立體幾何100題

1、立體幾何 100 題1.如圖，三角形中， ，是邊長為 l 的正方形，平面底面，若分別是的中點 （1）求證：底面；（2）求幾何體的體積 .2在三棱錐中， 和是邊長為的等邊三角形，（1）求證： 平面；（2）求證 : 平面；（3）求三棱錐的體積 . 3如圖，在直三棱柱中，（1）證明： 平面；（2）若，求三棱錐的體積4如圖，在三棱柱中， 平面，點是與的交點，點在線段上，平面 （1）求證：；（2）若 ,求點到平面的距離 . 5如圖，四棱錐中，底面是直角梯形， （1）求證： ； （2）判定是否平行于平面，請說明理由 6如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，（1）求證：7，點分別為的中點 .分別是的中點 .是正三角形

2、， 是的中點分別為， 的中點平面；如圖，在矩形中，2）求證： 平面，平面，分別為的中點，點是上一個動點當(dāng)是中點時，求證 當(dāng)時，求的值 如圖，在正三棱柱中，點分別是的中點（1）（2）8.求證：/平面:平面平面；若求證：A1B丄平面B1CE.9如圖，在長方體中，（1）證明直線平行于平面； （2）求直線到平面的距離 . 10如圖所示，菱形與正三角形所在平面互相垂直， （1）求證： 平面； （2）若，求幾何體的體積 .11.在直三棱柱 ABC A1B1中，AB= AC, E是BC的中點，求證: （I ）平面 AB1E丄平面B1BCC1;（n ） A/ 平面 AB1E平面，且，12如圖，在三棱柱中，平面

3、， ，點為的中點 .（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積 .13如圖，在多面體中，四邊形是正方形，在等腰梯形中，為中點，平面平面 .（1）證明：； （2）求三棱錐的體積 .14已知三棱錐， ，為的中點，平面， ，是中點，與所成的角為，且(1) 求證：；( 2)求三棱錐的體積 .15.在四棱錐中,平面平面, ,是等邊三角形,已知, , .(1 )設(shè)是上一點,求證：平面平面 .( 2)求四棱錐的體積 .16.如圖,在四棱錐中,底面,底面為菱形,為的中點(1)求證： 平面；(2)求三棱錐的體積 .17如圖，在直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)中，點是的中點( 1)求證： 平面；( 2)若， ，求證：

4、18如圖所示，四棱錐中，平面平面，( 1 )證明：在線段上存在一點，使得平面；( 2 )若，在( 1)的條件下，求三棱錐的體積19 (本小題共 12 分)如圖，邊長為 3 的正方形所在平面與等腰直角三角形所在平面互相垂直， (I )求證： 平面；(n )求三棱錐的體積.，且，20.如圖,在四棱錐中,底面是邊長為 2的正方形,分別為的中點,平面底面 .(1)求證 :平面；( 2)若，求三棱錐的體積 .21.在直三棱柱 ABC A1B1中，AB= AC, E是BC的中點，求證: (I )平面 AB1E丄平面 B1BCC1;( n ) A/ 平面 AB1E.22.如圖,四邊形為等腰梯形, ,將沿折起

5、,使得平面平面, 為的中點,連接 .2)求到平面的距離 .如圖，四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點( 1 )求證：23.(I24)證明：平面； ( n )設(shè),求三棱錐的體積.如圖,在多面體中,四邊形是正方形,在等腰梯形中,，為中點，平面平面 .(1)證明：； (2)求三棱錐的體積 .25如圖 1 ，在矩形中，是的中點，將沿折起，得到如圖2 所示的四棱錐，其中平面平面( 1)證明：平面；(2)設(shè)為的中點，在線段上是否存在一點，使得平面，若存在， 說明理由 .26如圖，在四棱錐中， ， 平面， .設(shè)分別為的中點(1)求證：平面/平面；(2)求三棱錐的體積.求出的值；若不存在，請27.如圖所示,在

