AD平分N歷1C交8C于點(diǎn)。，點(diǎn)“為力。的 中點(diǎn)，連接。£,則('£)£的周長(zhǎng)為.24 .如圖，已知ABC中，AB=AC, NBAC=90° ,直角NEPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,給出以下五個(gè)結(jié)論：AE二CF；NAPE=NCPF；EPF是等腰直角三角形；EF=AP；當(dāng)NEPF在AABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的序號(hào) 長(zhǎng).26 .等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為10cm, AB=4cm,則BC=cm.27 .如圖，己知NA0B=60° ,點(diǎn) P 在

14、0A 上，0P=8,點(diǎn) M、N 在邊 0B 上，PM=PN, 若 MN=2,則 0M 二.三、解答題28 .如圖，在AABC 中，ZACB=90° , AC=BC, BE_LCE 于 E, AD_LCE 于 D, AD=5cm,DE=3cm,你知道BE的長(zhǎng)嗎？試卷第11頁(yè)，總12頁(yè)E29.如圖，己知DEBC, CD是NACB的平分線，ZB=70° 和NBDC的度數(shù).C月,ZACB=50° ,求 NEDC530 .已知：如圖，AD=4, CD=3, ZADC=90° , AB=13 影部分的面積.31 .如圖：己知NAOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P, 邊的距

15、離相等./ 032 .如圖，在RtAABC中，Z4CB = 90°./A，ZACB=90° ,求圖形中陰C 一AB使PC=PD,且P到NAOB兩/二 BCB試卷第6頁(yè)，總12頁(yè)（1）按以下步驟作圖并保留作圖痕跡.以點(diǎn)A為圓心，以小于4C長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)石，交A3于點(diǎn)尸；分別以點(diǎn)石，尸為圓心，以大于,所長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在RtAABC的內(nèi)部相交 2于點(diǎn)用； 畫射線AM交BC于點(diǎn)、D .（2）求證：A0是44c的平分線.33-如圖，已知在AABC中，NONABO2NA, BD是AC邊上的高，求NDBC的度數(shù).試卷第11頁(yè)，總12頁(yè)34.已知在AABC中，ZA = 90&

16、#176; , ZB = 67.5° ,請(qǐng)畫出一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形（請(qǐng)你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來，只需畫圖,不必說明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）備用圖備用圖35 .如圖，在等腰AABC中，AB=AC,以B點(diǎn)為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC、AB于D、E兩點(diǎn)，并連接BD、DE.若NA=20° ,試求NBDE的度數(shù).試卷第13頁(yè)，總12頁(yè)36 .如圖是由邊長(zhǎng)都是1的小正方形組成的網(wǎng)格.請(qǐng)以圖中線段BC為邊，作PBC,（1）圖甲中的APBC是直角三角形，旦面積是AABC面積2倍；（2）圖乙中的4PBC是等腰非直角三角形.37 . （10分）己知，在三角形ABC,角ACB=90度，CD垂直AB于D,角A的平分 線交CD于F,交BC于F,過點(diǎn)E作EH垂直AB于H. （1）求證CE=CF=EH； （2）若H 為AB中點(diǎn)，NB是多少度？38 .如圖，在ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=6, ZiABD的周長(zhǎng)為24.求aABC的周長(zhǎng)ED39-如圖，在aABC 中，AC=BC, ZC=90° ， D 是 AB 的中點(diǎn)，DE±DF,點(diǎn) E, F 分 別在AC, BC上,求證：DE=DF.40