《學(xué)案與測評》2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二單元第四節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性精品課件 蘇教版

1、第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1.定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A，如果對于意 ,都有 ,則稱函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù);如果對于任意xA,都有 ,則稱函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù).xAf(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)2. 圖象的對稱性質(zhì):一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象 ;一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象 .關(guān)于原點對稱關(guān)于y軸對稱3. 一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足 ,那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期，所有周期中存在最小的一個正數(shù)叫做f(x)的最

2、小正周期.f(x+T)=f(x)典例分析典例分析題型一題型一 判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性【例【例1 1】判斷下列函數(shù)的奇偶性.0).x(xx-0),x(xx(4)f(x) ;-2|2-x|)x-lg(1(3)f(x); 1-xx-1(2)f(x) ;x-1x11)-(x(1)f(x)222222分析 先求函數(shù)的定義域,然后判斷f(x)與f(-x)之間的關(guān)系. 解 (1)由 ,得定義域為 -1,1),關(guān)于原點不對稱, f(x)為非奇非偶函數(shù). f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).0 x-1x1 0f(x)1,x1x1-x0,x-1(2)222f(x),x)x-lg(1-(-x) (-x)-1 l

3、g-f(-x).x)x-lg(1-2-2)-(x-)x-lg(1f(x)(0,1),(-1,0)0-2|2-x|0,x-1 (3)2222222222的定義域為由f(x)為偶函數(shù).(4)當(dāng)x0,則f(-x)= =f(x)；當(dāng)x0時,-x0,則f(-x)= -f(x).22()()xxxx 22()()xxxx 綜上所述,對任意的x(-,0)(0,+),都有f(-x)=-f(x), f(x)為奇函數(shù).學(xué)后反思 判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題,難度不大,解決問題時應(yīng)先考察函數(shù)的定義域.若函數(shù)的解析式能化簡,一般應(yīng)考慮先化簡,但化簡必須是等價變換過程(要保證定義域不變).舉一反三舉一反三1.設(shè)函數(shù)

4、f(x)在(-,+)內(nèi)有定義，下列函數(shù)： 必為奇函數(shù)的是 。（填寫序號)( ) ;yf x 2() ;yx f x()yfx ( )()yf xfx解析 設(shè)y=g(x)，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷, g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x).2gxx()fx 2()( );xf xg x 答案 題型二題型二 奇偶性的應(yīng)用奇偶性的應(yīng)用【例【例4 4】 定義在R上的函數(shù) (a0)為奇函數(shù)，求 的值.4log (4)a24( )log ()4af xxx分析 利用奇函數(shù)的定義域求出a.解 方法一：由條件知f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0, 化簡得 ， a=4, 2244aalog-

5、x(-x)logxx044224log()04axx 238log4)(alog4414a方法二：f(x)是奇函數(shù)且f(x)在x=0處有意義，f(0)=0, =0,即 ,解得a=4,4log4a 238log4)(alog44學(xué)后反思 方法一是利用“若f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)對任意x恒成立”，“對任意x恒成立”是解題關(guān)鍵.方法二要注意“f(x)在x=0處有意義”這個條件,這種方法很常用，需要熟練掌握.舉一反三舉一反三2. 已知函數(shù) 是奇函數(shù),又f(1)=2,f(2)3求a,b,c的值.Z)cb,(a,cbx1axf(x)2解析 由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx

6、+c),c=0.由f(1)=2,得a+1=2b,而f(2)3,得 ,解得-1a2.又aZ,a=0或a=1.31a14a若a=0,則b= Z,應(yīng)舍去;若a=1,則b=1Z.a=1,b=1,c=0.21題型三題型三 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性【例【例3 3】（14分)(2010日照調(diào)研)設(shè)f(x)是(-,+)上的奇函數(shù),對任意實數(shù)x,都有f(x+2)=-f(x),當(dāng)-1x1時,f(x)= .(1)求證:直線x=1是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸;(2)當(dāng)x 1,5 時,求函數(shù)f(x)的解析式.3x分析 通過f(x+2)=-f(x),與-f(x)=f(-x)的轉(zhuǎn)化,來求函數(shù)的對稱軸與周期，技巧在于通過換

7、元進(jìn)行轉(zhuǎn)化.求函數(shù)f(x)的解析式要利用函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化到知道函數(shù)解析式的區(qū)間上.解 (1)證明：因為f(x)為奇函數(shù),所以-f(x)=f(-x), 所以f(x+2)=f(-x)，2 所以f (x-1)+2 =f -(x-1) ,即f(1+x)=f(1-x) .4 所以直線x=1是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸.6(2)因為f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4為周期的函數(shù)8又當(dāng)-1x1時,f(x)= ;3x當(dāng)x 1,3 時,x-2 -1,1 ,所以f(x)=f(x-2+2)=-f(x-2)= ;.103x2當(dāng)x(3,5 時,x-4(-1,1 ,所以f(x)=f(x

8、- 4+4)=f(x-4)= . 12所以當(dāng)x 1,5 時,f(x)的解析式為3x433-(x-2) ,13 f(x).14(x-4) ,35xx學(xué)后反思 函數(shù)的奇偶性經(jīng)常與函數(shù)的其他性質(zhì),如單調(diào)性、周期性、對稱性結(jié)合起來考查.因此,在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)加強(qiáng)知識間的聯(lián)系舉一反三舉一反三3. 定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若f(x)的最小正周期是,且當(dāng) 時，f(x)=sin x,求 的值. 20,x38f解析： 由題意可得233sin)3()32(-)32(-)232()38(fffff易錯警示易錯警示【例例】判斷函數(shù)f(x) = x=0 的奇偶性。223,0 xxx2,223,0

9、xxx錯解 當(dāng)x0 時，f(x)= = f(x)是奇函數(shù)。2()2()3xx 2(23)( )xxf x 2()2()3xx 2(23)( )xxf x 錯誤分析 盡管對定義域的每一個x0,f(-x)=-f(x)成立，但當(dāng) x=0時，f(0)=20,故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。 正解 f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)考點演練考點演練10.（2009山東改編）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= 求f(2009)的值(1)(2),0f xf xx2log (1),0 x x解析 當(dāng)x0時，f(x)=f(x-1)-f(x-2), f(x+1)=f(x)-f(x+1),兩式相加得：f(x+

10、1)=-f(x-2)即f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=-f(x+3)=f(x),f(2009)=f(6344+5)=f(5)=f(-1)= =12log 211.已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)的最小值為3，且當(dāng)x0時，f(x)= (a為常數(shù)）。求函數(shù)f(x)的解析式3xeamin( )f xxye解析： 因為 是增函數(shù)，所以當(dāng)x0時，也是增函數(shù)，又因為f(x)是偶函數(shù)，所以 =f(0)=3+a又f(x)的最小值是3,故3+a=3，即a=0當(dāng)x0，所以f(x)=f(-x)=綜上，f(x)= 3xe3,0 xex 3,0 xex12.已知函數(shù)f(x)= (1)求f(x)的定義域；（2）求證：f(x)是奇函數(shù)；（3）判斷函數(shù)y=f(x)與y=2的圖像是否有公共點，并說明理由。 1lg1xx解析： （1）由 ，得-1x1 函數(shù)的定義域