整式的乘除與因式分解講義

1、四講整式的乘除與因式分解講義 ( 總 10 頁)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1?CAL -本頁僅作為文檔封面，使用請直接刪除整式的乘除與因式分解一、根底知識1 單項式的概念：山數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項式。單獨的一 個數(shù)或一 個字母也是單項式。單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，字母 指數(shù)和叫單項式 的次數(shù)。如：的系數(shù)為 -2, 次數(shù)為 4,單獨的一個非零數(shù)的次數(shù)是 0。2、多項式：兒個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。如：a2,項有/、-2ab、x 1,二次項為 a、-2ab , 一次項為x,常

2、數(shù)項為1,各項次數(shù)分別為2, 2, 1, 0,系數(shù)分別為1, -2,1,1，叫二 次四項式。3、整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式。 注意：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項式和多項式。4、同底數(shù)幕的乘法法那么：加“都是正整數(shù) 同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。5、幕的乘方法那么 =嚴 ?, 都是正整數(shù) 幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。幕的乘方法那么可以逆用：即 amn=amy=anm6、積的乘方法那么： =ab “是正整數(shù) 積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。7、同底數(shù)幕的除法法那么：amW=an-n都是正整數(shù)，且加i 同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。8、零指數(shù)和負

3、指數(shù)；，=1 , 即任何不等于零的數(shù)的零次方等于 lo弘八=4 HO,p是正整數(shù)，即一個不等于零的數(shù)的次方等于這a1個數(shù)的 次方的倒數(shù)。9、單項式的乘法法那么：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分對于只在一個單項式里含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為積的一 個因式 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值。 相同字母相乘，運用同底數(shù)幕的乘法法那么。 只在一個單項式里含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為積的一個因式 單項式乘法法那么對于三個以上的單項式相乘同樣適用。 單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式。10、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積 即 m(

4、a + b + c = ma + mb + me ( m,a,b,c 都是單項式) 積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。 運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。 在混合運算時，要注意運算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項。11 多項式與多項式相乘的法那么；多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把 積相加。12、平方差公式：戸 公式特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相 另一項互為相反數(shù)。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。13、完全平方公式： ( /?)2 = /2“/? + /?公式特征：左邊是一個二項式的完全平方，右邊有

5、三項，其中有兩項是左別相乘，相加，所的的同，邊二2 倍。項式中每一項的平方，而另一項為哪一項左邊二項式中兩項乘積的a2 +b2 = (a + b) 2 - 2ab = (a + b) - 2ab(a b)2 = (a + b)2 - 4ab(-a-b) 2 = -(? + /?) 2 = (a + b) 2(a+b) 2 =-(a_b)F = (a - b) 214、單項式的除法法那么：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，對于只在被 含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為商的一個因式。 注意：首先確定結(jié)果的系數(shù) ( 即系數(shù)相除 ) ，然后同底數(shù)幕相除，如果只在被 有的字母，那么連同它

6、的指數(shù)作為商的一個因式15、多項式除以單項式的法那么： 多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的 相加。艮卩： 4-hm + cm) m = am + m + bm + m + cm-i-m = a + b + c 16 因式分解：把一個多項式化成兒個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式1、提公因式法 ?：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公除式里除式里含的商分解。因式提岀來，從而將多項式化成兒個因式的積的形式、ma+mb+mc=m(a+b+c) (m 可以表示單項式，也可以表示多項式)2、運用公式法在整式的乘、除中，我們學過假設干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使

7、用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b2a 2-b2=(a+b)(a-b):(2) (a d)2 = a22ab+b 2a 2 + 2ab+b 2=(a )2 ；3、分組分解法(1) 分組后能直接提公因式am + an + bin 4-bn=m (a+b) +n(a+b)=(a+b)(m+n)(2) 分組后能直接運用公式x2 -y2 +ax + ay =(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)4、十字相乘法.(-)二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式 X2 +( + g)x+/M = (x+ ff )( x + q)進行分解。 特

8、點：(1)二次項系數(shù)是1;(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。0而且是但凡能十字相乘的二次三項式ax2+bx+c,都要求=一個完全平方數(shù)。(二)二次項系數(shù)不為1的二次三項式俶$ +處+。JXb = a xC2 +條件：(1) a = aa2(2) c = c C2(3) b = aC2 +?2ci分解結(jié)果： ax2 +bx + c = (a X + Cx)(a2X + C2)一、根底知識梳理(課前完成)(-)整式的乘除1. 幕的運算性質(zhì)(1).am.an = _ 5, “ 都是正整數(shù) ) 。例： a2.a3 = _ 。(2).() _=_ ( “ 為正整數(shù) )

9、。例： ()= 。(3).( “_=_ 5, 八都是正整數(shù) ) 。例： 3)= _ 。(4). 一“= _ (dHO, 川，都是正整數(shù) , 并且。彳列：(5).,= (dHO) (6).Q= (dHO, 是正整數(shù))2. 整式的乘法：(1) 單項式乘以單項式： 6，.3JQ，= o(2) 單項式乘以多項式： ( /_2y) (? 妒)= (3) 多項式乘以多項式： ( 2A-3yXA+4y)= 。3. 整式的除法： D. aM2. 計算：3ab.5a2b = , 9x? ( 3x2)=。3. 計算：(一2a)?百/ - 1 j = , (2a + ha b)=。4. 計算： (x + lXx-l

