高等數(shù)學(xué)模擬試題1

1、謝謝你的觀賞高等數(shù)學(xué)模擬試題1一、填空題1.函數(shù)y = ln(3 年的定義域?yàn)?|x|-12. lim 口x x-X謝謝你的觀賞3.曲線y =(x +4)3 3-x在點(diǎn)(2, 6)處的切線方程為二、選擇題1.設(shè) f(x)在點(diǎn) X0 處可導(dǎo)，且 f xo) =2，貝咽 f(X0f(Xo)=()1 -1(A).(B).2(C).(D). -22 22.1. xt 0時(shí)，x2與sinx比較是().(A).較高階的無窮小(B).較低階的無窮小(C).同階但不等價(jià)的無窮小(D).等價(jià)的無窮小(D).(-2,0)3 .設(shè)曲線y=x2 +x-2在點(diǎn)M處的切線斜率為 3,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()(A).(1,0)(

2、B).(-1,0)(C).(2,4)(C). y =cos(arcsin x C)(D).arcsin x C三、計(jì)算題x - arctan x1 .計(jì)算 limx。ln(1 x3)2.設(shè) z = uv +sint,u = evdz=cost,求全導(dǎo)數(shù) .dt3 .求微分方程xy ' + y = xcosx的通解.oO4 .求哥級數(shù)£(-1尸xn的收斂域.n工答案一、填空題：1 .分析 初等函數(shù)的定義域，就是使函數(shù)表達(dá)式有意義的那些點(diǎn)的全體解由,3-X >0知，定義域?yàn)?1<X <城X < -1). |x| -1 >02 .分析 屬10c型，套用

3、第二個(gè)重要極限.& +1 丫 r 1、x()解 lim =lim 1+- i=e+x Jx J13.斛 y=(3-x+(x+4)，,y xw = 7，33. (3-x)2所求切線方程為：y6=(x2)，即y = x+8.二、選擇題.選(B).f (X0 -h) - f(x0)f (X0 -h) - f (X0)1. 斛 lim = lim (-1) = - f (x0) = 2h Qhh 0-h2.分析先求兩個(gè)無窮小之比的極限，再做出正確選項(xiàng).2 XX斛 因 lim = lim x = 0,故選(A).x 10 sin xx0 sin x3.解 由 y'=2x+1 =3知 x=

4、1,又 yx3=0,故選(A).三、計(jì)算題x - arctan x1.分析 屬0型未定式，利用等價(jià)無窮小代換，洛必達(dá)法則等求之. 0x - arctan x解 lim 3x 0 ln(1 x3)lim -7丁 二 lim丁 二-x 0 3x2(1 x2) x 0 3(1 x2) 3即 dz三z du三z dv；z2 .解=十，十 dt：:u dt；:v dtft=vet u(-sin t) cost = e,(cost-sin t) cost.3 .分析 屬一階線性微分方程，先化成標(biāo)準(zhǔn)形，再套用通解公式.11斛 原方程化為：y +-y=cosx, p(x) = , q(x) = cosx xx

5、p(x)dx q(x)edx C-dx-=e x cos xe xdx|dx +C=1 - xcosxdx C L 1 xd sin x C 1 ksin x cosx C4 .分析 先求收斂半徑，收斂區(qū)間，再討論端點(diǎn)處的斂散性，從而確定收斂區(qū)域.解收斂半徑：R =liman=limn 二2(n 1)2=1,收斂區(qū)間為(-1,1)6在x = 1處，級數(shù)£n 1=-Z 1收斂；在x =1處，級數(shù)£ nW nn 1可收斂，所 n以收斂域?yàn)?-1,1.高數(shù)模擬試卷2一.選擇題：本大題共5個(gè)小題，每小題 4分，共20分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)

6、前的字母填在題后的括號內(nèi)。f(x)0x < 0在點(diǎn)x = 0不連續(xù)是因?yàn)?x 0A. f(0 0); f(0B. f (0 -0) = f (0C. f (0 0) 不存在D. f (0 -0)不存在答案：C1 -f (0 +0) = hm,不存在。x。*a2.設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，且f (x)dx = 0,則下列命題正確的是( - -aA. f(x)為a, a上的奇函數(shù)B. f(x)為a, a上的偶函數(shù)C. f (x)可能為-a, a上的非奇非偶函數(shù)D. f (x)必定為-a, a上的非奇非偶函數(shù)*3. 設(shè)有單位向量a0,它同時(shí)與b = 3i + j +4k及c = i + k都垂直

