高中數學教參——函數圖像

1、精品教育- 可編輯 -第八節(jié)函數的圖象備考方向要明了 考什么怎么考1 .掌握函數圖象畫法.2 .會利用變換作函數圖象.3 .會運用函數圖象理解和研究函 數的性質，解決方程解的個數與 不等式的解的問題.4 .會用數形結合思想、轉化與化 歸思想解決函數問題.1 .由于題型的限制江蘇沒有單獨對圖象的畫法進行考查， 但不單獨考查，并不意味基本作圖的方法不用掌握.2 .函數圖象的考查主要是其應用如求函數的值域、單調區(qū) 間，求參數的取值范圍，判斷非常規(guī)解的個數等，以此考 查數形結合思想的運用，在每一年的江蘇高考中大量存 在，如2012高考T13、T18等.歸納知識整合1.利用描點法作函數圖象其基本步驟是列

2、表、描點、連線.首先：確定函數的定義域；化簡函數解析式；討論函數的性質（奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）.其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等），描點,連線.2.利用圖象變換法作函數的圖象平移變換:a>0,右移/單位r/ _、y=f(x)小o,左移|目個單位y= f(x_a)；b>0,上移b個單位y= f(x) b<。，下移|3個單位 >y= f(x)+ b.伸縮變換:10V G<1 ,伸長為原來的一倍CDy= f (x)i y= f(co )；G>1 ,縮短為原來的一CD A>1，伸為原來的A倍一、y=f(x) 0

3、VA <1,縮為原來的 a 倍 y=Af(x)-對稱變換:一、關于x軸對稱，、y= f(x)> y= f(x)；,關于資由對稱，y =f (x)> y= f( x)；關于原點對稱y= f (x)> y= f( 一 x).(4)翻折變換：、去掉y軸左邊圖，保留yffl右邊圖y=f(x)將y軸右邊的圖象翻折到左邊去,y=f(| x|)；留下x軸上方圖y= f(x)將x軸下方圖翻折上去> y= 1 f(x)|.探究1.函數y=f(x)的圖象關于原點對稱與函數丫=取)與y= f( x)的圖象關于原點對稱一致嗎？提示：不一致，前者是本身的對稱，而后者是兩個函數圖象間的對稱.

4、2 . 一個函數的圖象關于 y軸對稱與兩個函數的圖象關于y軸對稱有何區(qū)別？提示：一個函數的圖象關于 y軸對稱與兩個函數的圖象關于 y軸對稱不是一回事. 函數 y= f(x)的圖象關于y軸對稱是自身對稱，說明該函數為偶函數； 而函數y= f(x)與函數y= f( x)的圖象關于y軸對稱，是兩個函數的圖象對稱.3 .若函數y=f(x)的圖象關于點(a0)(a>0)對稱，那么其圖象如何變換才能使它變?yōu)槠婧瘮?？其解析式變?yōu)槭裁矗刻崾荆合蜃笃揭芶個單位即可；解析式變?yōu)?y= f(x+自測牛刀小試精品教育1.函數y= x| x|的圖象經描點確定后的形狀大致是 (填序號).x2， x>0，解析：

5、y=x|x|= 0, x=0,為奇函數，奇函數圖象關于原點對稱.2 x2， x<0答案：2 .函數y= ln(1 x)的圖象大致為 .解析：y= ln(1 x)=ln (x1),其圖象可由y= ln x關于y軸對稱的圖象向右平移一個 單位得到答案：3 .已知下圖(1)中的圖象對應的函數為y= f(x),則下圖(2)中的圖象對應的函數在下列給出的四個式子中，可能是(填序號)- 可編輯 -精品教育丫二f(l x|); y= | f(x)| ，、=_ f(| x|)； y= f(一 | x|).解析：由圖(1)和圖(2)的關系可知，圖(2)是由圖(1漁y軸左側的部分及其關于y軸對稱圖形構成的，

6、故符合.答案：4 . (2012 鹽城調砒若y= f(x)是定義在R上周期為2的周期函數，且f(x)是偶函數，當xC0,1時,f(x)=2x- 1,則函數 g(x)=f(x) log5|x| 的零點有 個.解析：分別作出函數 y=f(xD y= 10g5|x|的圖象，由此觀察知，在 y軸右側，有4個交 點，它們的橫坐標分別位于區(qū)間 (1,2)、(2,3)、(3,4后中，第四個零點恰好為 5,同理在y軸左 側，也有4個交點，故共有8個.答案：85 . (2012 鎮(zhèn)江模擬)函數f(x)是定義在 4,4上的偶函數，其在f x上的圖象如圖所示，那么不等式 <0的解集為cos x解析：利用函數f

