充分條件和必要條件含區(qū)分和例題

1、充分條件和必要條件解釋：如果有事物情況 A,則必然有事物情況 B;如果沒有事物情況 A,則必然沒有事物情 況B, A就是B的充分必要條件（簡稱：充要條件） 。簡單地說，滿足 A,必然B;不滿 足A,必然不B,則A是B的充分必要條件。（A可以推導(dǎo)出B ,且B也可以推導(dǎo)出 A）例如： 1. A= "三角形等邊"；B= "三角形等角”。2. A= "某人觸犯了刑律”；B= "應(yīng)當(dāng)依照刑法對他處以刑罰"。3. A= "付了足夠的錢"；B= "能買到商店里的東西”。例子中A都是B的充分必要條件：其一、 A必然導(dǎo)致B

2、;其二，A是B發(fā)生必需的。區(qū)分：假設(shè)A是條件，B是結(jié)論由A可以推出B由B可以推出A則A是B的充要條件（充分且必要條件）由A可以推出B由B不可以推出 A則A是B的充分不必要條件由A不可以推出B由B可以推出A則A是B的必要不充分條件由A不可以推出B由B不可以推出 A則A是B的不充分不必要條件簡單一點就是：由條件能推出結(jié)論，但由結(jié)論推不出這個條件，這個條件就是充分條件如果能由結(jié)論推出 條件，但由條件推不出結(jié)論。此條件為必要條件如果既能由結(jié)論推出條件，又能有條件推出結(jié)論。此條件為充要條件例子：1.充分條件：由條件 a推出條件b,但是條件b并不一定能推出條件 a,天下雨了，地面一定濕，但是地面濕不一定是

3、下雨造成的。2.必要條件：由后一個條件推出前一個條件，但是前一個條件并一定能推出后一個條件。我們把前面一個例子倒過來：地面濕了，天下雨了。我這里在簡單說下哲學(xué)上的充分條件和必要條件1 .充分條件是指根據(jù)提供的現(xiàn)有條件可以直接判斷事物的運行發(fā)展結(jié)果。充分條件是事物運行發(fā)展的必然性條件， 體現(xiàn)必然性的哲學(xué)內(nèi)涵。 如父親和兒子的關(guān)系屬于親情關(guān)系嗎？答 必然屬于。2 .必要性條件。事物的運行發(fā)展有其規(guī)律性，必要性條件是指一些外在或內(nèi)在的條件符合該事物的運行規(guī)律的要求，但不能推動事物規(guī)律的最終運行。如親情關(guān)系和父子關(guān)系，親情關(guān)系符合父子關(guān)系的一種現(xiàn)象表達(dá)，但不能推倒出親情關(guān)系屬于父子關(guān)系。集合表示：設(shè)A

4、、B是兩個集合，A是B的充分條件，即滿足 A的必然滿足B,表示為A包含于B;A是B的必要條件，即滿足 B的必然滿足 A,表示為A包含B,或B包含于A;A是B的充分不必要條件，即 A是B的真子集，表示為 A真包含于B ;A是B的必要不充分條件，即 B是A的真子集，表示為 A真包含B,或者B真包含于A;A是B的充分必要條件，即 A、B等價，表示為 A=B。其中包含與真包含的符號打不出，自己寫吧。不過這種表示方法非常的不嚴(yán)格，實際中A、B兩集合的元素未必是同一各類，而只是有一定的邏輯關(guān)系，所以這種表示法也只能在特別的情況下適用。例題：例1 已知p : x1 , x2是方程x2 + 5x 6 =。的兩

5、根，q : x1 + x2 = 5 ,則p是q 的A.充分但不必要條件B .必要但不充分條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件分析 利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)換.解 x1 , x2是方程x2 + 5x 6 = 0的兩根，x1 , x2的值分別為1 , 6 ,x1 +x2 = 1 6 = 5 .因此選A.說明：判斷命題為假命題可以通過舉反例.例2 p是q的充要條件的是A. p : 3x + 2>5, q： - 2x -3>- 5B . p : a >2 , b <2 , q ： a >bC. p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形D . p ： a w 0

6、 , q ：關(guān)于x的方程ax = 1有惟一解分析逐個驗證命題是否等價.解 對A. p ： x> 1 , q ： xv1,所以，p是q的既不充分也不必要條件；對B . p q但q p , p是q的充分非必要條件；對C . p q且q p , p是q的必要非充分條件；說明：當(dāng)a = 0時，ax = 0有無數(shù)個解.例3 若A是B成立的充分條件，D是C成立的必要條件，C是B成立的充要條件，則 D是A成立的A.充分條件B.必要條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件分析 通過B、C作為橋梁聯(lián)系 A、D .解,.飛是B的充分條件， A BD是C成立的必要條件，C D由得A C由得A D .D是A