7、，則2°為(A.1 .1313B. i j -kC.解析：a = b Mc = 31j k1 4 =i +j -k0 10 a 1 .1 .1 .a =a=7jnk'應(yīng)選Co4.哥級數(shù)小nd n 1xn的收斂區(qū)間是(A.-1, 1B. (-1,1) C.一1,1)D. (-1, 1*5.按照微分方程通解的定義,y" = sinx的通解是()A.-sin xc1xc2B. -sin x c1c2C.sinx c1x c2D. sinx g c2謝謝你的觀賞（其中c1、c2是任意常數(shù)）解析： y' = cosx+ g , y = -sinx +c1x + c2,

8、故選 A。填空題：本大題共10個(gè)小題，10個(gè)空，每空4分，共40分，把答案填在題中橫線上。6.x2.e -1設(shè) f (x)=二 2xx。0為連續(xù)函數(shù)，則a =x = 0謝謝你的觀賞*7. 函數(shù)y =2x3 +3x2 12x+1的單調(diào)遞減區(qū)間是 解析：y' = 6x2 6x -12 =6 x2 x -2 =6 x-1 x 2當(dāng)2<x<1時(shí)，y'<0,故y單調(diào)遞減，故單調(diào)區(qū)間是(-2,1) sin x8.設(shè)s一是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，則fxf'(x)dx=。xx2x2*9. 設(shè) f ft( )dt =(1 十 x Jarctan x + e ，則 f (

9、x) =°1122f (xX = 2 arctan x 1 x 2 - 2xe = 2xarctan x - 2xe 11 xx - 4xdx5=兀，其中k為常數(shù)，則解析:(jidx=kx2 4x 52 4x 5=kblimarctan(x 2)0kG-arctan2尸 k 二ji- -arctan2<211.設(shè) z=ein2(xy2-y*12.微分方程-dx 1 ydy = 0的通解為解析：方程改寫為（x2 +x dx =（y2 + y dy ,兩邊積分得:1x2 = 1 y3 1y2 g232即 2 x3 - y33 x2 - y2 = c (c = 6c1)謝謝你的觀賞1

10、3.點(diǎn) M°(1, 2, 3)到平面 x+2y z2 =0 的距離 d =1(- n(不含端點(diǎn))*14. 帚級數(shù)£ JL(x1 )的收斂區(qū)間是 n衛(wèi)4解析：P = l i m5un=lim n_jptn 1二 1_n 14n二 1_4n-,收斂半徑R 二二=4由|x1|<4得：3 <x< 5,故收斂區(qū)間是(-3,5)15. 方程y" -2y'+5y = 0的通解是三.解答題：本大題共13個(gè)小題，共90分。.G 1 )16. 求極限 lim 一 ：。fxex -1；x2 - 1*17.設(shè) y=x12,212(arctanx) - xarct

11、anx+萬 ln(1+x ),求 dy。解:y' = xarctanx 2111 2x2 arctan x 2 - arctan x -221 x1 x 2 1 x2 x - 1=x arctan x 1 x所以 dy = y'dx =x(arctanx)2 -T(2*18.求函數(shù)y = x-3x3在區(qū)間1-1, 1】上的最大值與最小值。213 21 x -1解：函數(shù)y = x -x3在x = 0處不可導(dǎo)，y'=1 - x 3 =1(x=0時(shí)) x3. 一 .一51令 y=0得駐點(diǎn) x = 1,求得 y(1) = , y(0)=0, y =-一22一.一，,5于是y在-

12、1, 1上的最大值為y(0)=0,最小值為y(-1 )=- 219.求不定積分njxdx。20.設(shè) z = zXy,)由方程x2 +2y2+3z2 +xyz- = 9確定，求 ,；:x21.若區(qū)域D:計(jì)算二重積分2d 1 x2 y2dxdy。*22.求過三點(diǎn)A (0, 1, 0),B (1, -1 , 0) , C (1, 2, 1)的平面方程。解：AB = ；1,2,0,AC = 1, 1,仆，平面法向量n同時(shí)垂直于AB和AC ,于是可令n 二 AB AC2i j +3k =2, 1,3平面方程為:-2(x -0)-(y -1 )+3(z-0)=0 ,即2x y+ 3z + 1 = 0*23

