第6章(中科大-電磁場)

1、6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程6.2 電磁場的位函數(shù)表示電磁場的位函數(shù)表示6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解6.4 波印亭定理波印亭定理6.5 唯一性定理唯一性定理6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場與準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場與準(zhǔn)靜態(tài)近似6.6 廣義麥克斯韋方程組及對偶原理廣義麥克斯韋方程組及對偶原理本章目錄：本章目錄： 第六章第六章 時變電磁場時變電磁場0fBEtDHJtBD 時變場知識結(jié)構(gòu)框圖電磁感應(yīng)定律全電流定律Maxwell方程組分界面上銜接條件動態(tài)位A A ,達(dá)朗貝爾方程時諧電磁場坡印亭定理與坡印亭矢量電磁幅射( 應(yīng)用 )6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程一、麥克斯韋方程與邊界條件一、麥克斯韋方程與邊界

2、條件 英國科學(xué)家麥克斯韋將靜態(tài)場、恒定場、時變場的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場基本方程組高度概括。電磁場基本方程組是研究宏觀電磁場現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。他在1864年英國皇家學(xué)會宣讀的論文“電磁場的動力學(xué)理論”中，提出了電磁場的普遍方程，即現(xiàn)在的麥克斯韋方程，其主要貢獻(xiàn)在于總結(jié)了靜電學(xué)和靜磁學(xué)的物理規(guī)律以及電磁感應(yīng)定律，借用矢量分析這一數(shù)學(xué)工具表達(dá)為簡潔的數(shù)學(xué)方程，即電磁場的散度、旋度方程，引入了位移電流的概念，消除了方程中的矛盾，提出了這些方程普遍成立的假設(shè)，進(jìn)一步預(yù)言了電磁波的存在，1868年，麥克斯韋在他的論文“關(guān)于光的電磁波理論”中，提出光也是一種電磁波，只不過頻率較高而已，一切頻率的電磁波都

3、可以產(chǎn)生。 1888年德國物理學(xué)家赫茲用實驗驗證了電磁波的存在。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程0: fED環(huán)路定理靜電場高斯定理當(dāng)由靜電場變?yōu)闀r變場時，由電磁感應(yīng)定律BEt 高斯定律中電位移矢量已經(jīng)包含了極化電荷的效應(yīng)，所以它依然適用于時變場，唯一不同的是電位移矢量和自由電荷密度均為時變場量而已。fD變化的磁場會產(chǎn)生電場6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程: 0fHJB安培定理靜磁場高斯定理00ffHJJtt 對安培定律兩邊取散度（）由電荷守恒定律顯然當(dāng)為時變場時，上面兩式矛盾。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程120lSlSH dlJ dSiH dlJ dS矛盾想象一個電容器與時變電壓源相連上述

4、矛盾導(dǎo)致麥克斯韋斷言，電容器中必須有電流存在，由于電流不能由傳導(dǎo)產(chǎn)生，他將它稱為位移電流（Displacement current）6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程20/fffffDJtDDJJttDADmtHJt 高斯定理電荷守恒定律定義：為位移電流密度（）由于位移電流的存在使得不僅變化的磁場產(chǎn)生電場，變化的電場也可以產(chǎn)生磁場，即隨時間變化的電場和磁場可以作為對方的漩渦源，這樣即使在沒有電荷電流的區(qū)域，電磁場也可以再產(chǎn)生和傳播。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程( ),uu tEDEdd位移電流密度位移電流)dtdu(dtDJDCSDDidtduC)dtdu(dSdSJi解：忽略極板的邊緣效應(yīng)

5、和感應(yīng)電場 例 已知平板電容器的面積為 S , 相距為 d , 介質(zhì)的介電常數(shù) ，極板間電壓為 u(t)。試求位移電流 iD；傳導(dǎo)電流 iC與 iD 的關(guān)系是什么?電場6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程0fDHJtBEtBDB 由于磁力線永遠(yuǎn)是閉合的，所以靜磁場的高斯定理依然成立，只是磁感應(yīng)強(qiáng)度 為時變的而已全電流定律電。所以可以得到麥克斯韋方程組磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性：原理高斯定律6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程21212121 ()()0 ()0()sfsfnDDnEEnBBnHHJ邊界條件麥克斯韋第一、二方程是獨立方程，后面兩個方程可以從中推得。靜態(tài)場和恒定場是時變場的兩種特殊形式。6.1

6、麥克斯韋方程麥克斯韋方程四個方程所反映的物理意義全電流定律表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場；電磁感應(yīng)定律表明電荷和變化的磁場都能產(chǎn)生電場；磁通連續(xù)性原理表明磁場是無源場,磁力線總是閉合曲線；高斯定律表明電荷以發(fā)散的方式產(chǎn)生電場(變化的磁場以渦旋的形式產(chǎn)生電場)。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程23111EBJttErBrEBr通常稱 ， 為一次場源， 和為二次場源所以電流電荷分布在有限區(qū)域時：靜電場 只由自由電荷產(chǎn)生靜磁場 只由自由電流產(chǎn)生時諧場，由變化的電場和磁場產(chǎn)生（根源就是有二次場源）6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程0ffJJt從方程來看是需要聯(lián)立求解，從一次場源來看，電荷和電流分布