7、成立的必要條件.選 B .說明：要注意利用推出符號的傳遞性.例4 設(shè)命題甲為：0VXV5,命題乙為|x 2| <3,那么甲是乙的 A.充分不必要條件B .必要不充分條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件分析先解不等式再判定.解解不等式|x - 2| v 3得1 v x v 5 .1 0<x<5 1vxv5,但一1vxv5 0vxv5，甲是乙的充分不必要條件，選A.說明：一般情況下，如果條件甲為xC A,條件乙為xC B.當(dāng)且僅當(dāng)A=B時，甲為乙的充要條件.例5 設(shè)A、B、C三個集合，為使 A (B U C),條件A B是A.充分條件B .必要條件C .充要條件D .既不

8、充分也不必要條件分析 可以結(jié)合圖形分析.請同學(xué)們自己畫圖.A (B U C).但是，當(dāng) B = N, C = R, A = Z 時，顯然A (B U C),住B不成立，綜上所述：“ A B ”“A (B U C) ”，而“A (B U C) ”“A B ” .即“ A B ”是“ A (B U C) ”的充分條怦必'要).選A .說明：畫圖分析時要畫一般形式的圖，特殊形式的圖會掩蓋真實情況.例6 給出下列各組條件：(1)p : ab = 0, q： a2 + b2 = 0;(2)p : xy > 0 , q ： |x| + |y| = |x + y| ;(3)p : m>0

9、, q：方程 x2 x m = 0有實根；(4)p : |x 1| >2, q ： xv1.其中p是q的充要條件的有A. 1組B. 2組C. 3組D. 4組分析使用方程理論和不等式性質(zhì).解(1)p是q的必要條件(2)p是q充要條件(3)p是q的充分條件(4)p是q的必要條件.選 A.說明：ab=0指其中至少有一個為零，而a2 + b2 =0指兩個都為零.分析 將前后兩個不等式組分別作等價變形，觀察兩者之間的關(guān)系.例8 已知真命題“a> b c>d”和“ av b e姆f"c*d”是“ ewf”的 條件.分析 a> b c班原命題),c< d a <

10、b(逆否命題).而 a v b e < f ,c< d e <SP c<d是e<f的充分條件.答填寫“充分”.說明：充分利用原命題與其逆否命題的等價性是常見的思想方法.例9 ax2 + 2x + 1 = 0至少有一個負(fù)實根的充要條件是A. 0 v aw 1 B . av 1C. a< 1 D.0vaW1 或a<0分析 此題若采用普通方法推導(dǎo)較為復(fù)雜，可通過選項提供的信息，用排除法解之.當(dāng)a =1時，方程有負(fù)根 x = -1,當(dāng)a=0時，x =當(dāng)aw 0時綜上所述a< 1 .即ax2 + 2x + 1 = 0至少有一個負(fù)實根的充要條件是a w 1

11、.說明：特殊值法、排除法都是解選擇題的好方法.例10 已知p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么s , r, p分別是q的什么條件？分析 畫出關(guān)系圖1 21 ,觀察求解.解 s是q的充要條件；(s r q , q s)r是q的充要條件；(r q , q s r)p是q的必要條件；(q s r p)說明：圖可以畫的隨意一些，關(guān)鍵要體現(xiàn)各個條件、命題之間的邏輯關(guān)系.例11 關(guān)于x的不等式分析 化簡A和B,結(jié)合數(shù)軸，構(gòu)造不等式(組)，求出a.解 A= x|2a WxWa2 4, B=x|(x 2)x (3a + 1) < 0B = x|2 < x < 3a 4.B = x|3a + 1 w x w 2說明：集合的包含關(guān)系、命題的真假往往與解不等式密切相關(guān).在解題時要理清思路，表達(dá)準(zhǔn)確，推理無誤.要條件？分析將充要條件和不等式同解變形相聯(lián)系.說明：分類討論要做到不重不漏.例13 設(shè)“，3是方程x2 ax + b = 0的兩個實根，試分析 a>2且b>1是兩根“，3均大于1的什么條件？分析把充要條件和方程中根與系數(shù)的關(guān)系問題相聯(lián)系，解題時需上述討論可知：a>2, b>1是a>1, 3 >1的必要但不充分條件.說明：本題中的討論內(nèi)容在二次方程的根的分布理論中常被使用.例14 （1991年全