10、)= , (a 3)2 = o5. 計算:(3x5 - 9x2 + 6x)-s- 3 X = 。6. 以下從左到右的變形是因式分解的是 ()A.加彷=2/xbB. x2+4a + 10 = (X + 2)2+6C. (a + 3a-3 )= a2 -9 D. x2-6x + 9 = (x-3 )27. 多項式 x2+x6 提取公因式，后的另一個因式是()A. x4 B.x3 C.x4 +1 D. x 3+l&分解因式： x2 -6 = ； x2 +6x + 9 = o9. 單項式 Sa2b2, 6宀滬的公因式是10. 分解因式：(X +3)2-(X +3)= -三、 典 型例題例 1. 先化簡

11、，再求值：2/?2 +(a + ba-b)-(a-b) 2 , 其中。 =一 3, b = g 。例 2. 分解因式： / - a = ； lx 一 4x + 2 = o例 3. (1) a + b = 2 f ab = , 貝 ij a2h + ab 2 的值為 。(2 )假設加=2 +1那么, nr 一 4m/i +4/22 = o四、達標檢測題()根底檢測91. 以下各式計算正確的選項是()A. (d ) = cr B.6/7z/2 = a14 C. 2a2 +3/ = 5a5 D. (db)= ab2. 以下運算正確的選項是()A. /./=/ B. (x-2Xx + 3 )=十-6

12、C. (x-2 ) 2 = x2-4 D. 2d + 3d = 5d3. 假設3x9 x27 =321,那么加的值是()A. 3B.4C.5 D. 64. 分解因式：x2 -9y2 = . A2 +2x-3 = 3a2 -12 =nm1 + 6nm + 9m5. ? a = 2 9 a + /? = 3, WJ cr +ab =6 ?在邊長為的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形(ab)(如圖屮),把余下的局部拼成一個矩形(如圖乙)，根據(jù)兩個圖形中陰影局部的面積相等，可以驗證()bA?(G + Z?) =a2 +2ab + b 2B?( 一/? ) = a2 2ab + b2C? a2 Z?2

13、= a + b )(a -/?)D?(d + 2/? )(a /?) = a2 + ab - 2b 7 ?先化簡，再求值：(x-lXx + l)-x(x-3 ),其中 x = 3.(二)能力提升111. (2021威海)將以下多項式分解因式，結(jié)果中不含因式x? l的是()A? x2 - 1 B. x (x-2) + (2-x) C. x2 - 2x+l D ? x2+2x+l2. ( (2021孝感)假設a - b=l那么代數(shù)式a2 - b2 - 2b的值為.3. (2021 遵義)假設 a+b=2/2? ab=2那么 a2+b2 的值為()A. 6B? 4C? 3A2D? 2A34. (20

14、21發(fā)陽)以下計算正確的選項是()A. a2+a2=2a4 B. 4x - 9x+6x=l C ? (-2x2y) 3= - 8x6y3 D. a64-a3=a25.2021棗莊如圖，在邊長為2a的正方形中央剪去一邊長為a+2的小正方形a2,將剩余局部剪開密鋪成一個平行四邊形，那么該平行四邊形的面積為A孑+4-4 D 4 a2 - a - 2B? 2a2+4aC? 3a2 - 4a6?先化簡，再求值:(x + yx 一 y)_(4xy 8xy3 )-s- 2xy ,其中y=42?以下計算正確的選項是BAa4=a7 B. a3 ? a4=a7 C? C) 4=a7 D. a6ra3=a213/p

15、l x=3, y=l 時，代數(shù)式(x+y) (x y) +y?的值是14.分解因式：X2 + 2X-3= . (x+3) (x-1)13.分解因式：X2-9=18. (1)計算：(x + l) 2+2(l-x)A以下各式計算正確的選項是B(脊+A. 3x-2x=l B 計算:+a2=a4C. 8x-3結(jié)果為D.2一3=-6D. ra3a2=a 516.分解因式：a2-l= a+15.以下各式計算正確的選項是(a-1).B.? 6a +D.a =-1c8r D?176. 已分知解因式8 =：0, /那么-4 3x2-6x-18 的值為 A. 54A. (a2)2 =a4C? 3a2 Aa2 =

16、2a3? 以下運算中，結(jié)果是 / 的是A? a? d 17?分解因式：x2+2a +1 = 22. 化簡：(么 + 3)(-3) + 一) ?“(D4.(a)【例 1 】假設 a2,1 = 3,那么 a = _ .計算(x-2y) (2y-x)2 【例 2 (M-W)3 ? (/? - n) ? (n - w)PP【例 3】計算(x-2y)3*(2y-x)2JM【例 4 】以下運算正確的選項是()A、8x9 -4x3 = 2x3 B、4/ 戻一 4/b =0C、a -i-a m = a2D、2ab2c)= Ac【例 5 】利用平方差公式計算： 2021x2007-2021 2【例 6】 a, b, c 是 AABC 的三邊，且 a2+b2+c2=ab+bc + ca, 那么 AABC 的 形狀是A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形【例 7】分解因式： lax-1 Oay + 5by-bx【例 8】分解因式： a2-2ab + b 2-c2【例9】0V “W5且為整數(shù)，假設2F+3X + 能用十字相乘法分解因式，求符合條件的【例 10 】分解因式： x2 +5x + 6【例 11 分解因式： 2x2y 8xy + 8y【例 12 】分解因式 x2 - 4xy-l + 4y 21、 2021,陜西計算 -5 宗 2的結(jié)果是D. 2