7、一般不能獨立給定，須滿足靜電靜磁問題例外，因為 不隨時間變化，所以不論其空間分布如何，不影響，也就是為什么可以對靜電靜磁問題分別獨立的進(jìn)行研究的原因。而一般的時變場，電和磁電荷守恒定律（）。電荷守恒定律可以由麥克斯韋除了電荷密度和電方程導(dǎo)出流密度相是不能互有制電磁場為統(tǒng)一約以外，還因為體變分開，。的化的電場產(chǎn)生磁場，變化的磁場產(chǎn)生電場。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程DEBHJEDEBHJEDEHBHEJEDEHBHEJE線性各向同性 線性各向異性 線性雙各向同性 線性雙各向異性 （求解電磁場，還須知其）本 構(gòu)關(guān)系 6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程21212121()()0()0()sfsfE

8、BDHEHDBnDDnEEnBBnHHJ物理上： 和 對稱， 和對稱數(shù)學(xué)上： 和對稱， 和 對稱只有電荷電流，場量的對稱性 場源的不對稱（一次）：交界處麥克斯韋方程形式上的對稱性沒有磁的邊界件荷磁流條：6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程二、二、時諧電磁場（即周期性電磁場）時諧電磁場（即周期性電磁場） 靜態(tài)平衡時間軸上場源的分布不變動態(tài)平衡周期性平衡：周期性變化特點：周期性電磁場的建立也是需要一定的時間，剛開始時并不是周期性的只有經(jīng)過一段時間后才達(dá)到平衡狀態(tài)。例如交流電路。后兩章以及以后的微波雖然電磁場隨時間變化，但經(jīng)過一個周期回到原來狀態(tài) 在每個周期技術(shù)、天線理論主要研究這種狀態(tài)。即相對周期而言

9、也是不變的，可以將恒定電流內(nèi)場觀察時，場的行為相同的許多規(guī)律搬過來。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程1、時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示Re()( )( )cos( )( )()(jwtAAejrmmmAAArwtrA rAAA rArr e一一對應(yīng)標(biāo)量場因此復(fù)數(shù) 完全可以代表時諧場量幅值代表時諧標(biāo)量場的振幅( )( )2( )sin( )( )Re( )Re( )( )cos( )(2( )sin( )jrmmj wtrjwtmmmwAAtrwtrjwAr ejwA r ewAr ewArwtrwArwtrjwA r 6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程0*00*cos()cos()11cos()cos()

10、11 cos(2)cos()221cos()21Re()1Re()22*mAmBTTmAmBTmmABABmmABAAwtBBwtABdtTAwtBwtdtTA BwtdtTA BBABBAA 其中 表示共軛6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程Re()( )Re( )cos( )cos( )( )( )( )( )cos( )( )cos( )cos( )jwtxxxyAA ejrxxyzxmxmxxymyzmzxxmAyymyAA xA yA zArwtrxAArwtrA rAr eAArwArwtryArwtrztr一一對應(yīng)一一對應(yīng)矢量場的復(fù)數(shù)表示由)( )Re()( )Re()( )()(

11、)cos( )( )( )jwtyyjwtzzzjwtA ejryymAA ejrzzAmzzmAxzzeyA rAr eAArwtrA rAr eAAA xA yA z一一對應(yīng)一一對應(yīng)6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程222222xyzxyzAAAAAAAA說明：，或者說即使定義了也沒有物理意義，因為一般情況下矢量場的，矢量場的振幅大小矢量場所對應(yīng)的復(fù)矢量場通（或者說模各個分量的相角不一定相）。因此沒有任何意義，既不能同不是一表示矢量常情況下場的大小個常，更沒有模不能念數(shù)的概代表模。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程222cos()xyjmmmxmymzmxmyzzmmmAA eAAA xA y

12、A zAAAAwtAA只有當(dāng)三個分量的相位相同時，其中為實矢量此代表時故可定矢量即義時場的振幅*1Re211ReRe22A BA BA BA BAB復(fù)矢量的點乘和叉乘與實矢量的點乘叉乘形式上相同，但沒有幾何意義。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程2、時諧場的麥克斯韋方程組0ffHJjwDEjwBBDjwt 此時我們可以把實矢量換成復(fù)矢量，把6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程w由于二散度方程不獨立，可由二旋度方程得到，所以相應(yīng)地，交界處僅需考慮兩個切向說明：（旋度方程滿足后，自動滿足散度方程，若 =0，則為靜電靜磁場，相條件即可?；オ毩ⅲ?0()0(0)(),ffffwEjEjwBBHJjwDwBJ

