數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)發(fā)展史

1、數(shù)學(xué)發(fā)展史數(shù)學(xué)發(fā)展史當(dāng)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)變得越來(lái)越明確時(shí)，人們感到有必要以某種方式來(lái)表達(dá)當(dāng)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)變得越來(lái)越明確時(shí)，人們感到有必要以某種方式來(lái)表達(dá)事物的這一屬性，于是導(dǎo)致了記數(shù)。事物的這一屬性，于是導(dǎo)致了記數(shù)。 1. 手指計(jì)數(shù)手指計(jì)數(shù)：利用兩只手的十個(gè)手指。亞里士多德指出：十進(jìn)制的廣泛采用， 只不過(guò)是我們絕大多數(shù)人生來(lái)具有10個(gè)手指這一事實(shí)的結(jié)果。 2. 石子記數(shù)石子記數(shù)：在地上擺小石子，但記數(shù)的石子堆很難長(zhǎng)久保存。 3. 結(jié)繩記數(shù)結(jié)繩記數(shù)：在一根繩子上打結(jié)來(lái)表示事物的多少。比如今天獵到五頭羊，就 以在繩子上打五個(gè)結(jié)來(lái)表示；約定三天后再見面，就在繩子上打三個(gè)結(jié)，過(guò)一天解一個(gè)結(jié)。4. 刻痕記數(shù)刻痕記數(shù)

2、：1937年在維斯托尼斯（摩拉維亞）發(fā)現(xiàn)一根40萬(wàn)年前的幼狼前 肢骨，7英寸長(zhǎng)，上面有55道很深的刻痕。這是已發(fā)現(xiàn)的用刻痕方法計(jì)數(shù)的最早資料。直到今天，在歐、亞、非大陸的某些地方，仍然有一些牧人用在棒上刻痕的方法來(lái)計(jì)算他們的牲畜。 古中國(guó)的數(shù)學(xué)古中國(guó)的數(shù)學(xué)九章算術(shù)九章算術(shù)第一章第一章“方田方田”： 主要講述了平面幾何圖形面積的計(jì)算方法。包括長(zhǎng)方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)這八種圖形面積的計(jì)算方法。另外還系統(tǒng)地講述了分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則，以及求分子分母最大公約數(shù)等方法。 第二章第二章“粟米粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術(shù)；衰分章提出比例分配法則，

3、稱為衰分術(shù)； 第三章第三章“衰分衰分”：比例分配問(wèn)題；介紹了開平方、開立方的方法，其程序與現(xiàn)今程序基本一致。這是世界上最早的多位數(shù)和分?jǐn)?shù)開方法則。它奠定了中國(guó)在高次方程數(shù)值解法方面長(zhǎng)期領(lǐng)先世界的基礎(chǔ)。 第四章第四章“少?gòu)V少?gòu)V”：已知面積、體積，反求其一邊長(zhǎng)和徑長(zhǎng)等； 第五章第五章“商功商功”：土石工程、體積計(jì)算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法； 第六章第六章“均輸均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問(wèn)題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法。 第七章第七章“盈不足

4、盈不足”：即雙設(shè)法問(wèn)題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問(wèn)題，以及若干可以通過(guò)兩次假設(shè)化為盈不足問(wèn)題的一般問(wèn)題的解法。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大。 第八章第八章“方程方程”：一次方程組問(wèn)題；采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組， 相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組時(shí)使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)正負(fù)數(shù)的加減法則，與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同；解線性方程組時(shí)實(shí)際還施行了正負(fù)數(shù)的乘除法。這是世界數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重大的成

5、就，第一次突破了正數(shù)的范圍，擴(kuò)展了數(shù)系。外國(guó)則到7世紀(jì)印度的婆羅摩及多才認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。 第九章第九章“勾股勾股”：利用勾股定理求解的各種問(wèn)題。其中的絕大多數(shù)內(nèi)容是與當(dāng)時(shí)的社會(huì)生活密切相關(guān)的。提出了勾股數(shù)問(wèn)題的通解公式：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，mn。在西方，畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個(gè)公式的幾種特殊情況，直到3世紀(jì)的丟番圖才取得相近的結(jié)果，這已比九章算術(shù)晚約3個(gè)世紀(jì)了。勾股章還有些內(nèi)容，在西方卻還是近代的事。例如勾股章最后一題給出的一組公式，在國(guó)外到19世紀(jì)末才由美國(guó)的數(shù)論學(xué)家迪克森得出。芝諾的四個(gè)悖論：芝諾的四個(gè)悖論：第一個(gè)悖論第一個(gè)悖論是運(yùn)動(dòng)不存在，理由是運(yùn)動(dòng)物體到達(dá)目的

