【2020年高考必備】衡水獨(dú)家秘籍之高中期末復(fù)習(xí)專題六異面直線問題求解攻略

1、衡水獨(dú)家秘籍之 2019 高中期末復(fù)習(xí)專題六異面直線問題求解攻略【方法綜述】異面直線是空間中直線與直線之間的位置關(guān)系中一類最重要的位置關(guān)系，它在立體幾何中占有重要的地位，是歷年考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，圍繞異面直線設(shè)計(jì)的命題，主要有以下類型， 一是概念的辨析，二是判定與證明，三是角的計(jì)算下面舉例說明.1概念的辨析異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.兩條直線是異面直線等價(jià)于這兩條直線既不相交，也不平行.要注意把握異面直線的這種不共面特性.應(yīng)該明確分別在不同平面內(nèi)的兩條直線不一定是異面直線， 在某一平面內(nèi)的一條直線與這個(gè)平面外的一條直線也不一定是 異面直線.例1.若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平

2、面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A.與都不相交B. 與 都相交C.至多與中的一條相交D. 至少與 中的一條相交 解析在A中，直線與、可以相交，如圖,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;在B中，直線 可以與、 中的一個(gè)平行，如上圖，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;在C中，直線與、可以都相交，如圖,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在D中，“至少與中的一條相交”正確, 假設(shè)直線與、都不相交，因?yàn)橹本€與、都共面，所以直線與、都平行，所以，這與直線 和 是異面直線矛盾，所以選項(xiàng)D正確答案D.點(diǎn)評(píng)：異面直線的定義強(qiáng)調(diào)的是這兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，而不是指在某特定平面內(nèi).2異面直線的判定與證明異面直線的判定方法有：定義法，由定義判斷兩直

3、線不可能在同一平面內(nèi)；反證法，用此方法可以證明兩直線是異面直線.例2.M N E,F,G H, P, Q是正方體ABCDABCD所在棱的中點(diǎn)，貝U PQ EF,GH中與 直線MN異面的直線是_ 分析要判定兩條直線的位置關(guān)系可以根據(jù)定義及相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷.解析 首先，我們不難看出PQ/ MN其次，根據(jù)平面的基本性質(zhì)，可得MN EF交于一點(diǎn),即MNW EF共面；最后，我們可直觀地得到GH與MN異面.答案GH點(diǎn)評(píng)：判斷兩條直線是不是異面直線，除了根據(jù)定義及平面的基本性質(zhì)外，直觀上的感知也是十分重要的一方面.3求異面直線所成的角求異面直線所成的角的解題思路是：把空間兩異面直線通過平移，轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交

4、直線所成的角，具體的平移過程應(yīng)視題而定主要有以下四種平移途徑：1利用三角形的中位線平移；利用平行線分線段成比例的推論平移；利用平行四邊形平移；利用補(bǔ)形平移.例3.如圖，在每個(gè)面都為等邊三角形的四面體SABC中,若點(diǎn)E, F分別為SC AB的中點(diǎn)，試求異面直線EF與SA所成的角.分析 要求異面直線EF與SA所成的角，首先依定義作出其所成角，為此取SB的中點(diǎn)D,連接ED FD根據(jù)三角形中位線性質(zhì)知/EFD是異面直線EF與SA所成的角.解 如圖，連接CF SF,設(shè)四面體SABC勺棱長(zhǎng)為a,則SF=CF-23a.因?yàn)镋為SC的中點(diǎn)，所以EFL SC1 1在RtSEF中，SE=2SC=qa,所以EF=S

5、FsE=a.取SB的中點(diǎn)為D,連接ED FD因?yàn)锽C= SA=a,1 1而FD/ SAMFD=qSA ED/ CB且ED=qCB所以FD= ED=2a,于是FCf+ED=EF.故厶DEF是等腰直角三角形，可得/EFD=45 ,即異面直線EF與SA所成的角是45.點(diǎn)評(píng)：本題以正四面體為依托，通過求異面直線所成的角，考查了異面直線的有關(guān)概念，明確了求異面直線所成角的具體求解方法，即“作一證一求”.【針對(duì)訓(xùn)練】1.下列命題中，正確的是（）A.a?a,b?B,則a與b是異面直線B.過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)任一直線均構(gòu)成異面直線C.不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是異面直線D.異面直線所成

6、的角的范圍是0 ,90【答案】C【解析】分析 根據(jù)異面直線有關(guān)概念進(jìn)行判斷，將錯(cuò)誤的選項(xiàng)逐一排除.解：選項(xiàng)A中，a,b的位置關(guān)系有可能相交、平行或異面；選項(xiàng)B中，過平面外一點(diǎn)與平 面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)過該點(diǎn)的直線是相交直線；選項(xiàng)D中，兩條平行或重合的直線所 成的角為0,因此異面直線所成角的范圍是（0 ,90，故答案選C.2.正四面體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線 與 所成的角是（）A.【答案】B【解析】取 中點(diǎn)，連結(jié),設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則，且是異面直線與所成的角,取中點(diǎn)，連結(jié)則，平面，?平面，異面直線與所成的角為-，故選B .3.如圖，多面體直.給出下列四個(gè)命題:1三棱錐的體積為定值；