13、Djw 由6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程000000000fffffJEEDEJwEjwBBHJjDBwDJHDE 理想導(dǎo)體的內(nèi)部由有限若，則0=即理想導(dǎo)體電流只分布在邊界條件于外表面222200sfsfn DnEn BnHJ邊界條件6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程00ffffffffBHJDwDEBHJwDEBHJEBHJDEB與恒定電流場中的理想導(dǎo)體的區(qū)別，那里， ，不為零，即電學(xué)量（ ， ，）為零，磁學(xué)量（ ， ，）不為零。自然！在時諧場中，電和磁不能分開，變化的電場產(chǎn)生磁場，變化的磁場產(chǎn)生電場，不可能電學(xué)若，則 ， ， ， ，均為零若 ，則 ， ，均為零， ， ，不量（ ，）為零，磁

14、為說：學(xué)量（明零fHJ， ，）不為零。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程()0)000ffffffffJjwjwJED 此即為平衡由（0前面提到，時諧場是一種周期性平衡狀態(tài)，建立這種平衡狀態(tài)需要一定的時間，可以根據(jù)平衡狀態(tài)這一點計算導(dǎo)電介質(zhì)中建立平衡狀態(tài)所需時間的數(shù)量級即馳豫時間，推線性均勻各向?qū)Х椒敖Y(jié)果同性導(dǎo)電和前面恒介質(zhì)（0）定電流場標(biāo)部志內(nèi)中的推導(dǎo)及結(jié)果完全相同。即6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程0)ffffJjwwJ 因為必須服從電荷守恒定律只要分布確定，則已，經(jīng)電荷分布完完全確定，全由電流不存在任分布何決定（。自由度。6.2 電磁場的位函數(shù)表示電磁場的位函數(shù)表示一、一、矢量位矢量位

15、和標(biāo)量位和標(biāo)量位 Apotential of Kinetic St000ateBAAEBBAEEAEtttAEtttAA 仍從電磁場的基本方程出發(fā)：因為 不唯一，所以導(dǎo)致 也不唯一注：當(dāng)，退化為靜磁場的矢量位和靜電場的電位，在靜電場中的電位有物理意、 稱為動態(tài)位義，但（）在時變場中沒有，為數(shù)學(xué)量。6.2 電磁場的位函數(shù)表示電磁場的位函數(shù)表示()()()()()AAEttAEAAtttAAtBAt 證：令，其中 為任意標(biāo)量函數(shù)，則即所以6.2 電磁場的位函數(shù)表示電磁場的位函數(shù)表示)()AEBAA這樣一個變換( 、，使得所表示的電磁場量不變，這樣的位函數(shù)變換即為在適當(dāng)?shù)淖儞Q下，矢量位和標(biāo)量位所描述

16、的電磁場保持不變的性質(zhì)用了位函數(shù)后，求解規(guī)范變換。規(guī)的場（ 、 ）分量由原來的6個變成范不變性（了 個、4）6.2 電磁場的位函數(shù)表示電磁場的位函數(shù)表示二、二、 滿足的方程滿足的方程 20()fffDEBHADtAt 設(shè)介質(zhì)為線性均勻各向無損同性介質(zhì)，即A、6.2 電磁場的位函數(shù)表示電磁場的位函數(shù)表示2222()()()ffDBJtBAAAAJAAEtttAtt 又有AA利用位函數(shù)有自上面兩式即可求出 、 ，由度（可表示為相差一但其兩式中均含有 、 ，不好求解，我們個函數(shù)，不唯一）加限制條件可以從而簡化。6.2 電磁場的位函數(shù)表示電磁場的位函數(shù)表示22221()(1)()ffffffDAHJA

17、JttAAJAttADttAt 由洛倫茲規(guī)范（條件）6.2 電磁場的位函數(shù)表示電磁場的位函數(shù)表示222222(0ffAtAAJtt （所以規(guī)矢量定洛倫茲規(guī)范)稱為達(dá)朗貝爾方程或）（標(biāo)量）波動方程1000jwtAjwwAAjwwA 對時諧場，只要把，所有推導(dǎo)公式均成立特別有，若，即只要求出 即可可由洛倫茲規(guī)范求得的時諧場為靜電靜磁場， 、 必須各自單獨求解6.2 電磁場的位函數(shù)表示電磁場的位函數(shù)表示222222()()()AAAAtttAttAAtt 對確定的電磁場選擇一組 、 ，使其滿足洛倫茲條件是完全可能的。若不滿足，則通過適當(dāng)?shù)囊?guī)范變換使之滿足。若 、 不滿足洛倫茲條件，則為使 、滿足洛倫

18、茲條件，則應(yīng)滿足：因此只要選擇使它滿足上式證說明：，則可使AA即使 、 滿足洛倫茲規(guī)范，也可以通過上式得到新的一組位函數(shù)使其滿足洛倫茲規(guī)范，因此即使在洛、滿足洛倫茲規(guī)范，同時可倫茲規(guī)范下位函數(shù)仍是不以看出：唯一的。6.2 電磁場的位函數(shù)表示電磁場的位函數(shù)表示2fAJ 2) 若場不隨時間變化，波動方程蛻變?yōu)椴此煞匠搪鍋銎潡l件是電流連續(xù)性原理的體現(xiàn)。1） 洛侖茲條件的重要意義/f 2簡化了動態(tài)位與場源之間的關(guān)系，使得 單獨由 決定， 單獨由 決定，給解題帶來了方便；AfJf6.2 電磁場的位函數(shù)表示電磁場的位函數(shù)表示2222(2)0ffAAJtAAtA 庫侖規(guī)范在庫侖規(guī)范下， 的公式最簡單， 、