6、地之前必須到大半路，而到大半路之前又必須到大半路的半路.如此下去，它必須通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，這在有限長(zhǎng)時(shí)間之內(nèi)是無(wú)法辦到的。第二個(gè)悖論第二個(gè)悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜，因?yàn)闉觚斣谒懊鏁r(shí)，它必須首先到達(dá)烏龜?shù)钠瘘c(diǎn)，然后用第一個(gè)悖論的邏輯，烏龜老在他的前面。這兩個(gè)悖論是反對(duì)空間、時(shí)間無(wú)限可分的觀點(diǎn)；而第三、第四悖論是反對(duì)空間、時(shí)間又不可分的間隔組成。第三個(gè)悖論第三個(gè)悖論是說(shuō)：“飛矢不動(dòng)”，因?yàn)樵谀骋粫r(shí)間間隔，飛矢總是在某個(gè)空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個(gè)悖論第四個(gè)悖論是游行隊(duì)伍悖論，內(nèi)容大體相似。這說(shuō)明希臘人已經(jīng)看到“無(wú)窮小”與“很小很小”的矛盾。歐幾里得歐幾里得幾何原本

7、幾何原本五條公理五條公理 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量減等量，其差相等； 4.彼此能重合的物體是全等的； 5.整體大于部分。 五條公設(shè)五條公設(shè) 1.過(guò)兩點(diǎn)能作且只能作一直線； 2.線段(有限直線)可以無(wú)限地延長(zhǎng)； 3.以任一點(diǎn)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑,可作一圓； 4.凡是直角都相等； 5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相 交，若在直線同側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于180，則這兩條直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)一定相交。 阿基米德阿基米德砂粒計(jì)算砂粒計(jì)算是專講計(jì)算方法和計(jì)算理論的一本著作。阿基米德要計(jì)算充滿宇宙大球體內(nèi)的砂粒數(shù)量，他運(yùn)用了很奇特的想象，建立了新的量級(jí)計(jì)數(shù)法，確定

8、了新單位，提出了表示任何大數(shù)量的模式，這與對(duì)數(shù)運(yùn)算是密切相關(guān)的。圓的度量圓的度量利用圓的外切與內(nèi)接邊形，求得圓周率為： 這是數(shù)學(xué)史上最早的，明確指出誤差限度的值。他還證明了圓面積等于以圓周長(zhǎng)為底、半徑為高的正三角形的面積；使用的是窮舉法。 球與圓柱球與圓柱熟練地運(yùn)用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個(gè)圓錐體積的四倍，這個(gè)圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個(gè)內(nèi)切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的1.5倍。拋物線求積法拋物線求積法研究了曲線圖形求積的問(wèn)題，并用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的

9、弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四?！彼€用力學(xué)權(quán)重方法再次驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，使數(shù)學(xué)與力學(xué)成功地結(jié)合起來(lái)。 論螺線論螺線是阿基米德對(duì)數(shù)學(xué)的出色貢獻(xiàn)。他明確了螺線的定義，以及對(duì)螺線的面積的計(jì)算方法。在同一著作中，阿基米德還導(dǎo)出幾何級(jí)數(shù)和算術(shù)級(jí)數(shù)求和的幾何方法。 平面的平衡平面的平衡是關(guān)于力學(xué)的最早的科學(xué)論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問(wèn)題。 浮體浮體，是流體靜力學(xué)的第一部專著，阿基米德把數(shù)學(xué)推理成功地運(yùn)用于分析浮體的平衡上，并用數(shù)學(xué)公式表示浮體平衡的規(guī)律。 論錐型體與球型體論錐型體與球型體講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉(zhuǎn)而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長(zhǎng)軸和短軸旋轉(zhuǎn)

