數(shù)列通項公式的求法(較全)

1、常見數(shù)列通項公式的求法不同的信念，決定不同的命運公式:等差數(shù)列丿等差數(shù)列的走義耳-&一 =豪5 >2等差數(shù)列的通項公式£ =6十5-昭 等差數(shù)列的求和公式工=yW 7=呻+心0才 等差數(shù)列的性炭口丄7.=去-巳也-F -纟)等比數(shù)列的走交厶=ga> J%-等比數(shù)別的ill貫公我專比數(shù)列6-6彳=垃I) I 1 朋血-1)等比埶列的'性質(zhì)孔九=H % (血十克=戸+孕>菩比數(shù)列的求和公式軋1、定義法若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，求通公式項時，只需求出31與d或31與q ,再代入公式an31n 1 d或ana1qn 1中即可.例1、成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和

2、等于15,并且這三個數(shù)分別加上2, 5，13后成為等比數(shù)列 bn的b3,b4,b5,求數(shù)列bn的的通項公式.數(shù)列 an是等差數(shù)列，數(shù)列 bn是等比數(shù)列，數(shù)列 cn中對于任何n N 都有cnan1bn，C1 0，C2 6，C354,分別求出此三個數(shù)列的通項公式形如an 1anf n已知a1型的的遞推公式均可用累加法求通項公式（1）當(dāng)fnd為常數(shù)時，an為等差數(shù)列，則 ana1n 1（2）當(dāng)fn為n的函數(shù)時,用累加法.方法如下：由ar1 1anf n得當(dāng)n2時，anan 1f n1an 1an 2fn 2La3a? f232a1f1以上n 1個等式累加得ana1fn1 +f n 2L f 2 f

3、12、累加法d ；an1 +f若若若若已知ai，an例2、數(shù)列1 an可以是關(guān)于可以是關(guān)于可以是關(guān)于可以是關(guān)于an中已知n的一次函數(shù),n的二次函數(shù),n的指數(shù)函數(shù),f n可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;累加后可分組求和;累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和求和ai 1,an 1 an 2n 3,求a.的通項公式.練習(xí)1:已知數(shù)列an滿足anOn 3n2且012,求On.練習(xí)2:已知數(shù)列an中,ai1,an 1an3n 2n ,求an的通項公式.練習(xí)3:已知數(shù)列an滿足ai12,an1On1-一,求求an的通項公式.n n

4、3、累乘法an 1形如On已知口 ai型的的遞推公式均可用累乘法求通項公式給遞推公式an1On中的n依次取1,2,3 ,n 1,可得到下面n 1個式子:獨f011単a2f 2単03丄傘fan 1利用公式On 01a3_a2Ola3基aJ «nOn 10,n N 可得:ana12例3、已知數(shù)列 an滿足a1 -,an 13n + 冷求an.練習(xí)1：數(shù)列an中已知ai 1,an 1an，求 ann的通項公式.練習(xí)2：設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列,2且（n 1）an 12nan an何 0，求耳的通項公式.4、奇偶分析法（1）對于形如an 1anf n型的遞推公式求通項公式當(dāng)an 1andd

5、為常數(shù)時，則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2,其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論n的函數(shù)時，由an 1anan an 1 f n 1 兩式相減，得到an+1an 1分奇偶項來求通項.例4、數(shù)列an 滿足 41,an 1an 4，求an的通項公式.不同的信念，決定不同的命運練習(xí)：數(shù)列an滿足ai6, an 1 an6，求an的通項公式.例5、數(shù)列an滿足a0, an 1 an2n，求an的通項公式.練習(xí)1：數(shù)列an滿足61,a n 1an n 1，求an的通項公式.練習(xí)2：數(shù)列an滿足6z an 1 an 3n 1，求an的通項公式.不同的信念，決定不同的命運(2)對于形如an 1 an

6、 f n型的遞推公式求通項公式當(dāng)an 1 an d d為常數(shù) 時，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2,其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論.當(dāng)f n為n的函數(shù)時，由an 1 an fn ，an an iaf n 1兩式相除，得到上an 1f n，分奇偶項f n 1例6、已知數(shù)列an滿足a12, an 1an4，求 an的通項公式.練習(xí)：已知數(shù)列an滿足ai23，anan2，求an的通項公式.例7、已知數(shù)列an滿足ai3, an 1ann1 卡，求2an的通項公式.練習(xí)1：數(shù)列an滿足a1 2,an 1 a.3n，求 的通項公式.練習(xí)2：數(shù)列an滿足311,an 1 an2n，求an的通項