19、確定，即不同的 、 之間最多相差一個任意常矢量或常數(shù)。若不隨時間變化，則退化為靜電靜磁場方程。6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解222222220000111ffACAJCtCt 令真空中的光速，代表電磁波在無限大空間沒有介質(zhì)時的傳播求解區(qū)域：無限大空間介質(zhì)：真空、源區(qū)分布：電荷電流速度。則達(dá)朗貝分布（矢量）（標(biāo)量）爾方在程有限空間可以寫為：6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解一、一、標(biāo)量格林函數(shù)標(biāo)量格林函數(shù) 22220( , ,1()( )1()GGrrtGtrGG r rGq tttttC 注意： 與靜電場中的格林函數(shù)稍有差別，即不能取為，否意義：代表了 時刻位于 處單位點電荷單

20、位時間內(nèi)產(chǎn)生的標(biāo)量位即則帶電量不隨時間變化，最終結(jié)果也不隨定義：無限遠(yuǎn)處無場變源時間化。6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解00()() (0)0ffrrtt dVdtqdVqGrrrtrrtttG，但不完全相同。，求出的為，若求 則需在時間上積分。由于整個問題以 為中心球?qū)ΨQ，因此只須求時的格林函數(shù)即可， 為任意位和電位 對應(yīng)，單位時間置時，作個即可。同樣只須求時單內(nèi)的與平行位點電荷的場， 不為零時，變換時間軸上標(biāo)量位對應(yīng)在作平移即可6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解00,000220202001( ,0, ,0)( ,0, ,0)( ,0, ,0)( , )1( ,1( )()0

21、,rtGGG rtG rtG rtr tGrr tGGGrtCrrtGr tr 球?qū)ΨQ性由于處為奇、求由定義知：由于，所以可設(shè)另外，所以令（原因點無限遠(yuǎn)處無場源是當(dāng)電荷分布不隨時間變化，退化成靜電場格林函數(shù)，應(yīng)有，這樣令后，沒有奇點，否則無法和靜電場)吻合6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解22033331( , )1()()r trGrrrrrrrrrr 由于沒有奇點，所以可將算子用微分算子表示：222222222220212()2214( )14)( )(rrrrr rrrrrrrrrrrrrrrGrrr 6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解22002222222( , )()(1

22、( ) ( )10( )0,0),( )0Grrr tg th tCA rGrtCtrCtg hCtt 將上式帶入其通解為其中為時任意函數(shù)6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解通解的物理意義：()rg tC的物理意義()()r C trg ttg tCC 有tttrrC t 當(dāng)時間從信號從6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解()0gtrCrtrCrrg tC在時間內(nèi)經(jīng)過距離后不變，說明它是以有限速度向 方向傳播稱之為入射波。或者說： 時刻觀察點的場取決于場源所在位置前一時刻的狀態(tài)，它代表的是，而正好為電磁波從的原點傳播到觀察點所需的時間，也就是觀察點感受到場源（點電荷）產(chǎn)生的場的作用推遲

23、的時間，物推遲理上的物理合理意位義是，保留！6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解()rh tC的物理意義()()rC trh tth tCC 有()(hrh ttrCrCrtCtht在時間內(nèi)經(jīng)過距離后不變，說明它是以有限速度 向(-方向傳播稱之為反射波，無限大空間無反射，舍去?；蛘哒f： 時刻觀察點的的物理意義是場取決于場源實所在位置時刻以后際上表示由無限遠(yuǎn)超前位因處向內(nèi)傳果關(guān)系顛倒，舍去的狀態(tài)，它代表的是，因此，這里舍去，在其它問題中可波！播的能保留。tttrrC t 當(dāng)時間從信號從6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解( , )()rr tg tC所以2222200,00,0()()1

24、1 14( ) ()( ) ( )004( )0( )1( )(0,011()()4)( )4Brtrtrtrrg tg trCCrrGg ttrCrCr g trtCrrC rrrg ttg tt 上述解僅對成立，代回原方程使得在時也成立對上式兩邊包含點的球體積積分，且球半徑趨于包含時6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解01( , , )(20),40RG r r t tttRCrrtrGrRt 其代表了 時刻位于 處單位點電荷單位時間內(nèi)產(chǎn)生的、時中標(biāo)量位。6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解二、二、達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解 0001( , )()41( , )()41( ,