10、而成的球型體的體積。 阿基米德的理論為幾何和微積分的開創(chuàng)阿基米德的理論為幾何和微積分的開創(chuàng)寫下了不可磨滅的一章寫下了不可磨滅的一章后來(lái)，隨著托勒密、尼可馬修斯、丟番圖的突出貢獻(xiàn)，使得初等數(shù)學(xué)的發(fā)后來(lái)，隨著托勒密、尼可馬修斯、丟番圖的突出貢獻(xiàn)，使得初等數(shù)學(xué)的發(fā)展趨向完善，我們中學(xué)階段學(xué)習(xí)的也就是他們的成果。展趨向完善，我們中學(xué)階段學(xué)習(xí)的也就是他們的成果。自此以后，數(shù)學(xué)終于成為了一門獨(dú)立的學(xué)科，并且分為了幾何與代數(shù)兩大自此以后，數(shù)學(xué)終于成為了一門獨(dú)立的學(xué)科，并且分為了幾何與代數(shù)兩大分支，為后人鋪下了一條光明大道。分支，為后人鋪下了一條光明大道。托勒密丟番圖阿基米德 他引入了變量的概念，于是運(yùn)動(dòng)進(jìn)入

11、了數(shù)學(xué)，微積分的產(chǎn)生也就顯得非常自然。并且現(xiàn)代的他引入了變量的概念，于是運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，微積分的產(chǎn)生也就顯得非常自然。并且現(xiàn)代的a,b,ca,b,c與與x,y,zx,y,z等符號(hào)也是笛卡爾首先使用。等符號(hào)也是笛卡爾首先使用。在笛卡兒時(shí)代，代數(shù)還是一個(gè)比較新的學(xué)科，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。笛卡爾的思想核心：把幾何學(xué)的問(wèn)題歸結(jié)成代數(shù)形式的問(wèn)題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、證明，從而達(dá)到最終解決幾何問(wèn)題的目的。依照這種思想他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在熟知的“解析幾何學(xué)”。1637年，笛卡爾發(fā)表了年，笛卡爾發(fā)表了幾何學(xué)幾何學(xué)，創(chuàng)立了平面直角坐標(biāo)系，用平面上的一點(diǎn)到兩條，創(chuàng)立了平面直角坐標(biāo)系，用平面

12、上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來(lái)確定點(diǎn)的位置，用來(lái)描述空間上的點(diǎn)。固定直線的距離來(lái)確定點(diǎn)的位置，用來(lái)描述空間上的點(diǎn)。歐拉歐拉笛卡爾公式：笛卡爾公式： 在任意凸多面體中，設(shè)V為頂點(diǎn)數(shù)，E為棱數(shù)，F(xiàn)是面數(shù)，則V-E+F=2。該公式最早被笛卡爾證明。笛卡爾葉形線：笛卡爾葉形線： 首先由笛卡爾在1638年提出，他從葉形線的隱式方程為極坐標(biāo)中方程為根據(jù)，從自明的直觀公理出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的邏輯演繹，推出結(jié)論。這種方法和培根所提倡的實(shí)驗(yàn)歸納法結(jié)合起來(lái)，經(jīng)過(guò)惠更斯和牛頓等人的綜合運(yùn)用，成為物理學(xué)特別是理論物理的重要方法。 到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái)，大約有

13、四種主要類型的問(wèn)題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題。第二類問(wèn)題是求曲線的切線的問(wèn)題。第三類問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。第四類問(wèn)題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。 十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問(wèn)題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。 十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了

14、微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問(wèn)題（微分學(xué)的中心問(wèn)題），一個(gè)是求積問(wèn)題(積分學(xué)的中心問(wèn)題)。 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。艾薩克艾薩克牛頓牛頓 牛頓的一項(xiàng)被廣泛認(rèn)可的成就是廣義二項(xiàng)式定理，它適用于任何冪。他發(fā)現(xiàn)了牛頓恒等式、牛頓法，分類了立方面曲線（兩變量的三次多項(xiàng)式），為有限差理論作出了重大貢獻(xiàn)，并首次使用了分式指數(shù)和坐標(biāo)幾何學(xué)得到丟番圖方程的解。他