7、(x)的圖象關于y軸對稱和余弦函數 y= cos x的圖象可知不等式的解集兀兀為-2，-1 u 1,2.兀兀答案：一2, - 1 u 1,2作函數的圖象例1分別畫出下列函數的圖象:(1)y=|lg(x1) ; (2)y= 2x+1 1;(3)y= x2| x| -2.自主解答（1）首先彳出y= lgx的圖象G,然后將Ci向右平移1個單位，得到y(tǒng)= lg（x1）的圖象C2,再把C2在x軸下方的圖象作關于x軸對稱的圖象，即為所求圖象 C3： y=|lg（x1）.如圖（1）所示（實線部分）.（2）y= 2x+11的圖象可由y=2x的圖象向左平移1個單位，得y= 2x+1的圖象，再向下平移一個單位得到

8、，如圖（2）所示.x>0,其圖象如圖（3）所示.x<0x2- x- 2尸 x2一1x1-2= x2+ x- 2- 可編輯 -畫函數圖象的一般方法(1)直接法：當函數表達式(或變形后白表達式)是熟悉的基本函數或解析幾何中熟悉的曲 線時，可根據這些函數或曲線的特征直接作出.2圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到， 可利用圖象變換作出， 但要注意變換順序， 對不能直接找到熟悉函數的要先變形，并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響3描點法：當上面兩種方法都失效時，則可采用描點法.為了通過描少量點，就能得到比較準確的圖象，常常需要結合函數的單

9、調性、奇偶性等性質討論1.分別畫出下列函數的圖象.2x+ 1(1)y=|x24x+ 3; (2)y= -(3)y=10|lg 刈X i 1解：(1)先畫函數y= x2-4x+ 3的圖象，再將其x軸下方的圖象翻折到x軸上方，如圖(1).2x+ 12 x+1 11(2)y=2 x+1x+1x+ 11可由函數y= 向左平移1個單位，再向上平移 2個單位得到，如圖(2). xX, (3)y= 1011g * = 1 x'x> 1,如圖(3). 0<x<1,例 2 (1)(2012(2)已知定義在區(qū)間cos 6x山東高翹數y= 2xz的圖象大致為 0,2上的函數 y=f(x)的

10、圖象如圖所示，則 y=f(2x)的圖象為cos 6xcos 6x自主解答(1)y= f(x) = 2x_2x,，f( x)=2x_2x=f(x).，f(x)是奇函數，其cos 6x圖象關于原點對稱，故錯；當x從正方向趨近。時，y= f(x)=趨近+8,故錯；2 2cos 6x當x趨近+ 8時，y= f(x) = T-；趨近0,故錯.2 2x 0<x<1,(2)法一：由y= f(x)的圖象知f(x) = 1 1<x<2 .當 xC 0,2時，2- xC 0,2,所以1 0<x<l ,f(2 x)=2-x 1<x<2,1 0 WxW1)故y= f(2

11、x)=圖象應為.x2 1<x<2.法二：當 x= 0 時，一f(2 x)=f(2) = 1;當 x=1 時，-f(2-x)=- f(1)= 1.觀察各圖象，可知圖象正確.答案(2)尋找圖象與函數解析式之間的對應法則的方法知圖選式：從圖象的左右、上下分布，觀察函數的定義域、值域；從圖象的變化趨勢，觀察函數的單調性；從圖象的對稱性方面，觀察函數的奇偶性；從圖象的循環(huán)往復，觀察函數的周期性.利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確的選項.(2)知式選圖：從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

12、從函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項.注意聯(lián)系基本函數圖象和模型，當選項無法排除時， 代特殊值，或從某些量上尋找突破口.x2.函數y= g 2sin x的圖象大致是 解析：當x=0時，y=0,故錯；當x=2時,y= < <4,故錯；當Xf 十 00時，y>0 , 故錯.答案：3. (2012 杭州模擬已知函數f(x)的圖象如圖所示，則 f(x)的解析式可能是 .f(x)= x2 2ln | x| ;f(x)= x2 ln | x| ;f(x)=|x| 2ln | x| ;f(x)= | x| In | x|.解析：由函數圖象可得，函數f