25、)4VVRdr t dVttRCRdtr t dVttRr tdVRCRC6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解000( ,)41(xyVzRJ r tCAA xAVyJzAdRA對于，可對每個分量作如上計算，然后疊加。得： 或者作替換，即可)RttC 場與時間有關(guān)，觀察點場在某一時刻的狀態(tài)與前面源區(qū)某一時刻的狀態(tài)有關(guān)（滯后效應(yīng)）。其中不是常數(shù)，對于不同的源，對應(yīng)不同的前一時刻。6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解00()Retarded Potenti*al1(/ )*tRtACCm s 達(dá)朗貝爾方程解的形式表明： 時刻的響應(yīng)取決于時刻激勵源 的情況，故又稱 ， 為滯后位（ ）電磁波是

26、以有限的速度傳播的，這個速度稱為波速電磁波在真空中的波速與光速相同，光也是一種電磁波。6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解001(/ )(*)()Cm srg trg tdrCtCrtconstCrC tconCrCstdt 為何將達(dá)朗貝爾方程中的定義為速度？它具有速度的量綱，且通解中的經(jīng)過后保持不變，必然有 自變量不表明：是一個以速度 沿著 方向變，即前進(jìn)的波。6.4 波印亭定理波印亭定理電磁場作為一種物質(zhì)形式是具有能量的。電磁能量符合自然界物質(zhì)運動過程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律坡印亭定理；坡印亭矢量是描述電磁場能量流動的物理量。( )( )Dr EBr H介質(zhì)：線性、各向同性6.4 波印亭定

27、理波印亭定理DEHE JEtBHEHDHJtBEtEHDBEHHEJ EEHttt 由麥克斯韋方程出發(fā)：-一、一、波印亭定理波印亭定理 6.4 波印亭定理波印亭定理()1()21()21()21()2EHHEHEEEE EttHHH HttDEE DttBHB Htt 11()()2211()(1)22SVVEHJ EE DS dSJ EdVE DSEB H dVtHB Ht 波印亭定理的微分形式波印亭定令理的積分形式6.4 波印亭定理波印亭定理12ePJ EVwE D 令：為功率密度，根據(jù)焦耳定律，代表（或電流）所作的功（磁場不作功）。（體積分則表示電場對體積 內(nèi)運動電荷單位時間所作的功）：

28、（當(dāng)場為靜電場時，為靜電場能量密度，即單位體積內(nèi) 存儲在靜電場中的能量）這里 代表。即代表時變電場的能 量密度，即電電場單位時間內(nèi)對單位體積內(nèi)的運動電荷瞬時的能量密磁場隨時間變化時，單位體積內(nèi) 度 存儲ew的電場能量仍為。6.4 波印亭定理波印亭定理12mmemwB HwwwwV：（當(dāng)場為靜磁場時，為靜磁場能量密度， 即單位體積內(nèi)存儲在靜磁場中的能量） 這里代表。即代表時變 瞬時的能量密度磁場的能量密度，即電磁場隨時間變化時， 單位體積內(nèi)存儲的磁場能量仍為。這樣為電磁場總的能量密度，代表單位體積內(nèi)存儲的電磁場的總能量。（體積分表示 內(nèi)存儲的電磁場的總能量）6.4 波印亭定理波印亭定理211/V

29、VVVVSEHW m既對運動電荷作了功，又增加了自己的現(xiàn)考慮： 內(nèi)沒有外力，即沒有非電磁場力（沒有電源等），根據(jù)能量守恒，能量既不能產(chǎn)生，也不能消失，只能轉(zhuǎn)換：（）式右邊表明電磁場這部分能量從何而來？只能由 外的電磁場傳遞到體積 內(nèi)，因此（）式左邊為能流密度矢量或應(yīng)代表 外傳遞到波印亭矢量（內(nèi)的能量。稱：能量）emSVVS dSJ EdVwdVwwwt 反映存儲能量反映交換能量6.4 波印亭定理波印亭定理SdSEHSS方向：代表電磁場能量的傳輸方向大?。捍韮?nèi)流過垂至于 傳輸方向的能量， （或者說流過垂至于傳輸方向 單位面積的功率）（1單位時間單）式稱為表波印亭定理（1示流出能量，加）負(fù)位面積

30、式中 號表示流入6.4 波印亭定理波印亭定理( )2IVab 例：同軸線中內(nèi)外導(dǎo)體流有相反方向的恒定電流 ，內(nèi)外導(dǎo)體的電位差為，內(nèi)導(dǎo)體半徑為 ，外導(dǎo)體半徑為 ，求同軸線的傳輸功率。（1）（ ）22212212lr IIrraarHaHIarbrdlI 解：（）由安培環(huán)路定理22ln2l0nlnrfrfSbfrfaEE rQED dSQrQbVraE drVQbaVErarbbraa由高斯定理6.4 波印亭定理波印亭定理6.4 波印亭定理波印亭定理2202l22lnnbSaraIVzSEHIVPS dSrdrIVbrabbrara所以傳輸功率討論：沿同軸線傳輸?shù)墓β实扔陔妷汉碗娏鞯某朔e，與電路理