15、用對(duì)數(shù)趨近了調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和（這是歐拉求和公式的一個(gè)先驅(qū)），并首次有把握地使用冪級(jí)數(shù)和反轉(zhuǎn)（revert）冪級(jí)數(shù)。他還發(fā)現(xiàn)了的一個(gè)新公式。戈特弗里德戈特弗里德威廉威廉萊布尼茨萊布尼茨萊布尼茨曾討論過(guò)負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)并不存在，共扼復(fù)數(shù)的和是實(shí)數(shù)的結(jié)論。在后來(lái)的研究中，萊布尼茨證明了自己結(jié)論是正確的。他還對(duì)線性方程組進(jìn)行研究，對(duì)消元法從理論上進(jìn)行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論，此外，萊布尼茨還創(chuàng)立了符號(hào)邏輯學(xué)的基本概念。萊昂哈德萊昂哈德歐拉歐拉他對(duì)微分方程理論作出了重要貢獻(xiàn)。他還是歐拉近似法的創(chuàng)始人，他對(duì)微分方程理論作出了重要貢獻(xiàn)。他還是歐拉近似法的創(chuàng)始人，

16、這些計(jì)算法被用于計(jì)算力學(xué)中。此中最有名的被稱為歐拉方法。這些計(jì)算法被用于計(jì)算力學(xué)中。此中最有名的被稱為歐拉方法。在數(shù)論里他引入了歐拉函數(shù)。在數(shù)論里他引入了歐拉函數(shù)。自然數(shù)的歐拉函數(shù)被定義為小于并且與互質(zhì)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)。例自然數(shù)的歐拉函數(shù)被定義為小于并且與互質(zhì)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)。例如，因?yàn)橛兴膫€(gè)自然數(shù)如，因?yàn)橛兴膫€(gè)自然數(shù)1，3，5和和7與與8互質(zhì)?；ベ|(zhì)。在分析領(lǐng)域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數(shù)。在分析領(lǐng)域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數(shù)。他在他在1735年由于解決了長(zhǎng)期懸而未決的貝塞爾問(wèn)題而獲得名聲：年由于解決了長(zhǎng)期懸而未決的貝塞爾問(wèn)題而獲得名聲：其中是黎曼函數(shù)。其中是黎曼函數(shù)。歐

17、拉將虛數(shù)的冪定義為如下公式歐拉將虛數(shù)的冪定義為如下公式:這就是歐拉公式，它成為指數(shù)函數(shù)這就是歐拉公式，它成為指數(shù)函數(shù)的中心。的中心。在初等分析中，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，要么是指數(shù)函數(shù)的變種，要么是多在初等分析中，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，要么是指數(shù)函數(shù)的變種，要么是多項(xiàng)式，兩者必居其一。被理查德項(xiàng)式，兩者必居其一。被理查德費(fèi)曼稱為費(fèi)曼稱為“最卓越的數(shù)學(xué)公最卓越的數(shù)學(xué)公”的則是歐的則是歐拉公式的一個(gè)簡(jiǎn)單推論（通常被稱為歐拉恒等式）：拉公式的一個(gè)簡(jiǎn)單推論（通常被稱為歐拉恒等式）：在在1735年，他定義了微分方程中有用的歐拉年，他定義了微分方程中有用的歐拉-馬歇羅尼常數(shù)：馬歇羅尼常數(shù)：他是歐拉他是歐拉-馬歇羅尼公式的發(fā)

18、現(xiàn)者之一，這一公式在計(jì)算難于計(jì)算的馬歇羅尼公式的發(fā)現(xiàn)者之一，這一公式在計(jì)算難于計(jì)算的積分、求和與級(jí)數(shù)的時(shí)候極為有效。積分、求和與級(jí)數(shù)的時(shí)候極為有效。十九世紀(jì)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一個(gè)偉大轉(zhuǎn)折的世紀(jì)，它突出地表現(xiàn)在兩個(gè)方面：十九世紀(jì)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一個(gè)偉大轉(zhuǎn)折的世紀(jì)，它突出地表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面是近代數(shù)學(xué)的主題部分發(fā)展成熟了，經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)數(shù)學(xué)家們的努力，它一方面是近代數(shù)學(xué)的主題部分發(fā)展成熟了，經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)數(shù)學(xué)家們的努力，它的三個(gè)組成部分取得了極為重要的成就：微積分發(fā)展成為數(shù)學(xué)分析，方程論發(fā)展成為的三個(gè)組成部分取得了極為重要的成就：微積分發(fā)展成為數(shù)學(xué)分析，方程論發(fā)展成為高等代數(shù)，解析幾何發(fā)展成為高等幾

