解直角三角形題型帶解析

1、解直角三角形題型一帶解析作者:日期:1、（2 0 17 ?河南）如圖所示，我國(guó)兩艘海監(jiān)船A, B在南海海域巡航，某一時(shí)刻,兩船同時(shí)收到指令，立即前往救援遇險(xiǎn)拋錨的漁船C,此時(shí),B船在A船的正南方向 5海里處，A船測(cè)得漁船C在其南偏東4 5方向,B船測(cè)得漁船C在其南偏東53°方向，已知A船的航速為30海里/小時(shí)，B船的航速為25海里/小時(shí)，問(wèn)C船至少要等待多長(zhǎng)時(shí)間才能得到救援？（參考數(shù)據(jù)：sin53 - 住,cos53，t a n53°，5531.4 1)【解答】解：如圖作CE丄AB于E .【分析】如圖作C E± AB于E.設(shè)AE=E C=x，則BE=x- 5,在R

2、tB CE中，根 據(jù)tan 5 3°苓,可得芻-,求出X，再求出BC、AC,分別求出A、B兩船到C的BE 3 k5時(shí)間，即可解決問(wèn)題.在 RtAACE中/ A=45, A E= EC設(shè) AE=EC=x，貝UB E=x 5,tan53 晉,解得x=2 0 , AE=E& 20, AC=20 后28.2,B C曇廠=25, A船到C的時(shí)間°警=0.9 4小時(shí),B船到C的時(shí)間=1小時(shí), C船至少要等待0.94小時(shí)才能得到救援.2、（2 016?可南）如圖,小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處，測(cè)得正前方旗桿頂 部A點(diǎn)的仰角為3 7°,旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45

3、76;升旗時(shí)，國(guó)旗上端懸掛在距地 面2.2 5米處，若國(guó)旗隨國(guó)歌聲冉冉升起，并在國(guó)歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，則國(guó)旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？（參考數(shù)據(jù)：S i n 37。°0 . 6 0,coS3 T° 0.80,tan 37° 0. 75)【分析】通過(guò)解直角 BCD和直角 AC D分別求得BD、CD以及A D的長(zhǎng)度，則易得AB的長(zhǎng)度，則根據(jù)題意得到整個(gè)過(guò)程中旗子上升高度，由 速度 =上閉器度”進(jìn)行解答即可.【解答】 解:在RtBCD中，BD = 9米，/ BC D=4 5°,則BD=C D=9米.在 RtAC D 中,C D=9米，/ACD

4、=37° 貝 U AD=C D?ta n37°° 9X 0. 75=6.7 5（米）.所以，A B=AD+BD= 15.75 米, 整個(gè)過(guò)程中旗子上升高度是：15.75- 2 .2 5= 13. 5 （米）, 因?yàn)楹臅r(shí)45s,所以上升速度V 答：國(guó)旗應(yīng)以0.3米/秒的速度勻速上升.3、（2 0 15?可南）如圖所示，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組選定測(cè)量小河對(duì)岸大樹(shù) BC的高度,他們?cè)谛逼律螪處測(cè)得大樹(shù)頂端B的仰角是30。,朝大樹(shù)方向下坡走6米到達(dá)坡底A處，在A處測(cè)得大樹(shù)頂端B的仰角是48。,若坡角/F AE=30。，求大樹(shù)的高度（結(jié)果 *0 .67, ta n4 8 o 1.1

5、1,亦-在直角三角形AH D中,保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù):sin4 8°0 . 7 4, cos48V/ DAH=30 :AD =6, DH=3,A十 33,二 C（G= 3,在直角三角形ABC中，AC =BCtanZBAC 1.11 '設(shè)BC為X,-DG = 3 , BG=x- 3,在直角三角形BD G中， BG= DG?ta n30°, X-3=(3譏古瘁解得：x 13,大樹(shù)的高度為：1 3米.4、（2 014?可南）在中俄海上聯(lián)合-20 14 ”反潛演習(xí)中，我軍艦A測(cè)得潛艇CB測(cè)得潛艇C的俯角為（結(jié)果保留整數(shù)，參考6 8 °試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開(kāi)海平

