高數(shù)-無窮大無窮小

1、1.41.4 無窮小量和無窮大量無窮小量和無窮大量1 1. .4 4. .1 1 無無窮窮小小量量1.1.無窮小量的定義無窮小量的定義例如：當(dāng)0 x時(shí)，xsin和xtan是無窮小量；當(dāng)xx時(shí)，xx是無窮小量； 當(dāng)x時(shí)，21x是無窮小量。定定義義 1 1 若0limX，則稱 X 為該極限過程中的 無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小。 . 0 2時(shí)的無窮小量是當(dāng)xx注意注意 無窮小量是以無窮小量是以0 0為極限的為極限的變量變量； 無窮小量不一定是零，零作為函數(shù)來講是無窮小量不一定是零，零作為函數(shù)來講是無窮小量；無窮小量； 講一個(gè)函數(shù)是無窮小量，必須指出自變量講一個(gè)函數(shù)是無窮小量，必須指出自變量的變化趨向；的變

2、化趨向； 任何非零常數(shù)，不論其絕對(duì)值如何小，都任何非零常數(shù)，不論其絕對(duì)值如何小，都不是無窮小量。不是無窮小量。 有限個(gè)有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量； 有限個(gè)有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量。2 2. .無無窮窮小小量量的的性性質(zhì)質(zhì)性性質(zhì)質(zhì) 1 1：若若YX ,都都是是無無窮窮小小量量，則則YXYX ,也也是是無無窮窮小小量量； 注注意意：無限個(gè)無窮小量的和與積不一定是無窮小量。例如：1)111(lim 個(gè)nnnnn。即有界變量與無窮小量的積是無窮小量。性性質(zhì)質(zhì) 2 2 若X是無窮小量，Y是有界變量，則YX是無窮小量。0. lim lim 其中AXAX3性性質(zhì)質(zhì)例1 求 下 列 極 限錯(cuò)！錯(cuò)！

3、錯(cuò)！錯(cuò)?。?）xxx1sinlim0； （2）xxxarctanlim。（1） 01sinlimlim1sinlim000 xxxxxxx； 01sinlim0 xxx。 （2） 解： 01lim xx，而2arctanx，0arctanlimxxx。解解： 0lim0 xx，而1 1sin x， 1 1. .無窮大的定義無窮大的定義1 1. .4 4. .2 2 無無窮窮大大量量定定義義 1 設(shè))(xf在)(xN內(nèi)有定義，若0G，0， xx0 時(shí)，恒有Gxf)(，則稱當(dāng)xx時(shí)， )(xf為無無窮窮大大量量，記為 )(limxfxx，或)(xf)(xx。例如，當(dāng)2x時(shí)，xtan是無無窮窮大大，

4、記作xxtanlim2；當(dāng)x時(shí)，xe是正無窮大正無窮大，記作xxelim；當(dāng)0 x時(shí)，xln是負(fù)負(fù)無無窮窮大大，記作xxlnlim0。 說一個(gè)函數(shù))(xf是無窮大，必須指明x 自變量 的變化趨勢(shì)。如x1是當(dāng)0 x時(shí)的無窮大，但當(dāng) x，x1就不是無窮大，而是無窮小了。 ， 無窮大是指絕對(duì)值可以無限變大的變量，絕不能與任何一個(gè)絕對(duì)值很大的常數(shù)混為一談。注意注意. 11lim 11xx例-4-2246x-10-5510y. 11lim . 11 1xGxx所以就有,11 , G Gx要使是任意給定的正數(shù)設(shè) , | 1|0 , 1 . 1| 1|時(shí)則當(dāng)取只要xGGx :證Y)lim(X,limY li

5、m(1) 則，若AXY)lim(X,limY 0lim(2) 則，若AXY)lim(X,limY lim(3) 則，若XlimY,YX lim(4) 則，若X)limlim(5) XX（，則若; 01limlim(6) XX，則若XXX1lim, 00lim 則，且反之，若2 2無無窮窮大大量量的的性性質(zhì)質(zhì)例2.求下列極限（1）23lim22xxxx010)2(lim)3(lim23lim22222xxxxxxxxx。 正正解解：0100)3(lim)2(lim32lim22222xxxxxxxxx，23lim22xxxx。錯(cuò)解錯(cuò)解（2）)1113(lim31xxx.011lim13lim)1

6、113(lim13131xxxxxxx。錯(cuò)錯(cuò) 解解 正正解解：3213112lim)1113(limxxxxxxx)1)(1 ()2)(1 (lim21xxxxxx. 112lim21xxxx1.4.31.4.3無窮小量的比較無窮小量的比較 兩個(gè)無窮小的和或積仍然是無窮小，但是兩個(gè)無窮小的商卻有多種可能性。 例如，當(dāng)0 x時(shí)，xxxxxcos1 ,sin , ,3 ,2都是無窮小， 而03lim20 xxx，203limxxx，1sinlim0 xxx， 定定義義 3 3：設(shè)0limX，0limY，且0Y，（1）若0limYX，則稱YX 是的高高階階無無窮窮小小量量，記為)(YoX ；而稱XY

7、 是的低低階階無無窮窮小小量量。（2）若0limkYX，則稱YX 與是同同階階無無窮窮小小量量，記為)(YOX ；（3）若1limYX，則稱YX 與是等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小量量，記為XY；（4）若lim (0, 0)kXL LkY，則稱0 x時(shí)， XY是的k k階階無無窮窮小小量量。 例例如如：0lim30 xxx， 當(dāng)0 x時(shí)，)(3xox 。21cos1lim20 xxx，當(dāng)0 x時(shí)，)(cos12xOx，的且是 x二階無窮小量。, 0 時(shí)x , sinxx, arcsinxx , tanxx, 21cos12xx. xnxn111定定 理理2 2（ 1） 若XY， 則)()(YoXoYX；

8、（2）若XY，且)(limZY存在，則)(lim)(limZYZX。 在乘除的極限運(yùn)算中，等價(jià)的無窮小因子可以互相代換。在乘除的極限運(yùn)算中，等價(jià)的無窮小因子可以互相代換。 不不適用適用于于加減加減運(yùn)算運(yùn)算 (3) X , , lim , XXYYY若且存在X lim lim XYY則例3求下列極限： （1）求20tansinlimarctanxxxxx； 解解：2200tan sintan (1cos )limlimarctanxxxxxxxxx 2301()12lim2xxxx。 （2）)cos1 (cos1lim0 xxxx； 解：)cos1)(cos1 (cos1lim)cos1 (cos1lim00 xxxxxxxxx)cos1 (cos1lim210 xxxx.21)(2121lim21220 xxxx例 4當(dāng)0 x時(shí)，)