7、2經(jīng)過四點(diǎn)的球的直徑為兩兩垂3直線 /平面4直線所成的角為 ；其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，構(gòu)造長(zhǎng)方體，如右圖，設(shè)OA=x OB=y, OC=z貝H x2+y2=2，X2+Z2=4,y2+z2=4，解得，x=y=1，z=對(duì)于，三棱錐O- ABC的體積為-OCX - OAK OB，故對(duì)；對(duì)于，球面經(jīng)過點(diǎn)AB、C D兩點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即為_,故對(duì)；對(duì)于，由于OB/ AE AE和平面ACD相交，貝U OB和平面ACD相交，故錯(cuò).對(duì)于，由于OB/ AE則/DAE即為直線AD與OB所成的角，由tan/DAEJ一，則/DAE=60。，故對(duì)；底面是側(cè)棱 的

8、C【答案】A設(shè)棱長(zhǎng)為a，補(bǔ)正三棱柱ABC-AB2C2（如圖）.平移AB至A2B,連接A2M/MBA即為AB與BM所成的角，在AB M中，故選：A.5.如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABC場(chǎng)正方形，PDC,PBC,PAB,PDA為全等的等邊三角形，E、F分別為PA PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的為C.直線BE與直線CF共面D. 面PAD與面PBC的交線與BC平行【答案】A折起后圍成的幾何體是正四棱錐，每個(gè)側(cè)面都不與底面垂直,【解析】A.平面BCDL平面PAD直線BE與直線AF是異面直線不正確;【解析】?jī)?nèi),直線 不經(jīng)過點(diǎn),根據(jù)異面直線的定義可知： 直線 與直線 異 面，所以正

9、確；在 中，由，根據(jù)三角形的中位線定理可得，又故直線 與直線 共面，所以 正確；面 ，其中正確的結(jié)論為()【答案】D【解析】四點(diǎn)不共面，直線 與是異面直線，故錯(cuò)誤；直線 與不同在任何平面內(nèi)，是異面直，故正確；直線 與 不同在任何平面內(nèi)，是異面直線，故錯(cuò)誤；直線 與不同在任何平面內(nèi)，是異面直，故正確，故選D.7關(guān)于異面直線，有下列四個(gè)命題:(1)過直線有且僅有一個(gè)平面 ，使/(2)過直線有且僅有一個(gè)平面 ，使由點(diǎn)不在平面由線面平行的性質(zhì)可知面與面的交線與平行，正確，故選A.6.如圖，在正方中,M N分別為棱GD、CC的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論:直線AM與CC是相交直線；直線BN與MB是異面直線;直線

10、AMW BN是平行直線；直線AM與DD是異面直線.A.B.CD.（3） 在空間中存在平面，使/ , /（4） 在空間中不存在平面，使，其中正確命題的序號(hào)是 _.【答案】（1） （3） （4）【解析】在直線選一點(diǎn)，過作直線，由公理3的推論可知存在平面 ，使得？，因異面，故，所以，若存在不同的平面，使得？，則，故 ，與 異面矛盾，故（1）正確對(duì)于（2），若存在平面，使得，因？，故，所以當(dāng)不垂直時(shí)，（2）就不成立，故（2）錯(cuò)對(duì)于（4），如存在平面，使得，則，與異面矛盾，故（4）正確對(duì)于（3），在空間中取 ，過 分別作的平行線，設(shè)相交直線確定的平面為（如果 中有一條直線在該平面中，可平移該平面使得均在

11、平面外），則，故（3）正確綜上，填（1） （3） （4）.&異面直線成角，直線，則直線所成角的范圍是【答案】【解析】所有與垂直的直線平移到點(diǎn)組成一個(gè)與直線垂直的平面做的平行線，交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線 與平面 的交點(diǎn),在直線上取一點(diǎn)，做垂線平面，交平面于，角 是與面的線面夾角為在平面 中，所有與平行的線與 的夾角都是，為最小角,在平面 內(nèi)所有與垂直的線（由于垂直于平面，所以該線垂直與，則該線垂直平面，所以該線垂直與）與 的夾角等于，為最大角，故答案為ABCD-ABCD中，M N分別是AB、BC的中點(diǎn)，問:（1）AM和CN是否是異面直線？說明理由;DB和CC是否是異面直線？說明理由.【答案】（1）不是異面直線（2）是異面直線（1）不是異面直線，理由：連結(jié)MN AiC、AC如圖，因?yàn)镸 N分別是AB、BC的中點(diǎn),所以MN/ AC.又因?yàn)锳iA/DiD, DD/CiC,所以AAg CC，四邊形AACC為平行四邊形， 所以AC/AC故MN/ AG/AC所以AM N C在同一個(gè)平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直 線.是異面直線，證明如下：假設(shè)DB與CC在同一個(gè)平面CCD內(nèi)，貝U B平面CCD,。平 面CCD,所以BC?平面CCD，這顯然是不正確的，所以假設(shè)不成立，故DB與CC是異面直 線.10已知空