類比探究專題

1、類比探究專題例1 如圖1,在等腰直角 ABC和等腰直角 CDE中，CD>BC點(diǎn)C, B, D在同一直線上， M是AE的中點(diǎn)，易證 MDL MB MD=MB(1)如圖2,將圖1中的4CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45° ,使4CDE的斜邊CE恰好與 ABC的邊BC垂直,題干中的其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立?(2)將圖2中的4ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)大于0°且小于45。的角，如圖3所示，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.例2如圖1,在ABC中，AC BC, C 120, d在BC邊上。 BDE為等邊三角形，連接AE , F為AE中點(diǎn)，連CF，DF。請(qǐng)直接寫出CF、DF的關(guān)系，不必說明理由

2、；若將圖1中的DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ,其它條件不變，請(qǐng)作出相應(yīng)圖形，并直接給出結(jié)論，不 必說明理由。將圖中的DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0° V <60° ),其它條件不變，如圖 2,試回答中的結(jié)論是否成立？并說明理由。例3 (1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,在矩形ABCD43, E是BC的中點(diǎn)，將 ABE沿AE折疊后得到 AFE點(diǎn)F 在矩形ABCDrt部，延長AF交CD于點(diǎn)G.猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.(2)類比探究：如圖2,將(1)中的矩形ABC/為平行四邊形，其它條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明 理由.圖1圖2例4已知：如圖所示，直線M

3、A/NB, MAB與NBA的平分線交于點(diǎn)C ,過點(diǎn)C作一條直線l與 兩條直線MA NB分別相交于點(diǎn)D、E.(1)如圖1所示，當(dāng)直線l與直線MA垂直時(shí)，猜想線段 AD、BE、AB之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出 結(jié)論，不用證明；(2)如圖2所示，當(dāng)直線l與直線MA不垂直且交點(diǎn) D、E都在AB的同側(cè)時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成 立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)直線l與直線MA不垂直且交點(diǎn)D、E在AB的異側(cè)時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)說明理由；如果不成立，那么線段AD、BE、AB之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？如果存在，請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系.1例5在 ABC中，/ A=

4、 90° ,點(diǎn)D在線段BC上，/ EDB= 2 / c, BU DE,垂足為 E, DE與AB相交于 點(diǎn)F.(1)當(dāng)AB= AC時(shí)(如圖1),/ EBF=° ;探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；BE(2)當(dāng)AB= kAC時(shí)(如圖2),求FD的值(用含k的式子表示).例 6 如圖 1,在 RtABC中，/ ACB=90 , CDL AB,垂足為 D,點(diǎn) E在 AC上，BE交 CDT點(diǎn) G, EFLBE交AB于點(diǎn)(1)如圖(2)如圖(3)如圖F, AC=mBCCE=nEA( m, n為實(shí)數(shù)).試探究線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系.2,當(dāng)m=1, n=1時(shí)，求EF與EG的數(shù)量關(guān)

5、系.3,當(dāng)m=1, n為任意實(shí)數(shù)時(shí),EF與EG的數(shù)量關(guān)系.EF與EG的數(shù)量關(guān)系.CCCEEGGEGBDBBDA且DE與CA的延長線交于點(diǎn)PDE與AC的延長線交于點(diǎn)PNENPPBCEPBCECB圖1B為一銳角頂點(diǎn)M D例7在等腰直角三角形作 RtABDE /BDE=90 ,A F1, DE與AC交于點(diǎn)P,易證：BD=DPA F則BD=DPl!否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立MADM D AABC中，/ BAC=90 , AB=AC 直線 MN±點(diǎn)1點(diǎn)D在直線MNLh (不與點(diǎn)A重合).如圖A NA F D(1)在圖2 請(qǐng)說明理由.(2)在圖3圖2圖31,當(dāng)m n均為任意實(shí)數(shù)時(shí),

6、例 8 如圖 1 ,在 Rt ABC中，/ BAC=90 , 。aOB交BC于點(diǎn)E.AD)± BC于點(diǎn)D,點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，連接 BQ交AD于點(diǎn)F,(1)求證：ABFS/XCOE ；AC(2)如圖2,當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，ABAC(3)如圖3,當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，AB2時(shí),OF求OE的值;OF n時(shí)，請(qǐng)直接寫出OE的值.例9如圖1,已知/ MAN=120 , AC平分/ MAN / ABCW ADC=90 ,可以證明： DC=BC AC = AB+AD.(1)如圖2,把題干中的條件"/ ABC=/ ADC=90 "改為/ ABC吆ADC=180 ,其他條件不變，證明結(jié)