6、長方體中,底面是邊長為 1 的正方形,為棱上的一個動點 .( 1 )求三棱錐的體積；( 2)當(dāng)取得最小值時，求證：平面 .28在三棱柱中，已知側(cè)棱底面為的中點，( 1 )證明 : 平面；( 2 )求點到平面的距離 .29五邊形是由一個梯形與一個矩形組成的，如圖甲所示，線將五邊形折成直二面角，如圖乙所示B 為 AC 的中點，先沿著虛(I )求證：平面平面；(n)求圖乙中的多面體的體積.30如圖 1， 中， ，點為線段的四等分點，線段互相平行，現(xiàn)沿折疊得到圖 體，此幾何體的底面為正方形 .2 所示的幾何( 1)證明： 四點共面；( 2)31如圖，三棱錐中， 平面， 面的平面交于點，交于點 .( 1

7、)求證： 平面；( 2)若，求點到平面的距離求四棱錐的體積 .分別是的中點， 是線段上的任意一點， ，過點作平行于底32如圖，已知正方體的棱長為 ( 1 )證明：四點共面； ( 2 )求幾何體的體積 .3，分別是棱、上的點，且33如圖，在四棱柱中，已知平面平面，且，( 1)求證：；( 2)若為棱的中點，求證：平面34如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，且平面, 為的中點，(I ) 求證：直線平面；(n ) 若是的中點，求三棱錐的體積；35如圖，將菱形沿對角線折疊，分別過，作所在平面的垂線， 形，且 .( 1)求證：平面；( 2)若，求該幾何體的體積 .，垂足分別為， ，四邊形為菱36如圖，在四

8、棱錐中，平面 .( 1)求證： 平面；(2) 若為線段的中點，且過三點的平面與線段交于點，確定點的位置，說明理由；并求三 棱錐的高 .37如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱底面，且側(cè)棱的長是，點分別是的中 點.(I38)證明：平面；(n如圖，多面體中， ,)求三棱錐的體積 . 平面，且 .)為線段中點，求證：平面；(n )求多面體的體積.平面, 是的中點 .39在如圖所示的幾何體中，四邊形是矩形，( 1 )求證： 平面；( 2)若, ,求證平面平面 .為中點 .40.如圖,四邊形為梯形, , 平面,( 1 )求證：平面平面；(2)線段上是否存在一點,使平面？若有,請找出具體位置,并進

9、行證明：若無,請分析 說明理由 .41已知四棱錐中,底面是邊長為的菱形, ,點是棱的中點,點在棱上,且, / 平面(I )求實數(shù)的值；(n )求三棱錐的體積.42在三棱柱AA1 的中點，(1)求證：ABC-A1B1 中，AB=BC=CA=AA1=2 側(cè)棱 AA1 丄平面 ABC,且 D, E分別是棱 A1B1, 點 F 在棱 AB 上，且 AF=AB。EF/平面BDC1; (2)求三棱錐 D-BEC1的體積。43如圖 2,疊后點疊在線段上的點記為,并且四邊形為矩形, 丄平面, ,作如圖 3 折疊,折痕 ,其中點分別在線段上,沿折 丄.(1)證明： 丄平面;(2)求三棱錐的體積 .44.由四棱柱

10、 ABCD-A1B1D1截去三棱錐 C1- B1CD1后得到的幾何體如圖所示 ，四邊形ABCD 為正方形，0為AC與BD的交點,E為AD的中點,A1E平面ABCD(1) 證明： / 平面 B1CD1;(2) 設(shè)M是0D的中點，證明：平面 A1EM平面B1CD1.45如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面 .(1 )求證 :(2)求與平面所成角的正弦值 .46. 如圖，三棱柱 ABC- A1B1中，各棱長均為 2, D, E, F分別為棱 AB, BC, A1的中點.(I )證明 EF/ 平面 A1CD；(n )若三棱柱 ABC- A1B1 為直棱柱, 求三棱錐的體積.47. 如圖所示,四棱錐,已知平