13、(x)為偶函數，且x>0時，函數f(x)的單調性為先減后增，最小值為正，極小值點小于 1,分別對選項中各個函數求導，并求其導函數等于0的正根,:2可分別得1, /, 2,1,由此可得僅函數f(x)=x2- ln | x|符合條件.答案：函數圖象的應用一一 x2 11 ,-皿、例3 (2012 天津圖考)已知函數丫=二的圖象與函數y= kx- 2的圖象恰有兩個交x 1點，則實數k的取值范圍是.自主解答先去掉絕對值符號，在同一直角坐標系中作出函數的圖象，數形結合求解.根據絕對值的意義,|X21|V=不丁x+1 x>1 或 x< 1-x- 1 - 1 <x<1在直角坐標

14、系中作出該函數的圖象,如圖中實線所示.根據圖象可知，當0<k<1 或 1<k<4時有兩個交點.答案(0,1)U(1,4)若將“y=kx 2”改為“y= kx”，k的取值范圍是什么?解：函數可表示為x+ 1, x>1 或x< 1,圖象為如圖所示的實線部分，數形結合可知,-x- 1, 1<x<1 ,要使兩函數圖象有兩個交點，則 ke (0,1)U (1,2).1 .利用函數的圖象研究函數的性質從圖象的最高點、最低點分析函數的最值、極值； 從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等.2 .利用函數的圖象研究方程根的個

15、數,有關方程解的個數問題常常轉化為兩個熟悉的函數的交點個數；利用此法也可由解的個數求參數值.a, a- b< 1,4.對實數a和b,定義運算“ ？”:a? b=設函數 f x =(x22)? (xb, a- b>1.-1),x R.若函數y=f(x)c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數c的取值范圍是 a, a- b< 1, 解析：: a? bb, a- b>1,. 函數 f(x)=(x 答案：2, 1 U(1,22)? (x- 1)x2- 2, 1<x< 2,x- 1, x< 1 或x>2.結合圖象可知，當cC(2, 1U(1,2時，函數。刈與丫

16、= c的圖象有兩個公共點，c的取值范圍是(一2, 1U(1,2.答案：(一2, 1U(1,215.已知a>0 ,且aw 1, f(x) = x2- ax,當xe (1,1)時，均有f(x)<,則實數a的取值范圍是11解析：由題知，當 xC(1,1)時，f(x) = x2 ax<2,即 x2-<ax.在同1一坐標系中分別作出二次函數y=x2-2,指數函數y= ax的圖象，如圖，1當xC(1,1)時，要使指數函數的圖象均在二次函數圖象的上方，需 -1W aw 2且aw 1.故實數a的取值范圍是2< ok 1或1vaw 2.1個易錯點一一圖象變換中的易錯點在解決函數圖象

17、的變換問題時，要遵循“只能對函數關系式中的x, y變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對應的解析式，這樣才能避免出錯.3個關鍵點一一正確作出函數圖象的三個關鍵點為了正確地作出函數圖象，必須做到以下三點：（1）正確求出函數的定義域；（2）熟練掌握幾種基本函數的圖象，如二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、1哥函數、形如y=x+-的函數；x（3）掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來 幫助我們簡化作圖過程.3種方法識圖的方法對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：（1）定性分

18、析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；（2）定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；（3）函數模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數模型，利用這一函數模型來分析解決問題易誤警示一一作圖不準確或數與形不吻合致誤典例(2011 新課標全國卷)函數y=-的圖象與函數 y= 2sin儂(一 2<x< 4)的圖象1 x所有交點的橫坐標之和等于 1 1解析由題意知y=一=;的圖象是雙曲線，且關于點 1x x-12兀(1,0)成中心對稱，又 y= 2sin水的周期為T = - = 2,且也關于點兀(1,0)成中心對稱

19、；因此兩圖象白交點也一定關于點(1,0)成中心對稱，再結合圖象(如圖所示)可知兩圖象在2,4計有8個交點，因此8個交點的橫坐標之和X1 + X2+ + %=4 X 2=8.答案8易誤辨析(1)如果作出的函數圖象比較粗糙，極易造成區(qū)間(1,2注的兩個交點遺漏，從而致錯. 1 一、 一， . .3,一 .一.、(2)如果作函數 y= 的圖象不夠準確，只注意到圖象過點2, - 1 ,極易忽視區(qū)間32, 2上的交點，從而致錯.1(3)如果不能正確地挖掘函數y=匚1及y= 2sin x( 2<x< 4)的圖象均關于點(1,0對稱,從而無法求出交點橫坐標的和.(4)解決此類問題，避免在解題過程