6、面的下潛深度.在Rf ACD中，C D芻俏臚在R t BCD中，BD=C D?t a n6 8°'I 000+x =0x ?ta n68 °解得：x卡rri?煤r30 8米,海平面的俯角為30。，位于軍艦A正上方100 0米的反潛直升機(jī)潛艇C離開(kāi)海平面的下潛深度為 308米.5、（2013?河南）我國(guó)南水北調(diào)中線工程的起點(diǎn)是丹江水庫(kù)，按照工程計(jì)劃，需對(duì)原水庫(kù)大壩進(jìn)行混凝土加高，使壩高由原來(lái)的1 6 2米增加到17 6 .6米，以抬高蓄水位如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖，其中原壩體的高為BE，背水坡坡角/ BAE = 6 8°,新壩體的高為DE,背水坡

7、坡角/D CE=60.求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的寬度AC（結(jié)果精確到0 .1米.參考數(shù)據(jù):sin68°0.93,cos68 4 0.37, ta n68°2 .50,苗LYS）.【解答】解：在RtA BAE中, BE=162米，/BAE=6 8,A E誌廠涉話=64.8 （米）, 在 RtDCE中, DE =1 7 6.6米，/ DCE= 60°晉尹=器 1 0 2.08（米）,則 A C=C E- AE= 1 0 2.08 - 64.8=37.3 （米）.答:工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的寬度 AC約為37 .3米.6、（2017?鄭州二模）如

8、圖，高鐵列車(chē)座位后面的小桌板收起時(shí)可以近似地看作 與地面垂直，展開(kāi)小桌板后，桌面會(huì)保持水平，其中圖1、圖2分別是小桌板收起時(shí) 和展開(kāi)時(shí)的實(shí)物，圖3中的實(shí)線是小桌板展開(kāi)后的示意圖，其中0B表示小桌板桌 面的寬度，BC表示小桌板的支架，連接OA,此時(shí)OA=75厘米，/ AOB=/A CB =37°且支架長(zhǎng)BC與桌面寬O B的長(zhǎng)度之和等于OA的長(zhǎng)度，求點(diǎn)B到A C的距離.（參考數(shù)據(jù)sin3 7°0. 6, c os37°"0 .75）SI【解答】解涎長(zhǎng)0B交AC于點(diǎn)D,DC由題可知：BD丄CA, 設(shè) BC =xcm，則 BO =OA- BC=(75-x) cm

9、,在 RtA CBD 中, BD=BC?sirn AC吐x?sin 3 7°0.6x,DO=OB BD=75- x+ 0.6x=(75- 0.4 x )cm,在 RtA AOD 中,DO= AO?cosZAO D=75 ?co s37=60cm , 75- 0. 4x=60,解得：x=3 7.5,二 BD= 0.6x=22.5cm ,答：點(diǎn)B到AC的距離為22.5cm.7、太陽(yáng)能光伏建筑是現(xiàn)代綠色環(huán)保建筑之一，老張準(zhǔn)備把自家屋頂改建成光伏瓦面，改建前屋頂截面 ABC如圖2所示，BC=10米，/ AB C=/A CB=36,改建后頂點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，且/ BDO90 °,

10、求改建后南屋面邊沿增加部分A D的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0 .1米）（參考數(shù)據(jù)：sin18° 0.31,cos18 是0. 9 5. tan1 80.32, s in36 °0 .59.cos36 鼻 0.8 1,tan 36° 0.73)在 RtA AOD 中, OV廠=4(km).AB =10(k m),-CD =BC ?si n B=10X 0. 59=5. 9,在 RtB CD 中，/ BCD=90-/ B= 90° - 36°=54° / ACD =/ BCD-/ AC B=54。- 36 °=18°,在 Rf