31、論的結(jié)果一致，當(dāng)導(dǎo)體為理想導(dǎo)體時，能流密度只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間電源提供的能量全部被負(fù)載電阻吸收。功率的傳輸全部是在內(nèi)外導(dǎo)體之間進(jìn)行的，導(dǎo)體的作用只是起了，而不是象電路理論所得到的印象那引導(dǎo)電磁場能量定向流動的作用，樣（能量是在導(dǎo)體中傳輸?shù)模?10/10/5電子定向漂移速度約米 秒，金屬中電子平均熱運動速度約米 秒6.4 波印亭定理波印亭定理2221lnln2lnllIzraaRrEaIVR zIbrzarbbaraaHIb （ ）同上，表達(dá)式不變，只是 變其中為內(nèi)導(dǎo)體小單位長度電阻20(*),0zzzr ar bEIEEa2滿足的方程和邊界條件為(*)6.4 波印亭定理波印亭定理242222

32、()2ln()2ln2ln(llzSIrrraarIVR zI IbzrarbSSEHPS dbararabVR zzSI Ir所以 有兩個分量傳輸能量）和6.4 波印亭定理波印亭定理6.4 波印亭定理波印亭定理22222rllrlPIaI RI RIraRP導(dǎo)體表面時，結(jié)果一致討論：為單位長度內(nèi)導(dǎo)體的熱損耗功率，由恒定電流產(chǎn)生的電場可知，電既代表電場對運動電荷所作的功，也代表熱能，這意味場對運動電荷所作的功全部著傳輸?shù)綄?dǎo)體中的能量全部轉(zhuǎn)化為被熱熱能，故損耗掉。2224ln(lnlrrbR IarbaPbI rraa單位長度的補(bǔ)充能量）=6.4 波印亭定理波印亭定理二、時諧場的二、時諧場的波印

33、亭定理波印亭定理 *1Re221SSEHEHEHS前面討論的一般形式的波印亭定理對時諧場也成立，但對時諧場我們一般關(guān)心的是能量或功率的，而不是。由復(fù)數(shù)形式可知：所以定義：為復(fù)波印亭矢量（其實部為能 流密度矢量瞬時值一個周期內(nèi)的均在平值平均值）6.4 波印亭定理波印亭定理2*2*222222111Re244111Re24444exymzE DE DDB HB HEEBwEwHEE同樣定義：為電場能量密度在一個周（注意：=其中期內(nèi)的平均值 ， 為磁場能 但不量密度在代表電場強(qiáng)一個周期內(nèi)度的振幅）的平均值6.4 波印亭定理波印亭定理*122()1Re2mePE JJEPPSPjw wEJ EJw 為

34、電場對運動電荷所作的功的平均功率密度定義： 為（電場做功的）復(fù)功率密度，其實部代表電場 對運動（說明：若所有電流為傳導(dǎo)電流， 則 為實數(shù)，否則電荷所作功的平均功率密度 可以推出不一定-）：復(fù)波印亭2()meSVVS dSPdVjwww dV定理微分形式復(fù)波印亭定理積分形式6.4 波印亭定理波印亭定理21ReRe2Im2()SVVmeSVS dSPdVE dS dSwww dVVJEV若設(shè)（電流為傳導(dǎo)電流），則可把上式分成兩部分實部表明：電磁場傳輸?shù)襟w積 內(nèi)的能量全部用來對運動電荷做功，因為時諧場每個周期內(nèi)行為相同，電場和磁場能量每個周期平均值相同，因此一周期的總能量的吞吐量為零，收支平衡。虛部

35、表明：虛部反映了電磁場存儲的能量6.4 波印亭定理波印亭定理SVSVw，反映了電磁場能量流入體積 內(nèi)對運動電荷所做的功，最后都變的面積分實部稱為有功功率的面積分虛部稱為無功成了熱能。，其大小為 內(nèi)磁場能量與電場能量率之差的2功倍此項可用于求解電磁場問題的等效電路參數(shù)*2221Re1()SVREEHddIIVS*2211()()mmeSVXIEHdSdVIIwww6.4 波印亭定理波印亭定理w平均存儲能量不變運動電荷從電場所獲得的能量必須全部轉(zhuǎn)總結(jié)：每個周期的電磁場的每個周期平均效果來看，（對每個瞬時則不一定換成熱能須有非時諧形式的能量）維持時諧場（頻率為 )，（如直流補(bǔ)充或其它形式）6.5 唯

36、一性定理唯一性定理V本節(jié)研究當(dāng)求解某一區(qū)域 內(nèi)的電磁場時的唯一性定理，即需要給定什么樣的條件解才是唯一的。( )( )( )Dr EBr HJr E傳介質(zhì)：線性、各向同性6.5 唯一性定理唯一性定理00000( )()( )ttrrrJtnHttSSVnEHVttEEnnH運任意時刻（邊界） 上的（電場強(qiáng)度的切向分量、或某上部分（部 分（若給定 內(nèi)電磁場在（和）、或者或者則麥克斯韋方程組在一時刻 的初值（磁場強(qiáng)度的區(qū)域 內(nèi)任意切向分量時）（）（、刻解唯一一、一般時變場的唯一性定理一、一般時變場的唯一性定理 6.5 唯一性定理唯一性定理0011221212000,0ttEHEHEEEHHHEHS