7、 論和結(jié)論仍然成立.(2)如圖3,如果D在AM的反向延長線上，把題干中的條件ABCW ADC=90 "改為/ ABC=/ ADC其他條件不變，結(jié)論和是否仍然成立？成立，請(qǐng)證明； 不成立，請(qǐng)說明理由.例10 如圖，在等邊三角形 ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接 AD,作/ ADN=60 ,直線 口位射線 AB于 點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF/ AB交直線DN于點(diǎn)F.(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，/ ND昉銳角時(shí)，如圖1,求證：CF+BE=CD (提示：過點(diǎn) F作FM/ BC交射 線AB于點(diǎn)M(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上，/ NDB為銳角時(shí)，如圖2;當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上，/ ND昉 鈍角時(shí)，

8、如圖3,請(qǐng)分別寫出線段 CF, BE, CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明.(3)在(2)的條件下，若/ ADC=30 , S*Aabc 4透 貝u be=? CD=圖3例11已知， ABC為等邊三角形，點(diǎn) D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) D不與日C重合).以AD為邊作菱形 ADEF 使 / DAF=60° ,連接 CF.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：/ ADB=/ AFC;請(qǐng)直接判斷結(jié)論/ AFC=/ ACB+ / DAC否成立；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時(shí)，其他條件不變，結(jié)論/AFC=Z ACBF / DAC否成立？請(qǐng)寫出/AFC /ACB / DAC之間存在的數(shù)量關(guān)

9、系，并寫出證明過程；(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上時(shí)，且點(diǎn) A、F分別在直線BC的異側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)補(bǔ)全 圖形，并直接寫出/ AFC /ACB / DAC之間存在的等量關(guān)系.E例12 (1)閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1, ABC中，若AB=5, AC=3求BC邊上的中線 AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E,使得DE=AD再連接BE (或?qū)?ACD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到 EBD ,把AR AC、2AD集中在 ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2VAE< 8,則 1<AD< 4.感悟：

10、解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.(2)問題解決：受到(1)的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖 2,在 ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE! DF, DE交AB于 點(diǎn)E, DF交AC于點(diǎn)F,連接EF.求證：BE+CF> EF;若/ A=90° ,探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明.(3)問題拓展：如圖3,在四邊形 ABD計(jì)，/ B+/ C=180° , DB=DC / BDC=120 ,以D為頂點(diǎn)作一個(gè) 60°角，角的兩 邊分別交AB AC于E

11、、F兩點(diǎn)，連接EF,探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.圖1圖2圖3例13如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線.例如，平行四邊形的一條對(duì)角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線.(1)三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有 ;(2)如圖1,梯形ABCD, AB/ DC如果延長 DC到E,使CE= AB,連接AE,那么有S梯形abca Saadee.請(qǐng) 你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過點(diǎn)A作出梯形ABC而面積等分線(不寫作法，保留作圖痕跡)；(3)如圖2,四邊形ABCD43, AB與CD

12、不平彳T, SAADC>SAABC；過點(diǎn)A能否作出四邊形 ABC而面積 等分線？若能，請(qǐng)畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由.圖1圖2閱讀下列材料：問題：如圖1,在四邊形 ABCD中，M是BC邊的中點(diǎn)，且 AMD 90，試判斷AB+CD與AD之間的大 小關(guān)系。小雪同學(xué)的思路是：作 B點(diǎn)關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)巳連接AE、ME、DE,構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題 得到解決。請(qǐng)你參考小雪同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：寫出上面問題中 AB+ CD與AD之間的大小關(guān)系；如圖2,若將 AMD的度數(shù)改為120° ,原問題中的其他條件不變,1證明：AB -BC CDAD;2圖2如圖3,若

13、 AMD 135 , AB 1, BC 2衣，求AD的最大值。解決類比探究問題的處理思路1 .若屬于類比探究常見的結(jié)構(gòu)類型，調(diào)用結(jié)構(gòu)類比解決.類比探究常見結(jié)構(gòu)： 中點(diǎn)結(jié)構(gòu) ?？紤]平行夾中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)i特征：等線段共點(diǎn)平行結(jié)構(gòu)作平行，造相似直角結(jié)構(gòu)i “斜直角放正”2 .若不屬于常見結(jié)構(gòu)類型： 根據(jù)題干條件，結(jié)合分支條件先解決第一問.類比解決下一問.如果不能，分析條件變化，尋找 不變特征. 結(jié)合所求目標(biāo)，依據(jù)不變特征，大膽猜測(cè)、嘗試、驗(yàn)證.借助上面填寫的內(nèi)容，做下面的小題【試題1】如圖1,在等腰直角 ABCm等腰直角 CD計(jì)，CD>BC點(diǎn)C, B, D在同一直線上，M是AE的中點(diǎn)，易證 MD