11、面平面, .(I)求證：；(II)若，求三棱錐的體積.48. 在四棱錐中, 為正三角形,平面平面,(I )求證：平面平面； (n )求三棱錐的體積；(川)在棱上是否存在點，使得平面 ？若存在，請確定點的位置并證明；若不存在，說明理 由.49. 如圖,已知多面體的底面是邊長為 2 的正方形,底面, ,且.(I)求多面體的體積；(n)求直線與平面所成角的正弦值；(m )記線段的中點為，在平面內(nèi)過點作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明.50 .如圖，三棱柱的側(cè)面為正方形，側(cè)面為菱形，(I )求證：平面 ；(n)若，求三棱柱的體積.51 .在三棱柱中， ， 為的中點 .( 1 )證明：

12、 平面;(2)若，點在平面的射影在上，且側(cè)面的面積為，求三棱錐的體積52.如圖： 是平行四邊行， 平面, / , ， ( 1 )求證： / 平面;( 2)求證：平面平面;53.如圖，四棱錐中，平面平面，底面為梯形， 重心 .，且與均為正三角形， 為的中點， 為(1 )求證： 平面；(2)求三棱錐的體積 .且.(1 )求證： 平面；(2)過作平面，垂足為， 55.如圖，在直三棱柱(1)求證：BD丄平面;54.如圖，邊長為 2 的正方形和高為 2 的直角梯形所在的平面互相垂直， 求三棱錐的體積 .ABC-A1B1 中，AB=BC=BB1 , D 為 AC上的點，B/平面 A1BD; (2)若且，求

13、三棱錐 A-BCB1 的體積.56.如圖，四邊形為菱形， 為與的交點， 平面.(1 )證明：平面平面；(2)若，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積(平面為底面)57. 已知球內(nèi)接正四棱錐的高為相交于，球的表面積為，若為中點(1)求異面直線和所成角的余弦值;(2)求點到平面的距離 .58. 如圖，在四棱錐中，底面，點為棱的中點 .(1 )證明：面； ( 2)證明；( 3)求三棱錐的體積.59. 在四棱錐中， ， 平面為的中點， .(1)求四棱錐的體積； (2)若為的中點，求證面 .60.在三棱柱中， ，側(cè)棱平面，且， 分別是棱， 的中點，點棱 上，且.(1 )求證：平面； (2)求三棱錐的體積.

14、61. 如圖，四棱錐 P ABCD中，AD丄平面PAB, AP丄AB.為的中點，且為正三角形(1)求證：CD丄AP;(2)若CD丄PD,求證：CD/平面PAB;62. 如圖,已知三棱錐中, , 為的中點,(I )求證：平面；.若,求三棱錐的體積 .(n )請作出點在平面上的射影,并說明理由63如圖，在三棱錐中，平面平面， 分別為，中點I 八、( 1 )求證： 平面；( 2)求證： (3)求三棱錐的體積.64.如圖,在四棱錐中, (1 )求到平面的距離AE丄DE, CD丄平面ADE, AB丄平面ADE, CD=DA=6, AB=2, DE=3說明理由(2)在線段上是否存在一點,使？若存在,求出的

15、值；若不存在,65在如圖所示的多面體中,平面, (1) 在上求作點,使平面,請寫出作法并說明理由；(2) 求三棱錐的高.66.如圖,直角梯形中, ,平面平面 , 為等邊三角形, 分別是的中點,(1)證明：;(2)證明： 平面;(3) 若,求幾何體的體積 .67如圖,正三棱柱中,為中點,為上的一點,.(1) 若平面,求證： .(2) 平面將棱柱分割為兩個幾何體,記上面一個幾何體的體積為,下面一個幾何體的體積 為,求 .,形成如圖所示的多面體,且68如圖,將邊長為的正六邊形沿對角線翻折,連接、(I)證明：平面平面；(II)求三棱錐的體積.69.如圖,在三棱柱中, 底面, , 是棱的中點.(I )求

