人教課標(biāo)版(B版)高中數(shù)學(xué)第一章算法初步算法與程序框圖教案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.3 算法案例第 1、2 課時(shí)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)（1）教學(xué)目標(biāo)（a）知識(shí)與技能1. 理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析。2. 基本能根據(jù)算法語(yǔ)句與程序框圖的知識(shí)設(shè)計(jì)完整的程序框圖并寫出算法程序。（b）過程與方法在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過程中對(duì)比我們常見的約分求公因式的方法，比較它們?cè)谒惴ㄉ系膮^(qū)別，并從程序的學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)算法計(jì)算機(jī)處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的一般步驟。（c）情態(tài)與價(jià)值1. 通過閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。2. 在學(xué)習(xí)古代數(shù)

2、學(xué)家解決數(shù)學(xué)問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動(dòng)手實(shí)踐的能力。（2）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法。難點(diǎn)：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語(yǔ)言。（3）學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：在理解最大公約數(shù)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學(xué)規(guī)律，并能模仿已經(jīng)學(xué)過的程序框圖與算法語(yǔ)句設(shè)計(jì)出輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的程序框圖與算法程 序。教學(xué)用具：電腦，計(jì)算器，圖形計(jì)算器（4）教學(xué)設(shè)想（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題1. 教師首先提出問題：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過求最大公約數(shù)的知識(shí)，你能求出18 與 30的公約數(shù)嗎？2.

3、 接著教師進(jìn)一步提出問題，我們都是利用找公約數(shù)的方法來(lái)求最大公約數(shù)，如果公約數(shù)比較大而且根據(jù)我們的觀察又不能得到一些公約數(shù)，我們又應(yīng)該怎樣求它們的最大公約數(shù)？比如求 8251 與 6105 的最大公約數(shù)？這就是我們這一堂課所要探討的內(nèi)容。（二）研探新知1.輾轉(zhuǎn)相除法例 1 求兩個(gè)正數(shù) 8251 和 6105 的最大公約數(shù)。（分析：8251 與 6105 兩數(shù)都比較大，而且沒有明顯的公約數(shù)，如能把它們都變小一點(diǎn)， 根據(jù)已有的知識(shí)即可求出最大公約數(shù)）解：8251 = 6105X1 + 2146顯然 8251 的最大公約數(shù)也必是 2146 的約數(shù)，同樣 6105 與 2146 的公約數(shù)也必是 825

4、1 的約數(shù)，所以 8251 與 6105 的最大公約數(shù)也是 6105 與 2146 的最大公約數(shù)。6105=2146X2+18132146=1813X1+3331813=333X5+148學(xué)習(xí)必備歡迎下載333=148X2+37148= 37 X 4+ 0則 37 為 8251 與 6105 的最大公約數(shù)。以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前 300 年左右首先提出的。利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：第一步：用較大的數(shù) m 除以較小的數(shù) n 得到一個(gè)商 qo和一個(gè)余數(shù) ro；第二步：若 ro= 0,貝Un 為 m, n 的最大公約數(shù)；若。工

5、0，則用除數(shù) n 除以余數(shù) r。得到 一個(gè)商qi和一個(gè)余數(shù) ri;第三步：若 ri= 0,則 ri為 m, n 的最大公約數(shù)；若 riM0,則用除數(shù) r。除以余數(shù) ri得到 一個(gè)商 q2和一個(gè)余數(shù) “；依次計(jì)算直至 rn= 0,此時(shí)所得到的 rn-1即為所求的最大公約數(shù)。練習(xí)：利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081 與 20723 的最大公約數(shù)(答案：53)2. 更相減損術(shù)我國(guó)早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以 少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯出來(lái)為：第一步：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若

6、是，用2 約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步。第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)， 接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù)。例 2 用更相減損術(shù)求 98 與 63 的最大公約數(shù).解：由于 63 不是偶數(shù)，把 98 和 63 以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，即：98 63 = 3563 - 35= 2835 28= 728 - 7= 2121 - 7= 1414-7= 7所以，98 與 63 的最大公約數(shù)是 7。練習(xí)：用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)84 與 72 的最大公約數(shù)。(答案：12)3. 比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別(1) 都是求最

7、大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。(2)從結(jié)果體現(xiàn)形式來(lái)看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0 則得到，而更相減 損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到4. 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)計(jì)算的程序框圖及程序利用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的計(jì)算算法，我們可以設(shè)計(jì)出程序框圖以及BSAIC 程序來(lái)在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)，下面由同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)相應(yīng)框圖并相互之間檢查框圖與程序的正確性，并在計(jì)算機(jī)上驗(yàn)證自己的結(jié)果。(1)輾轉(zhuǎn)相除法的程序框圖及程序 程序框圖：學(xué)習(xí)必備歡迎下載程序：INPUT “ m= ;mINPUT “n=”;nIF mn THEN x=mm=nn=xEND IFr=m MOD nWHILE r0r=m MOD n m=nn=rWENDPRINT mEND5. 課堂練習(xí)一.用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各組數(shù)的最大公約數(shù)，并在自己編寫的BASIC 程序中驗(yàn)證。學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1) 225; 135(2) 98; 196(3) 72; 168(4) 153; 119二.思考：用求質(zhì)因數(shù)的方法可否求上述4 組數(shù)的最大公約數(shù)？可否利用求質(zhì)因數(shù)的算 法設(shè)計(jì)出程序框圖及程序？若能，在電腦上測(cè)試自己的程序；若不能說明無(wú)法實(shí)現(xiàn)的理由。三。 思考：利用輾轉(zhuǎn)相除