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1、圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程(1) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2) 圓的一般方程圓的一般方程;(3)圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程.點(diǎn)點(diǎn)P的位置與旋轉(zhuǎn)角的位置與旋轉(zhuǎn)角有有密切的關(guān)系。密切的關(guān)系。OPyx圓的方程圓的方程222()()xaybr220 xyDxEyF設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(的坐標(biāo)是(x,y) sincosryrx即即 點(diǎn)在圓點(diǎn)在圓O上從點(diǎn)上從點(diǎn)P0開(kāi)始按開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)P, OPP0.0PxO軸的正半軸的交點(diǎn)是軸的正半軸的交點(diǎn)是與與圓圓。r,的的圓圓的的參參數(shù)數(shù)方方程程半半徑徑為為求求圓圓心心在在原原點(diǎn)點(diǎn)圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程p0rxyoP(x,y) 則把該方
2、程組叫做圓心為原點(diǎn)、半徑為則把該方程組叫做圓心為原點(diǎn)、半徑為r的的圓的參數(shù)方程,圓的參數(shù)方程,是參數(shù)是參數(shù),也叫旋轉(zhuǎn)角。也叫旋轉(zhuǎn)角。2 , 0O1(a,b)oxyrsinrycosrxsinrbycosrax圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程p0rxyoP(x,y)222xyr222()()xaybr2 , 01.圓心在原點(diǎn)圓心在原點(diǎn),半徑為半徑為r的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程: 為參數(shù))(sincosryrx2.圓心為圓心為(a,b),半徑為半徑為r的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程: 為參數(shù))(sincosrbyrax圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程2 , 0 x =2cosy =2sin 圓圓x2+y2=4的參
3、數(shù)方程為的參數(shù)方程為xMPAyO解解:設(shè)設(shè)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y),可設(shè)點(diǎn)可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為坐標(biāo)為(2cos,2sin)點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡是以的軌跡是以(3,0)為圓心、為圓心、1為半徑的圓。為半徑的圓。由中點(diǎn)公式得由中點(diǎn)公式得:點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡方程為的軌跡方程為x =3+cosy =sin例例1. 如圖如圖,已知點(diǎn)已知點(diǎn)P是圓是圓x2+y2=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)點(diǎn)A是是x軸上的定點(diǎn)軸上的定點(diǎn),坐標(biāo)為坐標(biāo)為(6,0).當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在圓在圓 上運(yùn)動(dòng)時(shí)上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段線段PA中點(diǎn)中點(diǎn)M的軌跡是什么的軌跡是什么?例例2 2、已知圓方程已知圓方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-
4、6y+9=0,將它,將它化為參數(shù)方程?;癁閰?shù)方程。解:解: x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程,化為標(biāo)準(zhǔn)方程, (x+1x+1)2 2+ +(y-3y-3)2 2=1=1,參數(shù)方程為參數(shù)方程為sin3cos1yx(為參數(shù)為參數(shù))練習(xí):練習(xí): 1.填空:已知圓填空:已知圓O的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是sin5cos5yx(0 2 ) 5 5 32,22QQ如果圓上點(diǎn) 所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是則點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的參數(shù) 等于如果圓上點(diǎn)如果圓上點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的參數(shù)所對(duì)應(yīng)的參數(shù) ,則點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 35235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 選
5、擇題:參數(shù)方程為參數(shù) 表示的曲線是圓心在原點(diǎn) 半徑為 的圓圓心不在原點(diǎn) 但半徑為 的圓不是圓以上都有可能A半徑為表示圓心為參數(shù)方程、填空題sin2cos2) 1 (:3yx的圓,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(2,-2)112222yxsin22cos21yx化為參數(shù)方程為把圓方程0142)2(22yxyx4.把圓的參數(shù)方程化成普通方程:把圓的參數(shù)方程化成普通方程: sin23cos211yx)(sin2cos22yx)(例例3:若實(shí)數(shù):若實(shí)數(shù)x、y滿足滿足x2+y2-2x+4y=0, 求求x-y的最大值。的最大值。分析:化為標(biāo)準(zhǔn)方程分析:化為標(biāo)準(zhǔn)方程 : (x-1)2+(y+2)2=5利用圓的參數(shù)方程:利用
6、圓的參數(shù)方程:sin52cos51yx則:則:3sin5cos5yx3)4cos(10310)(maxyx圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程.cossin)(:的的最最大大值值和和最最小小值值求求函函數(shù)數(shù)練練習(xí)習(xí)211 f.yx,x-9yyx,:2的的取取值值范范圍圍求求滿滿足足實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)練練習(xí)習(xí)2.,)(;)(,),(:的取值范圍的取值范圍求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)恒成立恒成立若若的取值范圍的取值范圍求求上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)是圓是圓已知已知練習(xí)練習(xí)ccyxyxyyxyxP02212322橢圓的參數(shù)方程:橢圓的參數(shù)方程:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:12222byax聯(lián)系:聯(lián)系:122 sincos不妨有:不妨有: si