37、nEnHEH證明：設(shè)有兩組不同的解：（ ，）和（，）令，則（ ，）滿足齊次邊界條件和齊次初時條件，或即：上：反證法6.5 唯一性定理唯一性定理0022222211()22(0011()22SVVttttVVtEdVEHdVEHndSEtEHnnEHnHEtdtEdV dHdtV由波印亭定理，由邊界條 件可知其積分為零）方程兩邊對時間 進(jìn)行積分，即由于上式右邊兩項恒大于等0,0EH于零即解唯一，得證6.5 唯一性定理唯一性定理二、時諧場（二、時諧場（0 0）的唯一性定理）的唯一性定理 ( )0;)Jr ESVnEnH， ，上的（設(shè)電流為傳導(dǎo)電流（時諧場往往不給定初始條件）若給定：則麥克斯韋方程組

38、在區(qū)域或（內(nèi)解唯一11221212EHEHEEEHHH同樣設(shè)有兩組不同的解（ ，）和（令：，證），明6.5 唯一性定理唯一性定理020*221122112(00040)04SVVwEHSEHndSEdVjwHEdVnEnHEH則（ ，）滿足齊次邊界條件，或?qū)嵅繛榱?，虛即：上：由?fù)波印亭定理上式右邊實部和虛部均為零，即解唯部為零一，得證6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場和準(zhǔn)靜態(tài)近似一、時諧場的一、時諧場的 表達(dá)式表達(dá)式 A、0()00( , )( )( )cos( )( )cos( )1( ,)14,)44jrmjkjkRVjkmmVRVRr tr eRr teCedVRJeAdVRrwtrr

39、wtkRrwkCRr tdVRC其中同理6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場和準(zhǔn)靜態(tài)近似00144jkRjkRVjkRVeeJedVVJAdRR與靜電靜磁場的位函數(shù)相比，存在以下一些不同之處：其原因：（1）場源分布的初始值 不一樣 （2）從場源多了一個相位因子， 的到觀察點的延時不一樣初始值的相位與空間坐標(biāo)有關(guān)6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場和準(zhǔn)靜態(tài)近似二、準(zhǔn)靜態(tài)近似二、準(zhǔn)靜態(tài)近似 12222jkRwfRRReCfklkRR如果我們研究的問題范圍是，即電尺寸遠(yuǎn)小于則:，則可忽略相位因子在介質(zhì)均勻處電磁波空間相位的變化由二個原因：（1）電磁波本身傳播引起的（ ）由于物理特性即材料特性改變引起

40、忽略初始相位隨空間坐的標(biāo)的變化6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場和準(zhǔn)靜態(tài)近似0050,600010,30100,434JjmVjmVfHzkmfMHzmfMedVReJAdVRHzm準(zhǔn)靜態(tài)近似忽略了電磁場的波動效應(yīng)、電磁作用傳遞所需的時間、以及引起的空間相位的變化。但同理這樣，我們可以用靜電靜磁的方法處理并不忽略介質(zhì)變化引起的相位變化注意：6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場和準(zhǔn)靜態(tài)近似00000ffDffSDJDJJtJJJJJtJ dS 基爾霍夫電流定律仍然成立，但必須加上位移電流其中1wfDJEjw EjwEEJJjw EJ不太大時導(dǎo)線內(nèi)部電容內(nèi)部6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場和

41、準(zhǔn)靜態(tài)近似1sRSLLClB dStdiRiLidtdtcuudluuuE 基爾霍夫電壓定律電感兩端的電動勢即基爾霍夫電壓定律仍成立，只要考慮電感的感生電動勢，將電感作為外電壓處理即可。6.7 廣義麥克斯韋方程組及對偶原理廣義麥克斯韋方程組及對偶原理一、廣義麥克斯韋方程組與磁荷磁流的概念一、廣義麥克斯韋方程組與磁荷磁流的概念 ( )( )mmDr EBrJH介質(zhì)是線性各向同性 由于麥克斯韋方程組的一次場源是不對稱的，研究的對只有電荷電流； 如果在麥?zhǔn)戏匠探M中加入兩個場源函數(shù)，則麥?zhǔn)戏匠淘跀?shù)學(xué)上更加對稱，即場源也是象：和對稱的。6.7 廣義麥克斯韋方程組及對偶原理廣義麥克斯韋方程組及對偶原理mm