7、公式.5、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）若給出條件直接求 an較難,可通過整理變形等從中構(gòu)造出一個等差或等比數(shù)列，從而根據(jù)等差或者等比數(shù)列的定 義求出通項.常見的有：anpanq p,q為常數(shù) an 1 t p an t ,構(gòu)造an t為等比數(shù)列.anpanx ntp1 t, p為常數(shù)兩邊同時除以pn 1an 1n 1pan 1pantq"an 1panqnan 2pan1+qanan 2 tan 11 t,p ,q為常數(shù)r P,q,r是常數(shù)兩邊同時除以Pan 1an 1n 1qP an 1 t an衛(wèi)ant,再參考類型1q qp ann,構(gòu)造等比數(shù)列an 1 tan例8、已知數(shù)列an 中，a

8、11， an12an 3，求 an.不同的信念，決定不同的命運練習(xí)：已數(shù)列an 中，a11 且 an 1例9、已知數(shù)列an 中，ai3, an 13an 3n二求an的通項公式.練習(xí)1：已知數(shù)列an中，ai3,an 2an 12n，則 an練習(xí)2:已知數(shù)列an中,ai23,an13an4 3n ,求an的通項公式.例10、已知數(shù)列an滿足an 16an-n 12, a11,求 an.練習(xí)1：設(shè)數(shù)列 an滿足a11, an 13an 2n，則an不同的信念，決定不同的命運練習(xí)2：已知數(shù)列 an中，a113ann 1，求 an.練習(xí)3：已知數(shù)列 ann N的滿足:ai13k,an 4n 1 3an

9、 1 n 2,k -,k R(1)判斷數(shù)列 an 是否成等比數(shù)列;n 7求數(shù)列 an的通項公式.例11、數(shù)列an中已知ai1,an 12an 3n,求an的通項公式.不同的信念，決定不同的命運練習(xí)1：數(shù)列an中已知ai2,an 13an n 2,求an的通項公式.練習(xí)2：數(shù)列an中已知ai2, an 13an 2n2n 2,求an的通項公式.例12、已知數(shù)列an中，3, 5,322,3n 23n 1 +33n 2 門 3，求求an的通項公式.練習(xí)1:已知數(shù)列 3n中，3,1,322, 3n+2l3n+1+33n，求求3n的通項公式.練習(xí)2：在數(shù)列an中，311,a23一，3n53 -an 15

10、233n，令 bn3n 13n 。(1)求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列,并求bn 。(2)求數(shù)列 an的通項公式。不同的信念，決定不同的命運16、利用an與Sn的關(guān)系如果給出條件是an與Sn的關(guān)系式，可利用an4 n 1求解.S1Sn 1, n 2例13、已知數(shù)列an的前n項和為Snn2 2n3，求an的通項公式.練習(xí)1 :已知數(shù)列 an的前n項和為Sn3，求an的通項公式.練習(xí)2：若數(shù)列an的前n項和為Sn32an3,求an的通項公式.練習(xí)3：已知數(shù)列 an前n項和Sn 4an六，求an的通項公式.不同的信念，決定不同的命運7、倒數(shù)法（1）an 1panqan P1qan P _ 1pananan

11、 1g,構(gòu)造丄是等差數(shù)列panan1panqanan 1panP an例14、已知數(shù)列an滿足ai=1,an2an3an 2an的通項公式.練習(xí)：已知數(shù)列an中，a13,an 1a,則2 anan例15、已知數(shù)列an滿足印=1, an2an 14，求an的通項公式.練習(xí)：已知數(shù)列an中，a13,an 132an1 an,則an8、an 1panP 0,an兩邊取對數(shù)Igan 1Ig P rig 轉(zhuǎn)化為 1p%q型例16、已知數(shù)列an中，ai100,an210 an,求 an練習(xí)：已知數(shù)列an中,ai2> an 1a；,求 an9、其他例17、已數(shù)列an中，ai1 , an 1an an 1 an ,則數(shù)列通項an例18、在數(shù)列an中，31 = 1 , n2 時，an、Sn、Sn-1成等比數(shù)列.2(1)求 82,83,34 ；(2)求數(shù)列an的通項公式.例19、已知在等比數(shù)列an中,a11，且a2是a1和a3 1的等差中項.不同的信念，決定不同的命運(1)求數(shù)