20、中出現(xiàn)失誤，應關注以下幾點：平時涉及函數圖象的問題時，要規(guī)范準確地畫出圖象，切忌不用尺規(guī)草草完成.加強通過解析式分析其圖象的對稱性、周期性等性質的訓練以提高解決這類問題的能力.訓練由圖分析其函數性質的解題技巧.變式訓練|2x1|, x<2,1.已知函數f(x) =x> 2,若方程f(x)a= 0有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍為|2x-1| , x<2,解析：因為方程f(x)- a= 0的根，即是直線 x=a與函數f(x) =3,x> 2,x 1,'的圖象交點的橫坐標，畫出函數圖象進行觀察可以得知,a的取值范圍是(0,1).答案：(0,1)2.已知a, b

21、, c依次是方程 2x+x=0, log2x=2x和log2x=x的實數根，則 a, b, c 的大小關系是.解析：由 2x+ x= 0,得 2、= x,分別作出y=2x, y= x的圖象，如圖（1）,兩圖象交點的橫坐標即為a,可得a<0.同理，對于方程log2x= 2-x,可彳#圖（2）,得 1<b<2 ；1對于方程log2x=x,可得圖（3）,得0<c<1 ,所以a<c<b.答案：a<c<b、填空題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）x2 x<0 ,1 .函數y=、.的圖象大致是2x1 x>0解析：當x<0時，函

22、數的圖象是拋物線；當x>0時，只需把y= 2x的圖象在y軸右側的部分向下平移1個單位即可，故大致圖象為.答案：2 .把函數y= f(x)=(x 2)2+ 2的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，所得圖 象對應的函數的解析式是 .解析：把函數y= f(x)的圖象向左平移1個單位，即把其中 x換成x+ 1,于是得y= (x + 1)-22+2=(x- 1)2+2,再向上平移 1 個單位，即得到 y= (x-1)2+2+1 = (x-1)2+ 3.答案：y=(x1)2+34x+ 13 . (2012 泰州調砒函數f(x) = 一落的圖象關于 對稱. x+ 1 1 + 4x解析：f( x)

23、 = 2 x = 2X = f(x)，f(x)是偶函數，圖象關于 y軸對稱.答案：y軸8x-8,x< 1,4.已知函數f(x)=g(x)=log2x,則函數f(x)與g(x)的圖象有0, x>1 ,個交點.解析：如圖，易知f(x)與g(x)兩函數圖象的交點個數為 2.答案：25. (2013 啟東質檢已知定義在0, +8 )上的函數y=f(x)和y= g(x)的圖象如圖所示, 則不等式f(x) g(x)>0的解集是 .1解析：由題圖可知，當 0<x<2時，f(x)>0, g(x)>0 ；1當2Vx<1 時，f(x)>0 , g(x)<

24、0;當 1<x<2 時，f(x)<0 , g(x)<0 ,當 x>2 時，f(x)>0, g(x)>0,因此f(x) g(x)>0的解集是1x 0<x<2，或 1<x<2或x>2 .1答案：x 0<x<5，或 1<x<2或x>22 x 1x<06. (2012 煙臺模擬f(x)的定義域為R,且f(x)= fx- 1x>0若方程f(x) = x+ a有兩個不同實根，則 a的取值范圍為解析：xwo 時，f(x)= 2 x 1,0< xwi 時，1<xf(x)是周期函數

25、.如f(x) = f(x - 1) = 2(x 1) - 1 ,故x>0圖.欲使方程f(x) = x+a有兩個不同的實數解，即函數f(x)的圖象與直線y= x+ a有兩個不同的交點，故a<1.答案：(一巴1)7.若關于x的不等式2 x2>| xa|至少有一個負數解，則實數a的取值范圍是 解析：在同一坐標系中畫出函數f(x)=2x x-有四個公共點，則實數 k的取值范圍是 x, g(x)=|x a|的圖象，如圖所示.若 aw 0,則其臨界情況為折線 g(x)= | xa|與拋物線f(x)=2x2相切，由2-x2= xa可得x2+xa9 2=0,由= 1+4-(a+ 2)=0,解

26、得a=若a>0,則其臨界情況為兩函數圖象的交點9為(0,2),此時a= 2.結合圖象可知，實數a的取值范圍是 一4, 29答案：-4.2lg x, 0< x< 10 ,8. (2012 蘇州模擬已知函數f(x)=1若a, b, c互不相等，且-2x+6 , x>10,f(a)=f(b)=f(c),則a+ b + c的取值范圍是 1解析：令2x+ 6= 0,得x=12.因為a, b, c互不相等，令a<b<c,作出f(x)的圖象.令f(a)=f(b)=f(c)=t,則根據圖象可得1va<10, b+c= 2X12=24,故 a+ b+cC (25,34)