13、.判定級數(shù)工3n4nn-1的收斂性。解：因?yàn)閦3n4n是公比q = 9 < 1的等比級數(shù)從而收斂,4再考察級數(shù) Z(-nn其中un(-nn滿足un由萊布尼茲判別法知 Z收斂，二級數(shù)工un 1收斂。（兩收斂級數(shù)之3n1 cun = lim ：0n J n和收斂）24.求方程y" +y'2y = x2的一個(gè)特解。、一 a -2 a2*25.證明：f f (x2 a 1 xdx a a dx7 1f(x”2X f a - 114 m a<1(tdt t)T =dta f(u a)(du1f (udu：2由 <1>、<2>得:2X f a11dx-

14、 X-a 一 X十X f31.,、.26.設(shè) f(x)為連續(xù)函數(shù)，且 f (x) = x3+3x"f (x)dx ,求 f (x)。*27.設(shè)拋物線y=ax2 +bx + c過原點(diǎn)(0, 0)且當(dāng)x0, 1時(shí)，y之0,試確定a、4b、c的值。使得拋物線 y =ax2 +bx+c與直線x = 1, y=0所圍成圖形的面積為 一,9且使該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小。解：因拋物線y = ax2 +bx +c過原點(diǎn)(0, 0),有c = 0= y = ax2+bx依題意，如圖所示陰影部分的面積為L 2 +13 . b 2)11+b 4ax + bx)dx = | ax 十一 x =

15、a 十一=一 0132 >0 3 2 9b=892-a3該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為1 .2,. 2 ,V = -： o (ax bx) dx 二二12 4.3.22.(ax 2abx b x )dxa2ab b23-a2.52a2 )一一 a3 J= a2135* a 81+當(dāng)243/a+±i 81)令V'( a)二=0,得駐點(diǎn):b=8.29 3與18 9=2395由問題的幾何意義可知,于是所求曲5 ,從而b = 2時(shí)，旋轉(zhuǎn)體的體積最小,3線為 y = -5x2 +2x 3*28.,一，一x3求帚級數(shù)x -一 十3的和函數(shù)，并由此求級數(shù)的和。,則S(0) =0

16、且有3x斛：令 S(x) = x3S'( x) =1 _x2 +x4 _x6 +=-1 x2xx 1又 S(x) -S(0) = S'(t)dt = 0 +f2 dt = arctanxS(x) arctanx于是1.11J十ji=arctanl =一4高等數(shù)學(xué)模擬試題21、2、一、選擇題函數(shù)+ 的定義域?yàn)閍,且1h-3卜列各對函數(shù)中相同的是：B,i>0x1 -16y =，>二不+ 4A, '-一B,3、C, J=!gx , y=41gx 當(dāng)工TO時(shí)，下列是無窮小量的是:D, 1=卻丁 - J "內(nèi)一4、A5、.1sin -A,X二。是連續(xù)占 八、

17、sin xC,9(31-3x) sin -D,:.B、跳躍間斷點(diǎn)C、可去間斷點(diǎn)D、第二類間斷點(diǎn)若/ （而）二-3,則A、-3B、-6C、-9D、-126.是設(shè)函數(shù)/具有2009階導(dǎo)數(shù)，且/財(cái)二五，則設(shè)函數(shù)/具有2009階導(dǎo)數(shù)，且/啊=1/（刈1則/削"二各 式 錯(cuò) 誤 的lim /W)=yf(0)lim /5+2%= 2/旬A ' 1；B -T/.lim 八/卜/而-晶)=lim-A')"八)C '='D '二一 .7.8.A 2.'.：B 一、二CD JW 4x-ly=；9.曲線（x-iyA只有垂直漸近線B只有水平漸近線C

18、既有垂直又有水平漸近線D既無垂直又無水平漸近線10、下列函數(shù)中是同一函數(shù)的原函數(shù)的是：a,收9加 3K b, arccogarcsiniC, siny,sin 2x d, co£2i,2coJ11、設(shè) l"""/一孑，且一(0)二1,則一二A,戶 b, / +1 c, 3j" D, 3 產(chǎn)C,D,1-lnx1j+c-+cA 二B /.15.下 列是1- 21nxicC . D 一 D 上積 分 不 為r COS xdx r汕"。"康A(chǔ) J-jB ?16. 設(shè) /（£） 在/3） + /（- 2月兩二Alk A *