19、何，這就為近代數(shù)學(xué)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變準(zhǔn)備了充分高等代數(shù)，解析幾何發(fā)展成為高等幾何，這就為近代數(shù)學(xué)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變準(zhǔn)備了充分的條件。的條件。令一方面，近代數(shù)學(xué)的基本思想和基本概念，在這一時(shí)期中發(fā)生了根本的變化：令一方面，近代數(shù)學(xué)的基本思想和基本概念，在這一時(shí)期中發(fā)生了根本的變化：在分析學(xué)中，傅立葉級(jí)數(shù)論的產(chǎn)生和建立，使得函數(shù)概念有了重大突破；在代數(shù)學(xué)中，在分析學(xué)中，傅立葉級(jí)數(shù)論的產(chǎn)生和建立，使得函數(shù)概念有了重大突破；在代數(shù)學(xué)中，伽羅瓦群論的產(chǎn)生，使得代數(shù)運(yùn)算的概念有了重大的突破；在幾何學(xué)中，非歐幾何的伽羅瓦群論的產(chǎn)生，使得代數(shù)運(yùn)算的概念有了重大的突破；在幾何學(xué)中，非歐幾何的誕生在空間概念方面有了重大的

20、突破，這三項(xiàng)突破促使近代數(shù)學(xué)迅速向現(xiàn)代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變。誕生在空間概念方面有了重大的突破，這三項(xiàng)突破促使近代數(shù)學(xué)迅速向現(xiàn)代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變。十九世紀(jì)還有一個(gè)獨(dú)特的貢獻(xiàn)，就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究形成了三個(gè)理論：實(shí)數(shù)理論、十九世紀(jì)還有一個(gè)獨(dú)特的貢獻(xiàn)，就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究形成了三個(gè)理論：實(shí)數(shù)理論、集合論和數(shù)理邏輯，這三個(gè)理論的建立為即將到來(lái)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)準(zhǔn)備了更為深厚的基礎(chǔ)。集合論和數(shù)理邏輯，這三個(gè)理論的建立為即將到來(lái)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)準(zhǔn)備了更為深厚的基礎(chǔ)。三大數(shù)學(xué)危機(jī)的解決第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問(wèn)題：

21、邊長(zhǎng)為1 1的正方形其的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)2 2 的誕生。小小的誕生。小小2 2的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。

22、對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的為恐慌。實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念這都是一個(gè)極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)的沖突上：任何量，在任何精確觀念這都是一個(gè)極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測(cè)量度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測(cè)量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)，這個(gè)斷言也毫無(wú)例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的，完全符合常技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)，這個(gè)斷言也毫無(wú)例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的，

23、完全符合常識(shí)的論斷居然被小小的識(shí)的論斷居然被小小的2 2的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)，多么荒謬的事！它簡(jiǎn)直把以的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)，多么荒謬的事！它簡(jiǎn)直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無(wú)辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無(wú)辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大的風(fēng)波，史稱致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實(shí)踐認(rèn)識(shí)的提高，十七

24、世紀(jì)幾乎導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實(shí)踐認(rèn)識(shí)的提高，十七世紀(jì)幾乎在同一時(shí)期，微積分這一銳利無(wú)比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。這一在同一時(shí)期，微積分這一銳利無(wú)比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。這一工具一問(wèn)世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問(wèn)題運(yùn)用這一工具后變得易如翻工具一問(wèn)世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問(wèn)題運(yùn)用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論都建立在無(wú)窮小分析之上，但他們對(duì)作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂都