7、ncosbyax sincosbyax參數(shù)參數(shù) 的意義的意義橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程例、例、 如圖如圖,以原點(diǎn)為圓心,分別以以原點(diǎn)為圓心,分別以a、b(ab0)為半)為半徑作兩個(gè)圓,點(diǎn)徑作兩個(gè)圓,點(diǎn)B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn),過(guò)與小圓的交點(diǎn),過(guò)A作作ANOx,垂足為垂足為N,過(guò)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作作BM AN,垂足為,垂足為M,求當(dāng)半徑求當(dāng)半徑OA繞繞O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。的軌跡的參數(shù)方程。這就是所求的點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程。這就是所求的點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程。也就是也就是 :解:解:設(shè)設(shè)M(x,y),是以是以O(shè)x為始邊,為始邊,OA為終邊的正角,為終邊的正角, sin ,yN
8、MOB cos ,xONOA cos ,sin .xayb 取取為參數(shù),則為參數(shù),則 消參有:消參有:12222byax為橢圓為橢圓xyoMAB2.參數(shù)參數(shù) 的意義的意義離心角離心角R一般地:一般地:2 , 0思考:思考:xoM對(duì)嗎?對(duì)嗎?xoMP是橢圓是橢圓sin2cos32yx( 為參數(shù))上一點(diǎn),為參數(shù))上一點(diǎn),OP的傾斜角為的傾斜角為 ,則點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(的坐標(biāo)為( )4(A)(B)(C)(D)3, 32()3, 3()2, 6()3 , 4(B)練習(xí)練習(xí)(A)橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程sincosbyax2 , 0為參數(shù)為參數(shù)( )例例1、把下列參數(shù)方程化為普通方程、把下列參數(shù)方
9、程化為普通方程3cos ,5sin .xy(1)8cos ,6sin .xy(2)22149xy(3)22116yx(4)例例2 把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程例題與練習(xí)例題與練習(xí)例例3 已知橢圓已知橢圓 有一內(nèi)接矩形有一內(nèi)接矩形ABCD, 求矩形求矩形ABCD的最大面積的最大面積22110064xyyXOA2A1B1B2F1F2ABCD例例4 在橢圓在橢圓 上上, 到直線到直線 最短距離是最短距離是 .22147xy:32160lxy8 1313練習(xí):已知橢圓的參數(shù)方程為練習(xí):已知橢圓的參數(shù)方程為 ( 是是參數(shù)參數(shù)) ,則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為(,則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為( ),短
10、軸長(zhǎng)),短軸長(zhǎng)為(為( ),焦點(diǎn)坐標(biāo)是(焦點(diǎn)坐標(biāo)是( ),準(zhǔn)線方程是準(zhǔn)線方程是( ),離心率是(),離心率是( )。)。424 33x 3203, sincosyx2 練練2: 設(shè)橢圓設(shè)橢圓 和和x的正半軸的交點(diǎn)為的正半軸的交點(diǎn)為A,和和y的正半軸的交點(diǎn)為的正半軸的交點(diǎn)為B,P為第一象限內(nèi)橢圓上的點(diǎn),為第一象限內(nèi)橢圓上的點(diǎn),則四邊形則四邊形OAPB面積的最大值為(面積的最大值為( ) 12222byax(A)(B)(C)(D)ab2ab22ab2ab21CxyoABPab練練1:(05福建高考福建高考)設(shè)設(shè) , 則則 的最小值為(的最小值為( )62,22baRbaba(A)(B)(C)(D)
11、;335; 3; 2227B思考:(思考:(0505重慶重慶9 9)若動(dòng)點(diǎn)若動(dòng)點(diǎn) P(x,y) 在曲線在曲線 上運(yùn)動(dòng),上運(yùn)動(dòng),則則 x2+2y 的最大值為(的最大值為( )(A)(B)(C)(D)b2), 4;2)4 , 0(, 442bbbb42b), 2;2)2 , 0(, 442bbbbA)0(14222bbyx例例4:如圖,已知點(diǎn):如圖,已知點(diǎn)P是圓是圓x2+y2=16上的一個(gè)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A是是x軸上的定點(diǎn),坐標(biāo)為(軸上的定點(diǎn),坐標(biāo)為(12,0)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PA的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌的軌跡是什么?跡是什么?AOPyMx.)(:;)()().,(
12、),(:4616212221222222yxyxyxPyxM即即有有則則設(shè)設(shè)解解一一例例:如圖,已知點(diǎn)如圖,已知點(diǎn)P是圓是圓x+y=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A是是x軸上的定點(diǎn),坐標(biāo)是(軸上的定點(diǎn),坐標(biāo)是(12,0)。當(dāng)點(diǎn))。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段動(dòng)時(shí),線段PA的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡是什么?的軌跡是什么?解二:設(shè)點(diǎn)解二:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(的坐標(biāo)是( x,y)。)。圓圓x+y=16的參數(shù)方程為:的參數(shù)方程為:sin4cos4yx設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(的坐標(biāo)為(4cos,4sin)。)。由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)M的的軌跡的參數(shù)方程為:軌跡的參數(shù)方程為:sin2cos26yx所以線
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