11、 ACD 中，tan/A CDfAD =CD?tanZ ACD=5.9X 0. 3 2=1.8881 .9 (米)， 則改建后南屋面邊沿增加部分 AD的長(zhǎng)約為1 .9米.8、（2 0 17鄭州外國(guó)語(yǔ)三模）如圖，在航線I的兩側(cè)分別有觀測(cè)點(diǎn)A和B點(diǎn)A到航線I的距離為2km,點(diǎn)B位于點(diǎn)A北偏東60。方向且與A相距1 0km處.現(xiàn)有一艘輪船從位于點(diǎn)B南偏西7 6°方向的C處，正沿該航線自西向東航行,5min后該輪船行至點(diǎn)A的正北方向的D處.（1）求觀測(cè)點(diǎn)B到航線l的距離;（2 ）求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1 km/ h ）.（參考數(shù)據(jù)：h/5-1.7 3, si n 7 6*0 .9

12、 7,c os76°0.24, tan764.0 1)/ OAD = 60°,AD=2( km),OB=AB OA =6 (km).在 RtA BOE 中,/O BE=/ OA D=60 , BE=O B?cos6 0°= 3( km).答：觀測(cè)點(diǎn)B到航線I的距離為3 km.(2)在Rt AOD中，OD=AD?t an 60 =(k m),在 RtABOE中,OE =BE?ta n6 0。二邁(km),- DE= OD+OE=(k m).在R t CBE 中，/CBE =76°, BE= 3(km), CE=BE?tarn CBE=3fe n76

13、6;. CD=C E DE=3ta n76-航 3. 38( km). 5 (m in )=(h). v 哼=1 2CD=12X3. 384 0. 6( km/h). I?答：該輪船航行的速度約為40.6km/h.9、（20 1 7鄭州八中三模）如圖,小明想用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量湖心島上的迎賓槐與岸上的涼亭間的距離，如圖，小明想用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量湖心島上的迎賓槐與岸上的 涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測(cè)得湖心島上的迎賓槐 C處位于北偏東 6 5方向然后，他從涼亭A處沿湖岸向正東方向走了 1 0 0米到B處，測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東4 5 。方向（點(diǎn)A B、C在同一水平面上）.請(qǐng)你利

14、用小明測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐 C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離（結(jié)果精確到1米）.則/ BCD=45 ° / ACD=65 °(參考數(shù)據(jù)：sin 2 5°0.4226,cos 25°0.9063,tan2 5 住0.46 6 3,sin 65在 RtA CD 和R t BCD 中, 設(shè) AC X,則A D=xs in 65°BD=CD =xc o s 65°/I 0 0 +XCOS 65°=xs in65 :100-x =wsinSS -cos65湖心島上的迎賓槐C處與涼亭A處之間距離約為20 7米.1 0、（2

15、017?安陽(yáng)一模）某校興趣小組想測(cè)量一座大樓 AB的高度.如圖，大樓前有一段斜坡BC,已知BC的長(zhǎng)為1 2米，它的坡度i=1V3 .在離C點(diǎn)4 0米的D處,用測(cè)角儀測(cè)得大樓頂端A的仰角為 37°測(cè)角儀DE的高為1 .5米，求大樓AB的高度約為多少米？結(jié)果精確到0 . 1米）(參考數(shù)據(jù)：sin 37°0 .6 0, cos3 7°0 .80,tan3 70.75, V1 . 7 3.)"口口【解答】解涎長(zhǎng)AB交直線DC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EH丄A F,垂足為點(diǎn)H.V在RtA BCF中，塑二1= 1血C?設(shè) BF=k 貝U CF祈k,BC =2k.又: BC=1