16、證： 平面；(n )求三棱錐的體積；(川)在線段上是否存在點，使得？請說明理由.70如圖,棱柱中,底面是平行四邊形,側(cè)棱底面,(I )求證：平面；(n )求點到平面的距離.71.如圖,四棱錐中,底面,底面是直角梯形, , ,點在上,且 .( 1)已知點在,且,求證：平面平面；(2 )若的面積是梯形面積為，求點E到平面的距離.72如圖,在直角梯形中, ,直角梯形通過直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到,且使得平面平 面為線段的中點,為線段上的動點(I )當(dāng)點是線段中點時，求二面角的余弦值；(n )是否存在點，使得直線/平面？請說明理由.73.在斜三棱柱中，平面底面，點、D分別是線段、BC的中點.(1)求證

17、：；(2)求證： AD/ 平面.74.如圖，為邊長為 2 的正三角形， ，且平面， . (1)求證：平面平面；( 2)求三棱錐的高 .75.如圖七面體 ABCDEFG ,面ABCD,ADEF,ABG都是正方形.M,N分別是棱 FG,DE的中點.(1)求證:直線MN /平面CEG; (2)若AB=a,求三棱錐 M-CEG的體積.76如圖 ,在四棱椎中 ,底面為矩形 ,平面面 , , 為中點 .(1 )求證： 平面；(2)求三棱錐的體積 .77.已知在四棱錐中，底面是矩形，且平面，分別是線段的中點 .( 1 )證明： ； (2)若，求點到平面的距離 .78.如圖在四棱錐中，平面， ，且平分與交于點

18、， 為的中點，(I )證明平面；(n )證明平面；(川)求三棱錐的體積.，平面底面， 為的中點， 是棱上的點，79.如圖，在四棱錐中， 底面為直角梯形，(I )求證：平面平面；(n )若三棱錐的體積是四棱錐體積的，設(shè)，試確定的值.80.如圖，點在以為直徑的圓上， 垂直與圓所在平面， 為的垂心 . ( 1 )求證：平面平面；(2)若，點在線段上，且，求三棱錐的體積 .81.如圖，在三棱錐中，平面 平面，點在上，(I )求證：；(n )若二面角的余弦值為，求三棱錐的體積82.如圖， 是正方形， 平面， ， .( 1 )求證： 平面；( 2)求證： 平面；(3) 求四面體的體積 .83.如圖 ,在四

19、棱柱中 ,已知 , 是的中點(1)求證 : ；(2)求三棱錐的體積 .， 為上一點， 為的中點 .84 .已知四棱錐中，底面為矩形， 底面，1)在圖中作出平面與的交點，并指出點所在位置(不要求給出理由)2)求平面將四棱錐分成上下兩部分的體積比.85.如圖,在多面體中,四邊形為等腰梯形, ,與相交于,且,矩形底面,為線段上一動 點,滿足 .(I )若平面，求實數(shù)的值；(n)當(dāng)時，銳二面角的余弦值為，求多面體的體積.86已知四棱臺的下底面是邊長為4 的正方形，且面，點為的中點，點在上， ，與面所成角的正切值為 2.(I )證明：面；(n )求證：面，并求三棱錐的體積 .87. 如圖在四棱錐 P-A

20、BCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面 PAD底面ABCD,(1) 求證：平面 PAB平面PCD(2) 若過點B的直線垂直平面 PCD,求證：/平面PAD.88. 在直三棱柱中， 是的中點， 是上一點 .( 1 )當(dāng)時,證明： 平面；(2)若,求三棱錐的體積 .，點是的中點 .89. 如圖,四棱錐中,底面是矩形,平面 平面,且是邊長為的等邊三角形,(1)求證： 平面 ；( 2)求四面體的體積 .90已知球內(nèi)接四棱錐的高為相交于，球的表面積為，若為中點 (1)求異面直線和所成角的余弦值；(2)求點到平面的距離 .91如圖所示的幾何體中，四邊形為菱形， 面內(nèi)任一點 .(1)在平面內(nèi)，過點是否存在直線使？如果不存在，請說明理由，如果存在，請說明作法； (2)過， ， 三點的平面將幾何體截去三棱錐，求剩余幾何體的體積 .