立體幾何基本定義2021

1、側(cè)面積體積直棱柱S側(cè)chV S底 h正棱錐S側(cè)- c h21V 3S底 h正棱臺1 ''S側(cè)2(c c) hV h S 屆 S'3圓柱S側(cè)c h 2 rhV S底 h r2h圓錐SfiOS扇形rlV -?底 h ；h33圓臺1 's側(cè)S扇環(huán)(c c) 12(R r)1V 丄 h S TSS S'3122-h R2 Rr r23球2S球 4 RV - R33S:知一求三 面積Sa、外接圓半徑 R、切圓半徑r、面積 外接圓半徑R正多邊形的邊長 邊長a外接圓 正三角形切圓半徑r正方形正六邊形相關(guān)棱柱幾何體系列斜棱柱、棱柱.3a33a6逅2a4a2(棱柱、斜棱柱

2、、.3a2直棱柱、正棱柱)的關(guān)系:棱垂直于底面直棱柱底面是正多形正棱柱直四棱柱 平行六面體=直平行六面體.其他棱柱L四棱柱工底面是平行六面體 側(cè)棱垂直直平行六面體一長方體 底面形平行四邊形底面矩形正萬形側(cè)面與*正四棱柱底面邊長相等正方體幾類特殊的平行六面體:平行六面體直平行六面體 長方體正四棱柱 正方體；1.3棱柱的性質(zhì)：側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形; 過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面與對角面是矩形。1.4長方體的性質(zhì)：1在長方體(a, b,c)中： 體對角線長為.a2 b2 c2，外接球直徑2R 棱長總和為4(a b

3、 c)；全(表)面積為2(ab5在立方體中：設正方體的棱長為a，那么體對角線長為. 3a，全面積為6a2，體積V2r2 . 3a , 2r2、- 2a A : r2: r3 a2 b2bc2c ；ca)，體積 V abc；a3，切球半徑為G外接球半徑為與十二條棱均相切的球半徑為r3，那么2r1 a ,側(cè)面展開圖：正n棱柱的側(cè)面展開圖是由 棱長為鄰邊的矩形3.1棱錐一一有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這 些面所圍成的幾何體叫做棱錐。正棱錐一一如果有一個棱錐的底面是正多邊形，面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3.2棱錐的性質(zhì)：n個全等矩形組成的以底面周長和側(cè)并且頂點在底面的射影

4、是底棱垂直頂點在底上射影為底面垂心；斜咼長相等側(cè)面與底面所成角相等且頂點在底上在底面頂點在底上射影為底面心2在正四面體 中：設棱長為a，那么正四面體中的一些數(shù)量關(guān)系全面積S3a2 ；體積V a3 :對棱間的距離 d a ；12 21arccos_ ；外接球半徑3arccos；arccos363a相鄰面所成二面角6r a ；正四面體任一點到各面距離之和為定值12外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式6一 a；切球半徑4h 6h a.33直角四面體的性質(zhì)： 直角四面體一三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體在直角四面體oO ABC中，OA, OB,OC兩兩垂直，令OA a, OB b,OC c,那么底面三角

5、形ABC為銳角三角形直角頂點O在 平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比； 正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形； 正棱錐中六個元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構(gòu)成四個直角三角形。如上圖：VSOB,VSOH,VSBH,VOBH為直角三角形二、1正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心注:i.正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形不是等邊三角形ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：假設一個棱錐的各個側(cè)面都是全等

6、的等腰三角形即側(cè)棱相等；底面為正多邊形在正三棱錐中：側(cè)棱長相等 側(cè)棱與底面所成角相等頂點在底上射影為底面外心；側(cè)棱兩兩垂直兩對對4.1圓錐一一以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍 成的幾何體叫圓錐。4.2圓錐的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距 離與頂點到底面的距離之比；軸截面是等腰三角形；如右圖：VSAB母線側(cè)面軸截面底面的射影H為三角形ABC的垂心；S2 BOCS BHC gS ABC ；25棱臺一用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的局部為棱臺5.2正棱臺的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形;正