19、.r產(chǎn) Sin K JTC L " D "1+包 "工）一2,2. 上 連 續(xù)/：/(工)+汽田出B -1C -fj/w+zc-17. 下列廣義對.A J 二BC18、過（0, 2, 4）且平行于平面x+2z-Lj x_y-2_ z-4J/-A, 01-3B, 1cx _y-2 _z-4c, -231d,無t義19、旋轉(zhuǎn)曲面工2y - 2z =1是a, 1°了面上的雙曲線繞1軸旋轉(zhuǎn)所得C, Q面上的橢圓繞I軸旋轉(zhuǎn)所得D J分收斂的是產(chǎn)14尸1-=dx I,、二D-3z = 2的直線方程為- 2 £ 一4I -3B,工。面上的雙曲線繞2軸旋轉(zhuǎn)所得

20、D, 102面上的橢圓繞X軸旋轉(zhuǎn)所得sin20、設(shè)一°A, 0B, 321、函數(shù) z = 2x _ 3y -A, (1, 1)B,22、設(shè) D: / +/ 弓 9 ,A 44/時(shí)4 d f(,r)r2dr y 9/0砂=0 ，則/； (°=C, /、存在D , 16x + 6y+l的極值點(diǎn)為(1, 1)C, (1, 1)和(一1, 1)D, (0,0)f 2/(# +了)辦與=則DB, 24私)演C,呵W小D,£辦毒/（工，月前+右匕/阮用砂A,型b閡Ji3Jf dx /（工了曲二24.交換積分順序后，Jl Jc _ _ _：'/（見心 心為心OaC。工B

21、UI;八 d山；口25.設(shè)上為拋物線x-l = y-27上從點(diǎn) 卻,0）到點(diǎn)即 的一段弧，則(/ + 工地 + (彳，-2y)dy 二 226.為/二（一1廠也+3）27、設(shè)板,則級數(shù)B, S-1 與B-1 都發(fā)散發(fā)散，.1 收斂A, R-1 與n-1 都收斂£% %；29、了"+了 = C0S1的特解應(yīng)設(shè)為:C, S-1 收斂，發(fā)散 D, 28、D 2y二工十五的通解為V = -XX +-XB, 42314121 Ey = _x x HCiXD,423 1a x(acosx+isini) b, x/cosi+Bsinx)c dtcosx+Asmx d, aco"

22、30 . 方 程/-4f+4i二罐的 特 解 為A ' ' B '：-<' ：/ CD '；#一：'、填空題31 .設(shè)川+昌 的定義域?yàn)?5）,則f的定義域?yàn)?hm（）'=432 .已知工 ，則r=fl ,33 .設(shè)函數(shù)a=0在（一8,+8）內(nèi)處處連續(xù)，則=34 .函數(shù)/= x4- 2/ +5在區(qū)間-他樞上的最大值為 235函數(shù)/=彳+COSX的單調(diào)增加區(qū)間為 36 .若叫價(jià)阿，則W +1）儲(chǔ)+31）小二37 .函數(shù)771的垂直漸進(jìn)線為 /«= ，才.口38 .若 鼻 汗=。，在丁 = （1連續(xù)，則&二x3y-ea

23、,=%匕貝也=39 .設(shè)_ dz _40 .設(shè)£=（/+了2）*,則防 frfy lyf（xty）dx41 . 二重積分 M 戶1, 變更積2j42 . L是從點(diǎn)（0, 0）沿著（I） +y =1的上半圓到（1, 1）的圓弧,川,（+2初立+ （/+2»沖一以1J，工=43.將8 = P"展開成工的哥級數(shù):45.4 是微分方程y*-2y，-3y=g '的特解，則其通解為 三、計(jì)算題P 疝£%£I = htn_.46 .求汗47 .設(shè)一/二如孫，求y及川詞.48.求不定積分49.50.51.52.53.已知。理匕吧口二6,求應(yīng)J-2 3計(jì)

24、算d，其中d由1 +y =2工圍成。將y二3sin ”工展開成麥克勞林級數(shù)求?” + 了 = 111彳的通解四、應(yīng)用題54.4設(shè) y = /to 上任一點(diǎn)(工丁)處的切線斜率為X,且該曲線過點(diǎn)（2）求由 六/，尸QX=1所圍成圖像繞工軸一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體體積。55.工+一用定積分計(jì)算橢圓 a b2圍成圖形的面積，并求該圖形繞1軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。五、證明題56.設(shè)/(1)在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使05上連續(xù)，在區(qū)間 (。,1) 內(nèi)可導(dǎo)，且/(O) = 1J(1) = O,證明在 1)旬+打的=0。第一套答案 一，選擇題 DDDCDDDBCDACDDCAACADBCBCCBCCAD二.填空題3