16、2 , k=6, BF=6 CF=還.V DF =DC+ CF,V 在 RtAA EH 中,t an/AEH詈, A H=tan 3 7 X(4 0+6 75)" 37.785米), DF=4(+吧.V BH= BF-FH , BH= 6 -1 .5=4.5.V AB=AH- HB, AB= 3 7.7 8 5- 4.5" 3 3 .3.答:大樓A B的高度約為33.3米.1 1、（2017?開(kāi)封二模）放風(fēng)箏是大家喜愛(ài)的一種運(yùn)動(dòng)星期天的上午小明在金明廣 場(chǎng)上放風(fēng)箏，如圖，他在A處不小心讓風(fēng)箏掛在了一棵樹(shù)梢上，風(fēng)箏固定在了D處， 此時(shí)風(fēng)箏AD與水平線的夾角為30 °

17、 ,為了便于觀察，小明迅速向前邊移動(dòng)，收線到達(dá)了離A處10米的B處，此時(shí)風(fēng)箏線BD與水平線的夾角為5 0 °,已知點(diǎn)A , B,C在同一條水平直線上，小明搬了一把梯子來(lái)取風(fēng)箏，梯子能達(dá)到的最大 高度為20米，請(qǐng)問(wèn)小明能把風(fēng)箏撿回來(lái)嗎？（最后結(jié)果精確到 1米）（風(fēng)箏線AD, BD均為線段 庾1.7 32,sin50 心0. 7 6 6,cos 50* 0 .643,tan5 0 °° 1.192)【解答】解作DH丄BC于H,設(shè)DH =x米.V/ ACD = 9 0 :在直角 ADH 中，/DAH =30°,AD =2DH= 2x,AH= DH-1 an 3

18、0°x,在直角 BDH 中,/ DO'BHo，BD =DH?snn50 °， AH-B H=AB=10 米,5 諾亍=1 0,小明此時(shí)所收回的風(fēng)箏的長(zhǎng)度為:AD - B D =2x -S in 5 0 ° = (2 si n5 0）X黑霊二=（2- O.7 6 6宀10U1928 米.1. 732X1.192-1答：小明此時(shí)所收回的風(fēng)箏線的長(zhǎng)度約是12、（2017?許昌二模）某社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量?jī)砂痘ハ嗥叫械囊欢魏拥膶?度，在河的北岸邊點(diǎn)A處，測(cè)得河的南岸邊點(diǎn)B在其南偏東45。方向，然后向北走20米到達(dá)C點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東3 3。方向，求出這

19、段河的寬度（結(jié)果精確到 1 米，參考數(shù)據(jù) sin 33*0.54,cos 33*0. 8 4, tan330.1.41)【解答】解：如圖，記河南岸為BE,延長(zhǎng)CA交BE于點(diǎn)D，則CD丄BE.由題意知，/ DAB=4 5°/ DCB =33°,設(shè) AD=x米，貝U BD=x米, CD=(20x)米,在 RtAC DB 中，塑=tan/DC B,C D盤(pán)T o.65,答：這段河的寬約為37米.1 3、（ 2 0 17平頂山二模）如圖，在坡角為3 矗立著一大型廣告牌，當(dāng)陽(yáng)光與水平線成0 °的山坡上有一鐵塔AB,其正前方45。角時(shí)，測(cè)得鐵塔AB落在斜坡上的影子BD的長(zhǎng)為6

20、米，落在廣告牌上的影子CD的長(zhǎng)為4米,求鐵塔AB的高（AB,CD均與水平面垂直，結(jié)果保留根號(hào)）.【解答】解:過(guò)點(diǎn)C作C E丄AB于E過(guò)點(diǎn)B作BF丄C D于F,在 RtA BFD 中,/D BF=3 0 :sin/D BF令，co s/ DBF需VB D=6, DF=3 BF=3W1,四邊形BFCE為矩形,Z AB/C D,CEIAB ,BF丄 C D,在 RtAACE中，/ ACE=45 ° BF =CE = 3血，CF=BE=CD DF=1， AE=CE= 73,AB=5+ 1.答：鐵塔A B的高為（37j+1）m.1 4、（2 01 7 ?信陽(yáng)二模）如圖,AC是某市環(huán)城路的一段，