7、棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是正多邊形; 如右圖：四邊形 O'MNO,O'B'BO都是直角梯形如右圖：I2 h2 r2.底面4.3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。6.1圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的局部叫做 圓臺.圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)；6.2圓臺的性質(zhì)：圓臺的上下底面，與底面平行的截面都是圓；圓臺的軸截面是等腰梯形；SrA圓臺經(jīng)常補成圓錐來研究。如右圖：VSO'A與VSOB相似，注意相似比的應用7.4球面積、體積公式：S球4 R2 ,V球 - R3 其中R為球的半徑3三、球心與截面圓心的連

8、線垂直于截面; r . R2d2球心到截面的距離為 d、球的半徑為 R、截面的半徑為r 棱臺經(jīng)常補成棱錐研究如右圖：VSO'M與VSON,VS'O'B'與VSOB相似，注意考慮相似比掌握球面上兩點 A、B間的距離求法：計算線段 AB的長；計算球心角AB的長.【知識點歸類點撥】數(shù)學上，某點的經(jīng)度是：經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的平面與本初AOB的弧度數(shù)；用弧長公式計算劣弧午線00經(jīng)線和地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。某點的緯度是：經(jīng)過這點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù)。如圖：圖1：經(jīng)度一一P點的經(jīng)度，也是 AB或 AOB的度數(shù)。 圖2：緯度一一P點的緯度，也是PA

9、或 POA的度數(shù)。2005高考卷設地球的半徑為 R，假設甲地位于北緯75東經(jīng)120，那么甲、乙兩地的球面距離為5A3R B歹 RC Rv 6 645東經(jīng)120，乙地位于南緯2(D)尹BA B(1)答案：D如下圖東經(jīng)120o與北緯45°線交于A點東經(jīng)120o與南緯75o線交于C點,設球心為B點從而 ABC 45o, DBC 75o ABD 120°以B點為圓心過A、c、D的 R.o大圓上ACD即為所求.ACD 2 R 120 360°如右圖，設A B C、D為球O上四點，假設ABACAD兩兩互相垂直，且 AB AC 6， AD 2，貝A D兩點間的球3面距離【解析】

10、因為 AB AC AD兩兩互相垂直，所以分別以AB AC AD為棱構(gòu)造一個長方體，在長方體的體對角線為球的直徑，球的直徑2R J&62 佝 224，所以球半徑為 R2,在正三角形AOD中， AOD ，32R .336.3 二空間幾何體的三視圖與直觀圖1. 投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。2. 三視圖一一是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；正投影，得到的投影圖；側(cè)視圖一一光線從幾何體的左面向右面正投影，正視圖一一光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；注：1俯視圖畫在正視圖的下方，“長度與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右邊，度與俯視圖。

11、簡記為“正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長，俯、側(cè)一樣寬2正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。3.1直觀圖一是觀察著站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。所以A、D兩點間的球面距離為正視圖 光線從幾何體的前面向后面得到的投影圖；“高度與正視圖相等，“寬3.2斜二測法：stepl:在圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy,即取 xoy 90 ；step2:畫直觀圖時，把它畫成對應的軸o'x',o'y'，取 x'o'y' 45 or135 ，它們確定的平面表示水平平面;step3:在坐標系x'

12、o'y'中畫直觀圖時，圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變，平行于x軸或在x軸上的線段保持長度不變，平行于 y軸或在y軸上的線段長度減半。結(jié)論：一般地，采用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的oo S原2.2S直1空間直線的位置關(guān)系:共面:a I b=A,a/b異面:a與b異面異面直線所成的角：1圍:0 ,90 ；2直線與平面的位置關(guān)系:直線與平面所成的角圍:0 ,90，平行：/3.平面與平面的位置關(guān)系：相交斜交：1垂直：=a3.2面面斜交二面角：1定義：【如圖】OBl ,OA lAOB是二面角l的平面角圍： AOB 0,180作二1面角的平面角的方法：1定義法；2三垂線