14、L MB MRMB45° ,使 CDEE勺斜邊CE恰好與 ABC勺邊BC垂直，題(1)如圖2,將圖1中的 CD瞰點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)干中的其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？(2)將圖2中的 ABCg點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)大于0DEDDMBAAMMCECEC要證明圖由M是AE的中點(diǎn)發(fā)現(xiàn)有結(jié)構(gòu)D可以得到 ABM2AENIMMACDAM能夠得到ABPM2AECNAAB陣 AENMECN分析AB/ CE補(bǔ)全進(jìn)而得到BM=M;N進(jìn)一步證明 BC里ANEID可以得/NED請(qǐng)?jiān)趫D中給出簡要證明；第四步根據(jù) DBN等腰直角三角形，得到結(jié)論 MDLMB MD=MB1和圖21中的結(jié)論 DBN是等腰直角三角形平行夾

15、中點(diǎn)”的結(jié)構(gòu)，照搬圖1中的證明思中沒有發(fā)生變化的是M是AE的中點(diǎn)到DBN等腰直角三角形，得到結(jié)論 MDLMB MD=MB(2)圖2和圖3兩個(gè)等腰直角三角形沒有變化，M是AE的中點(diǎn)也沒有發(fā)生變化，所以可以照搬(證明思路.A BN . E第一步構(gòu)造“平行夾中點(diǎn)”的輔助線，過點(diǎn) E作AB的平行線 交BM勺延長線于點(diǎn)N,連接BD DN延長ENM延長BM交DE于點(diǎn)N 進(jìn)而彳#至| BM=MNAB=BC=EN ：DN=D B.DBN等腰直角三角形，.MDLMB MD=MB的角，如圖3所示，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.且小于45OO【試題2】如圖1,已知/ MAN120 , AC平分/ MAN / ABB/ADC9

16、0° ,可以證明DGBCAC= ABAD(1)如圖2,把題干中白條件“/ AB0/ADC90。"改為/ ABG/ADC180。，其他條件不變，證明結(jié)論 和結(jié)論仍然成立.(2)如圖3,如果D在AM的反向延長線上，把題干中的條件/ ABG/ADG90。"改為/ ABG/ADC其他條件不變，結(jié)論和是否仍然成立？成立，請(qǐng)證明；不成11角平分線的性質(zhì)得到 DGBC結(jié)論成立，利用含 30。角的直角三角形中 AB 2 ac ad - AC證2'2明結(jié)論成立.2. 第二問與第一問相比，垂直、直角三角形特征已經(jīng)變化，但_/ MAN120 , AC平分/ MAIW有發(fā)生變化，

17、屬于不變特征，考慮角平分線的性質(zhì)，構(gòu)造與圖1 一致的三角形，添加輔助線證明的路線圖為第一步：輔助線.第二步：由題干可知ACDAE, AF的關(guān)系是第三步： CEX(條彳+是),得到 ED=FB CD=C B第四步：AC=AE+AF=FB+AD+AF=AD +AB均成立.,沒有發(fā)生變化，照搬上一問的證明思路.第一步 第二步 第三步 第四步 【試題輔助線，由題干可知AC=AE+AF結(jié)論成立，結(jié)論變?yōu)?1】在等腰直角三角形 ABC43, / BA(=90 , AB省C直線MNi點(diǎn)A且MIN/ BC.以點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作 RtABDE/ BDE90 ,且點(diǎn)D在直線MN± (不與點(diǎn) A重合).如圖1, DE與AC交于點(diǎn)P,易證：B®DP(1)在圖2 請(qǐng)說明理由.(2)在圖3中,中,DE與CA的延長線交于點(diǎn)DE與AC的延長線交于點(diǎn)P,P,則BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立,BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，無需證明.方法一首先梳理易證的思路,“斜直角放正”，過點(diǎn)D作DFL MN線段AB于點(diǎn)F;發(fā)現(xiàn)等線段共點(diǎn)，考慮“旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)”，可得DF睦ADAP所以BD=DR梳理路線圖：過D作DF± M岐線段AB于