21、A E、B F、CD都是南北方向的街道，其與環(huán)城路 AC的交叉路口分別是A、B、C經(jīng)測(cè)量東方家具城D位于點(diǎn)A的北偏東45°方向，點(diǎn)B的北偏東3 0。方向上，AB=2k m,/ DAC=1 5°求C、D之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）.【解答】解由題意可得/ EAD=45,/F BD=3 0°又/ DAC=15 °/ EAC=60, A EB F, / FBC =/ EAB=S 0° / DBC=30, / BDA=/D BC-/D AB=3 0° 15°= 1 5°A/B DA=/ DAB,二 AB= DB=2 km,

22、/A DB=15,A/D BC=Z ADB +/DA C=1 5°+15°= 30 °過(guò)B作BOID C交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,在 RtDB O 中，B D=2,/DBO= 60° D O= 2 X sin 60 °出,B O=2X cos 6 0°=1.在 RtA CBO 中,/C BO= 30°, C O= BOta n30°=耍,J CD=DO-CO3-弩普(k m).1 5、（2BF即C ,D之間的距離01 7南陽(yáng)二模）如圖，某同學(xué)自某觀景平臺(tái)A B上的A處看到有一個(gè)11階的樓梯，他測(cè)得最上面樓梯角 C的俯角為4

23、0。，最下面樓梯角D的俯角為45°若每個(gè)臺(tái)階的高為0. 15 m,寬為0 .30m,且樓梯的最底端與觀景臺(tái)的底端 B位于同一水平線上。試求觀景平臺(tái)的高AB（同學(xué)身高忽略不計(jì)）.（結(jié)果精確到0 .1m,參考數(shù)據(jù)：sin40 °0. 64, cos40°0. 7 7, tan4 0 °0 . 8 4仮E. 41 ）設(shè) A B= x,由題意知/A CF=40 °/DAB=/ADB= 45°貝U AB= AD=x,作CEl BD于點(diǎn)E，作CF丄AB于點(diǎn)F, BF=C1 1X 0.15 =1.65m, DE= 0.3 OX 11 =33 0m,

24、 AF=AIB-B F=x- 1 . 65,在 RtAAC F 中，由 t a n/A CF 雲(yún)可得 X 1.65CF X 3.300.84 ,解得:x2 7. 6 (m),答:觀景平臺(tái)的高A B約為2 7.6 m.16、一處中學(xué)在教學(xué)樓前新建了一座雕塑（如圖）.為了測(cè)量雕塑的高度，小王在二樓找到一點(diǎn)C利用三角板測(cè)得雕塑頂端 A點(diǎn)的仰角為3 0°底部B點(diǎn)的俯角為45°,小華在五樓找到一點(diǎn)D，利用三角板測(cè)得A點(diǎn)的俯角為60° （如圖）.若已知CD為10米，請(qǐng)求出雕塑AB的高度.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)礦=1.73）.ATTP*ijppajj【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作

25、CE丄AB于E.V/ ADC=9O。- 60°=3 0°/A CD= 9O。- 30°=60°, /C AD=9 0°.VCD = 1 O , AC：寺 CD=5.在 RtACE中,V/ AEC=90 °/ ACE=30, AE專CE=A C?C0/ ACE=5?c 0S 0 學(xué)V/B CE=4 5° BE =CE/3, AB=A&BE=（|_6. 8（米）.£ £所以，雕塑AB的高度約為6.8米.1 7、據(jù)調(diào)查,超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一. 上周末,小明和三位同學(xué)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)在一條筆