13、法常用；3垂面法III.轉(zhuǎn)化為面面平行1線面平行：思考途徑I.轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；II.轉(zhuǎn)化為線線平行;a/b支持定理ba/aa/ ；aa/配圖助記2線線平行：思考途徑I.轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；III.轉(zhuǎn)化為線面平行；IV.轉(zhuǎn)化為線面垂直；V.轉(zhuǎn)化為面面平行. 支持定理a/aa/b :I b/a/b : IaIbII.轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行;a/b : a/b c/ba / /cI.轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點; II.轉(zhuǎn)化為線面平行；a支持定理a I b3面面平行：思考途徑III.轉(zhuǎn)化為線面垂直,ba/,b/-a/ :a/4線線垂直：思考途徑IV.轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直

14、支持定理POb ;勾股定理；aa AOPA 三垂線及逆定理：b配圖助記5 線面垂直：思考途徑I轉(zhuǎn)化為該直線與平面相交二直線垂直；II轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；III轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面;IV轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直支持定理；Ib； l ； Il a ； a : a/b baal a,l ba ,a l配圖助記思路：1見 ，馬上找 與 的交線，女口I,那么分別在兩個面內(nèi)找交線的垂線，沒有的話，需要作出交線的垂線，如 m ，且m l,那么m1 b 都有a b2、見a,想、一 。3、見到aP，想a與 內(nèi)與之同向的直線平行2、觀察到a ，那么有具體與哪條直線平行，可借助

15、線面平行的判定定理。.4、見菱形，想對角線垂直。5、見等腰三角形，想取底邊的中點，后三線高線、中線、角 平分線合一。6、直徑對的圓周角為90°.7、有中點，想再找一中點，運用中位線平行且等于底邊的一半。8、題中線段關(guān)系較多時，尤其長度，可用勾股定理證明線線垂直。步驟：關(guān)鍵是做好"三步曲 ：stepl :做 取點連線；step2:指指明出處；step3:。證 二、立體幾何常見題型歸納例講a/2線線平行：支持定理a /b c/baa/b ；a /cI b注：一線b為兩平面的公共線，而線a在其中一面，與另一面平行。2021卷如圖1-5所示，四棱錐 P-ABCD的底面是邊長為8的正

16、方形，四條側(cè)棱長均為 2. 17.點G，E，F(xiàn)，H分別 是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面 GEFH丄平面 ABCD，BC /平面 GEFH .1證明：GH / EF ； 2假設EB = 2,求四邊形 GEFH的面積.19.解：1證明：因為 BC /平面GEFH，BC?平面PBC，且平面 PBC門平面 GEFH = GH，所以GH / BC同理可證 EF / BC，因此 GH / EF.連接AC，BD交于點0，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PA= PC，O是AC的中點，所以 PO丄AC，同理可得 PO丄BD.又BD n AC= 0,且AC，BD都在平面 ABCD，所以 PO丄

17、平面 ABCD.又因為平面 GEFH丄平面 ABCD，且 PO?平面GEFH，所以PO/平面 GEFH.因為平面 PBD門平面 GEFH = GK，所以PO / GK ,所以GK丄平面 ABCD又EF?平面1 ABCD，所以 GK 丄 EF，所以 GK 是梯形 GEFH 的高.由 AB= 8, EB = 2 得 EB : AB= KB : DB = 1 : 4，從而 KB = 4DB1 1 1=§OB,即卩K是OB的中點.再由 PO / GK得GK = PO,所以G是PB的中點，且 GH = 2BC = 4由可得 OB =4 .2 PO = .'PB2- OB2= 68 32

18、= 6,所以 GK = 3，故四邊形 GEFH 的面積 S= GH；EF gk = 4影X 3 = 18.18本小題總分值12分如下圖，在三棱錐 P-ABQ中，PB丄平面ABQ , BA=BP=BQ , D , C, E, F分別是AQ , BQ, AP, BP的中點，AQ=2BD , PD與EQ交于點G , PC與FQ交于點H，連接GH。I求證：AB/GH ;1因為C、D為中點，所以 CD/AB同理：EF/AB，所以EF/CD , EF 平面EFQ , 所以CD/平面EFQ，又CD 平面PCD,所以CD/GH，又AB/CD，所以AB/GH.1線面平行：思考途徑I.轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；I