42、BEJtDHJtBDDEBH 21212121 ()() ()()smsmssnDDnEEJnBBnHHJ 邊界條件廣義麥克斯韋方程組6.7 廣義麥克斯韋方程組及對偶原理廣義麥克斯韋方程組及對偶原理0()0mmmmmmmBJEEJBJtJtt 其中：磁荷密度磁感應(yīng)強(qiáng)度 的通量源 ：磁流密磁荷守度電場恒定律強(qiáng)度（或的 漩渦源運動的磁荷磁流連續(xù)性方程）6.7 廣義麥克斯韋方程組及對偶原理廣義麥克斯韋方程組及對偶原理ABEHHM 討論：（ ）麥克斯韋方程組作為宏觀電磁場方程組（加上本構(gòu)關(guān)系）是一個完整的方程組，它包含了有關(guān)宏觀電磁場的所有信息。原則上不需要任何其它的東西。根據(jù)麥?zhǔn)戏匠蹋徽撌窃跀?shù)學(xué)上

43、還是物理上都是沒有對應(yīng)的通量源（即磁荷），同樣也沒有磁流這樣的漩渦源，它只有變化的磁感應(yīng)強(qiáng)度這個漩渦源。這與靜磁場中 的磁荷概念不同，在那里雖然沒有磁荷這種物理實在，但在數(shù)學(xué)上對永磁體問題有通量源，因此從數(shù)學(xué)等效的角度，可以認(rèn)為有磁荷存在。6.7 廣義麥克斯韋方程組及對偶原理廣義麥克斯韋方程組及對偶原理BDirac（ ）磁荷這種物理存在到底有沒有？預(yù)言了磁荷的存在，目前仍有科學(xué)家在尋找磁荷，但至今沒有找到。可以說即使將來發(fā)現(xiàn)有也不等于今天我們的所作的研究是無用的，因為現(xiàn)有的宏觀電磁場理論即麥?zhǔn)戏匠探M與實總之，在目前驗吻合，這說的電磁場理論明即使微觀結(jié)構(gòu)有磁荷存在中我們認(rèn)為是沒有磁荷磁流，它的宏

44、觀平均效果不明顯，否則麥?zhǔn)戏匠探M不可能與的，麥?zhǔn)戏匠探M加上本構(gòu)關(guān)系來描述宏觀電磁場現(xiàn)象是實驗吻合。充分地，為何引入磁荷磁流及廣義麥克斯韋方程組？磁荷磁流的概念及廣義包含了所有的信息麥克斯韋方程組與，原則上等效原理不需要加別的東西（思想）。密切相關(guān)6.7 廣義麥克斯韋方程組及對偶原理廣義麥克斯韋方程組及對偶原理VVVSVVS在時變電磁場中如果我們求解的是區(qū)域 內(nèi)的電磁場，也就是說我們只對內(nèi)的電磁場感興趣，這時內(nèi)的電磁場滿足麥?zhǔn)戏匠探M，邊界上滿足一定的邊界條件（例如給定電場或磁場強(qiáng)度的切向分量），同時在 內(nèi)滿足一定的初時條件。求解內(nèi)的電磁場問題，我們往往根據(jù)需要象靜電場中的鏡像法一樣，對原來的問題

45、進(jìn)行一下變化即將原來的問題等效為處理起來方便的一些問題，此時上的邊界條件代表了區(qū)域外包括邊界上的貢獻(xiàn)， 這樣我們可以V在區(qū)域外包括邊界上選擇一種簡單的分布，只要在內(nèi)滿足麥?zhǔn)戏匠?，滿足初始條件，邊界上滿足邊界條件即可， 在區(qū)域外包括邊界上是什么樣的分布是無關(guān)緊要的，可以有無數(shù)種分布達(dá)到同樣的等效。6.7 廣義麥克斯韋方程組及對偶原理廣義麥克斯韋方程組及對偶原理VVV在考慮區(qū)域外包括邊界上的分布時，思路可以開闊一些，我們不僅可以考慮物理上可以實現(xiàn)的分布，也可以考慮物理上不能實現(xiàn)的分布，這就包括磁荷磁流的分布，也就是滿足廣義麥?zhǔn)戏匠探M的分布，研究廣義麥?zhǔn)戏匠探M的意義就在于此。；外（包括邊界上）由于不

46、是注意：當(dāng)我們求解 內(nèi)的電磁場時，我們要求的，因此可以滿足麥?zhǔn)戏絻?nèi)的電磁場必須滿足麥?zhǔn)铣探M，也可以不滿足麥?zhǔn)戏匠探M，否則就不是物理問方程組 ，而讓它滿足題了磁荷磁流V的廣義麥?zhǔn)戏匠探M，好處是：有時外（包括邊界上）用包含磁荷磁流這樣一種在物理上不能實現(xiàn)的分布來等效， 在數(shù)學(xué)上處理比較總之等效的目的是為了簡單。簡化問題。6.7 廣義麥克斯韋方程組及對偶原理廣義麥克斯韋方程組及對偶原理1212121212121122112200mmBBEEJttDDHJHttBBDDDEDEBHBH 廣義麥?zhǔn)戏匠探M可根據(jù)疊加原理分解為： 麥?zhǔn)戏匠探M磁流麥?zhǔn)戏匠探M6.7 廣義麥克斯韋方程組及對偶原理廣義麥克斯韋方程組及對偶原理12121212EEE