26、直的道路上檢測(cè)車(chē)速.如圖，觀測(cè)點(diǎn)C到公路的距離CD為1 00米，檢測(cè)路段的起點(diǎn)A位于點(diǎn)C的南偏西 60方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn) C 的南偏西45。方向上.某時(shí)段，一輛轎車(chē)由西向東勻速行駛，測(cè)得此車(chē)由A處行駛 到B處的時(shí)間為4秒.問(wèn)此車(chē)是否超過(guò)了該路段16米/秒的限制速度？（參考數(shù)據(jù):1.4 花1. 7）【解答】解：在RtBCD中,V/ BDO 90° / BC D=4 5° CD-I 00米, BD =CD=100米.在 RtA ACD 中,V/ AD C=90, / ACD=60,CD=l 00 米, AD=CD?fe n/A CD=10破（米）. A B=AD- BD=1

27、0朋-10 0 70 （米）.此車(chē)的速度為5 （米/秒）V 17.5> 16,此車(chē)超過(guò)了該路段16米/秒的限制速度.18、如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在樓 AB的頂部A處測(cè)得該樓正前方旗桿C D的頂端C的俯角為42。,在樓AB的底部B處測(cè)得旗桿CD的頂端C的仰角為31° ,已 知旗桿CD的高度為12m,根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù),計(jì)算樓AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）.參考數(shù)據(jù):t an4 2° 0.90,t a n48，1.11 ,tan3 1°0. 60.【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE丄AB于點(diǎn)E.依題意得:/ACE=42° / CBD = 31° CD =

28、12m.可得四邊形C DBE是矩形. BE=DC ,CE=DB.在直角 CB D 中，ta n /C BD =呂DB CE=D.在直角厶ACE中, t an/ACE塑CE AE=（B ?tan42 °i?t an42 °宰評(píng)=18 （米）.1. 60A B=AE + BE=3 0 （米）.答：樓AB的高度約為30米.1 9、如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東64°方向,距離燈塔120海里的A處,它沿正南方向航行一段時(shí)間后,到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，求BP和B A的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：sin 64 °0. 90, c os6

29、4 °0 .44, tan 64° 2.05壓取 1. 414.【解答】解:如圖作PC丄AB于C.由題意/ A=6 4° / B=45,PA= 12 0 ,在R t AP C 中,si nA罟,c osA| PC=PAS in A=120 ?s i n6 4°,AC =PA?cos =120?cos 64°在 RtA P CB中，/ B=45, PC =BC ,PC 120 X 0. 90卩吐.153.sin45 坐_T AB=A(+BC=12 0?c os 6 4°+ 120?sin64 ° 1 20X 0.90+120X

30、 0.44 161.答:BP的長(zhǎng)為153海里和BA的長(zhǎng)為161海里.20、如圖,港口 B位于港口 A的南偏東37方向,燈塔C恰好在AB的中點(diǎn)處.一艘海輪位于港口 A的正南方向，港口 B的正西方向的D處，它沿正北方向航行5km到達(dá)E處，測(cè)得燈塔C在北偏東4 5。方向上,這時(shí)，E處距離港口 A有多遠(yuǎn)？（參考數(shù)據(jù)：sin37 0 .60,co s 3 7。" 0.80,tan3 70.75)【解答】解:如圖作C H丄AD于H.設(shè)CH= xkm.在R t AC H 中，/ A= 37° t a n37°=-AH.AH=dStan37在 RtAC EH中 ,/ CE H=4

31、 5 °二 CH=BI = x, CH! AD,BD丄 AD, CH/ BD,.AH ACHD CB ' AC=C B,二 AH=H D,=x+5,.xpt翻 l-tan3?15 AE = AH+ HE=t 珀器 + 1 5 3 5 km, E處距離港口 A有35km .2 1、（2 0 17?黃岡）在黃岡長(zhǎng)江大橋的東端一處空地上，有一塊矩形的標(biāo)語(yǔ)牌ABC D （如圖所示），已知標(biāo)語(yǔ)牌的高AB=5m在地面的點(diǎn)E處,測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌點(diǎn)A的仰 角為30°,在地面的點(diǎn)F處，測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌點(diǎn) A的仰角為75°且點(diǎn)E ,F, B, C在同一直線上，求點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)