19、I.轉(zhuǎn)化為線線平行；III.轉(zhuǎn)化為面面平行a/ /b支持定理ba / ；a1、線線平行線面平行構(gòu)造中位線，想中點是哪條邊的，第三邊是誰 構(gòu)造平行四邊形證a P注：中位線與平行四邊形思路的區(qū)別主要在與要證的平面中：頂點也是中點2、面面平行線面平行，需要過a找或作與內(nèi)兩線平行的線2如圖幾何體，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF 2AB 2AD , M為AF的中 點，BN CE。求證：CF /平面BDM ；注：發(fā)現(xiàn)M是中點，問題1 : M是誰的中點，2、AF與CF在那個三角形中3、第三邊是連沒連？假設沒連，那么連接，其中點是？常用平行四邊形對角線得中點連接兩中點，那么在三角形如圖，直

20、三棱柱ABC A/B/C/ , BAC 90°, AB AC AA/,點MN分別為A/B和B/C/的中點。I 證明:MN /平面 A/ACC/;有時中點會改成比例線ABCD中，PA丄底面, AB/DC ,段。如，四棱錐ABCD ,面ABCD為梯ABCCAD90，且 PA ABBC ,點E是PB上的動點.當PD /平面EAC時,點E在棱PB上的位置;【答案】21.解：I在梯形 ABCD中，由AB BC , AB BC，得 BAC -,4二 DCA BAC 一 .又 AC AD，故4接BD，交AC于點M，那么如匹 2.MB ABDAC為等腰直角三角形. DC - 2AC2 . 2AB 2

21、AB .連Q PD /平面EAC,又平面EAC I平面PDBME , PD / EM在BPD中，醫(yī) 也 2，即PE 2EB時，PD /平面EAC EB MB平行四邊形的思路主要找周轉(zhuǎn)第三方3號P4號 Y ABCD 1號戌號& &證與平行，須3號P4號且相等&3號P5號找周轉(zhuǎn)第三方Q &4號P5號 &面面平行線面平行，例：如下圖的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O'的直徑，F(xiàn)B是GH /平面AB圓臺的一條母線.IG,H分別為EC, FB的中點，求證:證明：設FC的中點為I ,連接GI,HI，在 CEF ,因為G是CE的中點，所以GI/

22、E F,又EF/OB,所以GI/OB,在厶CFB中，因為H是FB的中點，所以HI /BC 又HIfi面ABC，因為GH 平面GHI，所以GH /平面ABC . AB=BC，AE=EC.求證：AC丄FB ; II G,H分別是EC和FB的中點求證:GH /平面 ABC.試題分析：I根據(jù)EF / BD，知EF與BD確定一個平面,連接DE，得到DE AC，F(xiàn)B.BD AC，從而AC 平面BDEF，證得ACE.118在如下圖的幾何體中，D是AC的中點，EF / DB. I一般，I a易證此時l與a常是共面直線，特殊圖形如等腰三角形三線合一、菱形對角線垂直 線段長度時，用勾股定理或證明正切值互為倒數(shù)，從

23、而兩角和為900.b不易證，此時可證b l所在的面但I,aa ，l面面垂直找交線，線在面，線線垂直垂直交線垂直另一面。線線垂直:共面直線，特殊圖形如等腰三角形三線合一、菱形對角線垂直 線段長度時，用勾股定理或證明正切值互為倒數(shù)，從而兩角和為異面直線垂直：證aba ma b。a bmPb90°.發(fā)現(xiàn)a 在平面c易證，此時，下面讓 b、c在同一平面 內(nèi)假設不在，平移直線 c到平面 內(nèi)找第三邊d,此時一定有a d一般證d垂直于a所在的平面,a:bcd.a此時cI d Ac ,d如證正方體的體對角線垂直于與之異面的面對角線面面垂直a在哪兒找，在對方中找，如a此時女口：正方體中，證:a思路一、