25、建立在無(wú)窮小分析之上，但他們對(duì)作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時(shí)就遭到了一些人的反對(duì)與攻擊。的。因而，從微積分誕生時(shí)就遭到了一些人的反對(duì)與攻擊。 一直到十九世紀(jì)二十年代，一些數(shù)學(xué)家才開始比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。它們一直到十九世紀(jì)二十年代，一些數(shù)學(xué)家才開始比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定金和康托爾徹底完成，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛

26、盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)。了一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 十九世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時(shí)，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性十九世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時(shí)，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石?！耙磺袛?shù)學(xué)成果可建立在集

27、合論基礎(chǔ)上一切數(shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹@一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆?。陶醉?9001900年，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：年，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“借助集合論概念，我們可借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈今天，我們可以說(shuō)絕對(duì)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了今天，我們可以說(shuō)絕對(duì)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了” 可是，好景不長(zhǎng)。可是，好景不長(zhǎng)。19031903年，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的年，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提

28、出的著名的羅素悖論。羅素悖論。 羅素構(gòu)造了一個(gè)集合羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S S：S S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問(wèn)：由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問(wèn)：S S是否屬于是否屬于S S呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定的集合，問(wèn)是否屬于它自己是有意義的。但對(duì)這個(gè)素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定的集合，問(wèn)是否屬于它自己是有意義的。但對(duì)這個(gè)看似合理的問(wèn)題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果看似合理的問(wèn)題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果S S屬于屬于S S，根據(jù)，根據(jù)S S的定義，的定義，S S就不屬于就

29、不屬于S S；反之，如果；反之，如果S S不屬于不屬于S S，同樣根據(jù)，同樣根據(jù)定義，定義，S S就屬于就屬于S S。無(wú)論如何都是矛盾的。無(wú)論如何都是矛盾的。 危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過(guò)對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過(guò)對(duì)集合定義加危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過(guò)對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過(guò)對(duì)集合定義加以限制來(lái)排除悖論，這就需要建立新的原則。以限制來(lái)排除悖論，這就需要建立新的原則?！斑@些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容

30、得以保存下來(lái)。廣闊，使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來(lái)。”19081908年，策梅羅在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理年，策梅羅在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系，后來(lái)經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn)，稱為化集合論體系，后來(lái)經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn)，稱為ZFZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。除陷。除ZFZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBGNBG系統(tǒng)等。系統(tǒng)等。常微分方程常微分方程柯西在分析方面最深刻的貢獻(xiàn)在常柯西在分析方面最深

31、刻的貢獻(xiàn)在常微分方程領(lǐng)域。他首先證明了方程解的微分方程領(lǐng)域。他首先證明了方程解的存在和唯一性。在他以前，沒(méi)有人提出存在和唯一性。在他以前，沒(méi)有人提出過(guò)這種問(wèn)題。通常認(rèn)為是柯西提出的三過(guò)這種問(wèn)題。通常認(rèn)為是柯西提出的三種主要方法，即柯西利普希茨法，逐種主要方法，即柯西利普希茨法，逐漸逼近法和強(qiáng)級(jí)數(shù)法，實(shí)際上以前也散漸逼近法和強(qiáng)級(jí)數(shù)法，實(shí)際上以前也散見到用于解的近似計(jì)算和估計(jì)?？挛鞯囊姷接糜诮獾慕朴?jì)算和估計(jì)?？挛鞯淖畲筘暙I(xiàn)就是看到通過(guò)計(jì)算強(qiáng)級(jí)數(shù)，可最大貢獻(xiàn)就是看到通過(guò)計(jì)算強(qiáng)級(jí)數(shù)，可以證明逼近步驟收斂，其極限就是方程以證明逼近步驟收斂，其極限就是方程的所求解。的所求解。 單復(fù)變函數(shù)單復(fù)變函數(shù)柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關(guān)于單復(fù)變函數(shù)論的。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們采用過(guò)上、下限是虛數(shù)的定積分。但沒(méi)有給出明確的定義?？挛魇紫汝U明了有關(guān)概念，并且用這種積分來(lái)研究多種多樣的問(wèn)題，如實(shí)定積分的計(jì)算，級(jí)數(shù)與無(wú)窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。 分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ)柯西在綜合工科學(xué)校所授分析課程及有關(guān)教材給數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分(即無(wú)窮小分析，簡(jiǎn)稱分