自動控制原理地的總結之判斷系統穩(wěn)定性方法

1、實用標準判斷系穩(wěn)定性的方法一、穩(wěn)定性判據（時域）1、 赫爾維茨判據系統穩(wěn)定的充分必要條件：特征方程的各項系數全部為正;將系統特征方程各項系數排列成如下行列式；0000000000a1 0a2 a0an 1an3an5anan2an4°an1an30anan 2000000當主行列式及其對角線上的各子行列式均大于零時，即1 an 10an 1an 3anan 2an 1an3an5anan2an40an1an3則方程無正根，系統穩(wěn)定。赫爾維茨穩(wěn)定判據之行列式直接由系數排列而成，規(guī)律簡單明確，使用也比較方便，但是對六階以上的系統，很少應用。432例；若已知系統的特征方程為S8818s16

2、s 5 0試判斷系統是否穩(wěn)定。文案大全實用標準解：系統特征方程的各項系數均為正數。8 16根據特征方程，列寫系統的赫爾維茨行列式。1881051618000二由得各階子行列式;8 161 1812808 16 01 18 50 8 161728086900各階子行列式都大于零，故系統穩(wěn)定。2、勞思判據(1)勞思判據充要條件:A、系統特征方程的各項系數均大于零，即ai>0 ;B、勞思計算表第一列各項符號皆相同。滿足上述條件則系統穩(wěn)定，否則系統不穩(wěn)定，各項符號變化的次數就是不穩(wěn)定根的數目。(2)勞思計算表的求法：A、列寫勞思陣列，并將系統特征方程的系數按如下形式排列成列首兩行，即：文案大全實

3、用標準B、bisn sn sn sanan 2an 4an 6an 1an 3an 5an 7bib2b3b4CiC2C3C4UiU2ViW210i23計算勞思表an ian 2ananb2an ian 1an 4anan 5an 1an ian 6anan 7an 1系數bi的計算要一直進行到其余的bi值都等于零為止。用同樣的前兩行系數交叉相乘，再除以前一行第一個元素的方法，可以計算c, d, e等各行的系數。Cibian 3 an ibiC2bian 5C3bian 7a bia £n ib4diC1b2b1C2Ci勞思判據的兩種特殊情況A、勞思計算表第一列出現零的情況因為不能用

4、零作為除數，故第一列出現零時，計算表不能繼續(xù)排下去。為解決該問題，其辦法是用一個小的正數£代替文案大全實用標準進行計算，再令£-0求極限來判別第一列系數的符號B、勞思計算表中出現某一行各項全為零的情況此時，勞思表將在全為零的一行處中斷，其解決辦法是將不 為零的最后一行的各項組成一個“輔助方程式”，將該方程式對 s求導數，用求得的各項系數代替原來為零的各項，然后按勞 思計算表的寫法繼續(xù)寫完以后各項，對稱根可由輔助方程求得。例1 :已知系統特征方程為s5 2S4 3s3 6s2 2s 1 0判別系統是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，求不穩(wěn)定根的數目。解：根據特征方程可知，其各項系數均為正。5

5、s4s3s列寫勞思計算表并計算得:363211 s0 s當£ -0時,'263故第一列有兩次變號，系統特征方程有兩個正根，系統不穩(wěn)定 例2 :已知控制系統的特征方程為s62s58s412s320s216s 160試判定系統的穩(wěn)定性。解：根據系統的特征方程可知，其各項系數均為正。文案大全實用標準s6 18 20 16s5(21216)s5168列寫勞思計算表并計算得：s4(21216)s4168s300因s3行各項全為零，故以s4行的各項作系數，列寫輔助方程如下:As s46s28將A(s)對s求導，得：d. 3 .cAs 4s 12sds再將上式的系數代替s3行的各項系數，繼

6、續(xù)寫出以下勞思計算表：s6182016s5168s4168s3 (4 12)s313s2 3811s3s0 8從勞思表的第一列可以看出，各項均無符號變化，故特征方程無正根。但是因s3行出現全為零的情況，故必有共鈍虛根存在。.一42共鈍虛根可通過輔助方程求得 s 6s 8 0I其共鈍虛根為 玩2 "；s34 2j ,這四個根同時也是原方程的根，他們位于虛軸上，因此該控制系統處于臨界狀態(tài)，系統不穩(wěn)定。二、根軌跡法(復域)系統穩(wěn)定的充要條件：所有的閉環(huán)極點都在S平面的左半平面。文案大全實用標準?.、一 例：已知系統的開環(huán)傳遞函數為G(?= W 62 試應用根軌? + 1 )( 0 .5?

7、+ 1 )跡法分析系統的穩(wěn)定性。解：G(? =2?2 1)(?+2)?2 1)(?+2)(K*=2k)做根軌跡:有三條根軌跡(n=3 m=0 n-m=3)實軸上(0,-1) (- 2,- s)為根軌跡段漸近線的夾角與坐標:?=(2?+1?= 160。,180。,?=(-(- 2) = - 1(d)分離點坐標d :j'+1=0?+ 1?+ 2 ?解得 di= -0.423d2= -1.58(舍去)因為d2不在根軌跡上與虛軸的交點坐標:D(? = ? + 3?夕 + 2?+ ?令S=jw代入到式中得:D(?2?= (?源 + 3(?2 + 2(?2?+ ?解得：-;:?+2?=0)? =

8、0,? = ±1.414,? = ±1.414,? = 6,?= 3根軌跡圖如下所示:文案大全實用標準三、頻率特性1、 奈氏判據(奈奎斯特判據)Z=P-2N系統穩(wěn)定時Z=0由開環(huán)傳遞函數在S平面的極點個數P,奈氏曲線繞(-1, j0)的圈數N,得到閉環(huán)傳遞函數在S平面的極點的個數ZP通過G(S)可知 N :順時針為負，逆時針為正當V?0時，需要做增補線 W:0-0+從幅相曲線W = 0+位置開始沿逆時針方向畫 VX90的圓弧增補線(理論半徑為s) 計算圈數時要包括所畫圓弧的增補線在 內。例：某單位負反饋系統的開環(huán)傳遞函數為G(?=兩"試用奈氏判據判別閉環(huán)穩(wěn)定性。解：W ： 0+ f OO幅值趨于0,相角趨于-270 °。N=-1 , P=0 , Z=P-2N=2故閉環(huán)系統不穩(wěn)定。文案大全實用標準2、 對數頻率判定系統穩(wěn)定性+?N = ?3-?二 一2在截止頻率之前，在對數幅頻曲線 L（W）0.對應的頻率范圍對應的相角是否穿越-180 °在V?0時，也需要做增補線，從對數相頻特性曲線上W = 0+處開始, 用虛線向上補90角（補