25、7.43.2,26）32 . In 438. 1/33339以工(工負(fù)dx+f翁£_J(見小y （T/ Q+l）44.發(fā)散3540.45.x>0 36.3（9+尸+H"+/） 了 +y42. 2.計(jì)算題謝謝你的觀賞謝謝你的觀賞46.47.48.49.，+41口9,人產(chǎn)13337 & 一1十g24xcosxze50.產(chǎn)9+i.Cr2cha":2.01- cos2x-dy52.sin x =分析：3 3 ®-fZH)(2功!(!53.尸工-2工+ 加+口四.應(yīng)用題1 3甕y=一1,54. (1)2(2) 2g 55 , ab五五.證明題在0中對

26、函數(shù) 產(chǎn)二必 應(yīng)用羅爾中值定理即可。高等數(shù)學(xué)模擬試題 3一、單項(xiàng)選擇題(本大題分5小題，每小題2分，共10分)1、設(shè) I = f-e一1dx,Wl =ex 1(A) ln(ex -1) c (B)ln(ex 1) c;(C)21n(ex 1) -x g(D) x -2ln(ex 1) c.12 n Jlim 一 en en e n e =n_l 二(A)1 (B).e (C)e (D)e2答()3、)(式中0M日1)f (x)=的n階麥克勞林展開式的拉 格朗日型余項(xiàng)Rn(x)=(1 -x(A)1(n 1)(1 - ix)n 1(B)(C)1(1 -/) n 2(D)J1)n(n 1)(1 -

27、ix)(-1)n(1 - ux)n 24、設(shè)f (x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)=0,lim ""=2，則點(diǎn)x = 0x 0 1 - cosx(A)是f(x)的極大值點(diǎn)(B)是f(x)的極小值點(diǎn)(C)不是f(x)的駐點(diǎn)(D)是f (x)的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)答()5、曲線y =x2 -2x +4上點(diǎn)M 0(0,4)處的切線M 0T與曲線y2 = 2(x -1)所圍成的平面圖形的面積A二214913(A) 7r(B)- (C) ; (D) 49412答()二、填空題(將正確答案填在橫線上)(本大題分5小題，每小題3分，共15分)設(shè) y = ln J1 + tan(x +)

28、,則 y' =1 、Vx2 、用切線法求方程x3-2x2 -5x-1=0在(-1,0)內(nèi)的近似根時(shí)，選x。并相應(yīng)求得下一個(gè)近似值 x1 貝以0, x1分另為 °x -1 _ y 1 _ z -13、設(shè)空間兩直線12 九 與x+1 =y-1 =z相交于一點(diǎn)，則sin x +e2ax _1* 八f（x） =J X ' ax"0 ,在x=0處連續(xù)，則 a=./a，當(dāng) x = 04、 L.fbxdx =,其中b是實(shí)數(shù).5、 J。三、解答下列各題（本大題4分）設(shè)平面冗與兩個(gè)向量a = 3i + j和b = i + j _4k平行，證明：向量c =2i 6j k 與平面

29、n垂直。四、解答下列各題（本大題8分）討論積分:當(dāng)?shù)臄可⑿?五、解答下列各題（本大題11分）導(dǎo)出計(jì)算積分In=皿的遞推公式，其中n為自然數(shù)。xn v x21六、解答下列各題（本大題4分）x + 2y z 5 = 011 :1求過P0（423）與平面n：x + y+z_10 = 0平行且與直線、z 10=0 垂 直的直線方程。七、解答下列各題（本大題6分）計(jì)算極限limx j0八、解答下列各題（本大題7分）1 xsin x - cos2xxtanxee試求In =1（ln x）%x勺遞推公式（n為自然數(shù)），并計(jì)算積分1（lnx） dx.單項(xiàng)選擇題1、C2、答：B3、C 10 分 4、（B） 5、C 二、填空題（將正確答案填在橫線上）1、121(1 - -2) sec (x )xx_-12(1 tan(x )x2、x0 = 0x153、 4謝謝你的觀賞4、-15、,b ：二 0b =0b . 010分謝謝你的觀賞j k10 =<12,21 -44