27、.答案：(25,34)19 . (2012 南京模擬在平面直角坐標系 xOy中，若直線y= kx+ 1與曲線y= x+ x2x，91， x1解析：由題意得y= x+x1x一 x是偶函數，且2x, - 1<x< 0,y='c/2x, 0<x< 1,作出曲線的圖象(如圖所示).當k=0時，直線y=kx+ 1與曲線y= x+J x：有四個公共點； 當k>0時，要使 x x22它們有四個公共點，則需y= kx+1與y= (xw1)有一個公共點，此時kx+ 1 = -,即xx方程kx2+ x+2 = 0有兩個相等的實數解，從而 = 1-8k= 0,故k=：；當k&l

28、t;0時，根據對 8稱性可得k= 1.從而滿足條件的k的取值范圍是 1, 0, 1 . 888答案：1，0，1 8810 . (2012 常州模擬對于函數y=f(x)(xC R),給出下列命題：在同一直角坐標系中，函數y= f(1 *)與丫= f(x1)的圖象關于直線 x= 0對稱；若f(1 x)= f(x1),則函數y= f(x)的圖象關于直線 x= 1對稱；若f(1 + x)=f(x-1),則函數y= f(x)是周期函數;若f(1 x)=f(x1),則函數y= f(x)的圖象關于點(0,0網稱.其中所有正確命題的序號是解析：對于：函數 y=f(外與y= f(x)的圖象關于y軸對稱，即直線x

29、=0對稱.又f(1 -x)=f-(x- 1),即y= f(1 x)的圖象是由y= f( x)的圖象向右平移1個單位得到的，同理 y= f(x 1)的圖象是由y= f(x)的圖象向右平移1個單位得到的，所在函數 y= f(1 *)與丫= f(x 1)的圖象關于直線 x= 1對稱，所以命題錯誤；對于：若 f(1 x) = f(x 1),則令 t= 1- x,則 x- 1 = t,所以 f(t)=f( t),即 f(x) = f( x).所以其圖象關于直線 x= 0對稱，所以命題錯誤；對于：令 t= 1 + x,則 x=t1,所以 x- 1 = t2.由 f(1 + x)=f(x廿導 f(t)=f(

30、t2),所以f(x)是周期為2的周期函數，所以命題正確；對于：若 f(1-x)=- f(x- 1),則令 t=1 x,則 x-1 = - t,所以 f(t)=f( t),其圖象關于點(0,0)對稱，所以命題正確綜上所述，正確.答案：二、解答題(本大題共4小題，共60分 )11 .(滿分 14 分)作出下列函數的圖象：(1)y=|x22x1 , (2)y= x2 2|x|1解析：(1)當 x2 2x1 RO 時，y= x22x 1,當 x22x 1v0 時，y= x2+2x+1,作 圖步驟：作出函數y= x2- 2x1的圖象，將上述圖象x軸下方部分以x軸為對稱軸向上 翻折(上方部分不變)，即得y

31、=|x22x1的圖象，圖象(1)所示.(2)當 xRO 時，y=x2- 2x-1,當 xv 0時，y= x2+2x 1作圖步驟：作出 y= x2-2x- 1的圖象；y軸右方部分不變，再將右方部分以 y軸為對稱軸向左翻折，即得 y= x22|x| 1 的圖象，如圖(2)所示12 .(滿分 14 分)(2013 昆山模擬已知函數 f(x) = x| mx|(xC R),且 f(4)=0.求實數m的值；(2)作出函數f(x)的圖象；根據圖象指出f(x)的單調遞減區(qū)間；根據圖象寫出不等式f(x)>0的解集；(5)求當xC 1,5)時函數的值域.解：(1)-. f(4)=0,4|m-4|=0,即

32、m= 4.(2)f(x)= x|4 x|x x-4 =x-2 2 4, x> 4,-x x-4 = x- 2 2 + 4, x<4.f(x)的圖象如圖所示.(3)f(x)的單調遞減區(qū)間是2,4.(4)由圖象可知，f(x)>0的解集為x0< x<4 ,或x>4.(5).f(5)=5>4,，由圖象知，函數在1,5)上的值域為0,5).113.(滿分16分)設函數f(x) = x+-的圖象為 G, &關于點A(2,1)對稱的圖象為 C2, C2對 x應的函數為g(x).(1)求g(x)的解析式；(2)若直線y= m與C2只有一個交點，求 m的值和交點坐標.解：(1)設點P(x, y)是C2上的任意一點，1則P(x, y)關于點A(2,1網稱的點為 P' (4詼,2y),代入f(x)=x+-,可得2y= 4-x