24、看平面 與 誰的垂線好找，一般水平面或豎直面的垂線好找，的垂線好找，在 中發(fā)現(xiàn)一線a的垂直關(guān)系多，一般會a平面ACD1 平面BDD1發(fā)現(xiàn)a ，但a，可平移直線a到平面即在平面 內(nèi)，找一線m,使aPm思路二、 t a pm貝Vm ，又ma思路二、看平面與 誰的垂面好找，一般水平面或豎直面的垂面好找，如的垂面 好找，面面垂直找交線，垂直交線垂直面。=m,在平面 內(nèi)，找或做交線m的垂線a，即=ma,下走思路一或思路二例：如圖，AB平面ACD，DE/AB， ACD是正三角形， ADDE2AB,且F是CD的中點.I求證:AF/平面BCE ； II求證：平面 BCE 平面CDE .19解：I取CE中點P，

25、連結(jié)FP、BP，11 F 為 CD 的中點， FP / DE，且 FP =丄 DE.又 AB / DE，且 AB 2DE. a AB / FP，且 AB = FP，22四邊形 ABPF為平行四邊形， AF /BP . 又T AF 平面BCE，BP 平面BCE， AF /平面BCE.nv ACD為正三角形，二 AF丄CD,： AB丄平面ACD，DEAB, DE 丄平面 ACD , 又 AF 平面 ACD , DE 丄 AF .又 AF 丄 CD，CD I DE D, AF丄平面DCE .又BP / AF BP丄平面DCE .又 BP 平面BCE , 平面BCE丄平面CDE 體積：用三棱錐換頂點：

26、 Va BCD Vb ACD Vc ABD Vd acb假設這4個點部無法解決時，可找外援發(fā)現(xiàn)點A l,而l P對任意的點P l ,Va BCD Vp BCD例：正方體中，三棱錐 D1 EDF的體積為1【解析】法一：因為E點在線段AAi上,所以s DED -11 21的距離為1,即h 1，所以VD1 EDF VF DED1丄SdED1311，又因為F點在線段BC上，所以點F到平面DED12,11 ,1h1326不失一般性令E點在A點處，F(xiàn)點在C點處，那么1小111S adc DD11 1 1。3326使用特殊點的位置進行求解，Vd1 EDFVd1 ADC折疊問題：注折疊前后，始終在同一個半平面

27、的，關(guān)系不變。注意找折疊前后，與折線垂直的線。練習1、如圖，ABCD是正方形，0是正方形的中心，PO 底面ABCD, E是PC的中點。 求證：1 PA/平面BDE ; 2 BD平面PAC2如圖幾何體，正方形 ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直,AF 2AB 2AD , M為AF的中點，BN CE。求證：CF /平面BDM ；3、如圖，在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，AB AC 5, D, E分別為BC, 長為6的正方形.(1) 求證：AiB/平面 ACiD ;(2) 求證：CE 平面ACiD ；BBi的中點，BBi的中點，四邊形B1 BCG是邊4、直三棱柱 ABC A3G 中，AB 5

28、,AC 4, BC 3 , AAi點D在AB上. (i)假設D是AB中點，求證： ACi /平面BiCD ；CiAiDBi第4題圖6、( 2021)如圖，在四棱錐O ABCD中，底面 ABCD四邊長為i的菱形， ABC-,OA4底面ABCD ,OA 2,M為OA的中點,N為BC的中點。證明：直線 MN |平面OCD8、如圖，正方體 ABCDBDiD ； (3)求三棱錐 B-ACBi體積.AiBiCiDi中，棱長為a (1)求證：直線 AiB平面ACDi (2)ACDi9四棱錐S ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面 SBC 底面ABCD .已知/ ABC 45o, AB 2 , BC 2 2 , SA SB . 3 . (I)證明 SA BC ；求證：平面平面fti0 ()如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，平面AiBC 側(cè)面AiABBi. (I 求證：AB BC;證明：如右圖，過點 A在平面AiABBi作AD丄AiB于D,那么由平面 AiBC丄側(cè)面門側(cè)面 AiABBi = AiB,得AD丄平面 AiBC.又BC平面AiBC所以AD丄BC.因為三棱柱 ABC AiBiCi 是直三棱柱，那么AAi丄底面ABC,所以AAi丄BC.又AAiA AD=A,從而BC丄側(cè)面