2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)ⅰ)

1、第1頁（共 22 頁）2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)I）、選擇題：本題共 1212 小題，每小題 5 5 分，共 6060 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.（ 5 分）已知集合M =x|4：x：2 , N =x|x2x _6：0，則）A.x| /：x：3B .x|-4: x：-2C.x | 2：x : 2D. x 12： ： ：x： ：32. （ 5 分）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足|z_ i1, z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x,y）,則（）2 2A . (x 1) y =1B .2 2(x -1)y =12 2C. x (y-1) -12 2D. x (y 1)

2、 =13. ( 5 分)已知 a Tog?0.2 ,b=20.2,c=0.2.3，則（）A . a : b : cB . a : c bC. c : a : bD . b：c：a4. （ 5 分）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是上1： 0.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美2 2人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是一口.若某人滿足上述兩個黃金分2割比例，且腿長為 105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（）A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5. ( 5 分)函數(shù) f

3、(x)Sin x x2的圖象在_二，二的大致為()cosx +x1第2頁（共 22 頁）6. （ 5 分）我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列”和陰爻“ 一一 ”，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機-n取一重卦，則該重卦恰有3 個陽爻的概率是（A . A.161132C.勺32D. U167. （ 5 分）已知非零向量b滿足| a |=2 |b |，且（a -b） _ b，則 a 與b的夾角為（JIC. 3& （ 5 分）如圖是求122 12的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入的 6 個爻組成，爻分為陽爻“第3頁（共 22 頁）1第4頁（共 22 頁）11A . A

4、B. A=2 2* AA11C. A =-D. A=11 +2A2A9. （ 5 分）記 Sn為等差數(shù)列an的前 n 項和已知 S4= 0, a5，則（A . an=2n B . an=3n 10C. Sn=2n28n D. SnJ n22n 210. （5 分）已知橢圓 C 的焦點為 Fi（-1,0） , F2（1,0），過 F2的直線與 C 交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B| , |AB|=|BFj，則 C 的方程為()2x2y 122 2C. 14311. （5 分）關(guān)于函數(shù)f (x) =sin |x| - |sinx|有下述四個結(jié)論:f（x）是偶函數(shù)2f（x）在區(qū)間（二,-：）

5、單調(diào)遞增23f（x）在-：,二有 4 個零點f（x）的最大值為 2其中所有正確結(jié)論的編號是（A .B .C.D.第5頁（共 22 頁）12. （ 5 分）已知三棱錐 P -ABC 的四個頂點在球 O 的球面上，PA=PB=PC，厶 ABC 是邊長為 2 的正三角形，E,F分別是PA,AB的中點，ZCEF =90，則球 O 的體積為（）A . & 6 二B . 4 6 二C. 2 . 6 二D . 6 二二、填空題：本題共 4 4 小題，每小題 5 5 分，共 2020 分。第6頁（共 22 頁）13.（5 分）曲線 y =3（x2x）ex在點（0,0）處的切線方程為 _ .1214.（

6、5 分）記 Sn為等比數(shù)列 的前 n 項和.若 a, a4，則 S5=.315.（5 分）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為 0.6，客場取勝的概率為 0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4:1 獲勝的概率是2 2X y16. （5 分）已知雙曲線C：p牙=1（a 0,b 0）的左、右焦點分別為 F1, F2，過 F1的直線a b與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點.若 FA,FBLFB =0，則 C 的離心率為三、解答題：共 7070 分。解答應(yīng)寫出文字說明、 證

7、明過程或演算步驟。 第 17211721 題為必考題， 每個試題考生都必須作答。第 2222、2323 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共 6060 分。17 .（ 12 分）UBC 的內(nèi)角A,B, C 的對邊分別為 a , b , c .設(shè)2 2（sin B -sin C） sin A -sin B sin C .(1 )求 A ;(2)若.2a b =2c，求 sinC .18.（ 12 分）如圖，直四棱柱 ABCD ABGD1的底面是菱形，AA =4 , AB = 2 ,BAD =60 ,E,M, N 分別是 BC , BB , AD 的中點.（1）證明： MN /平面 G

8、DE ；（2 ）求二面角 A-MA -N 的正弦值.第7頁(共 22 頁)19.(12 分)已知拋物線 C : y2=3x 的焦點為F,斜率為-的直線 I 與 C 的交點為A,B,2與 x 軸的交點為P.(1 )若| AF | |BF|=4，求 I 的方程；(2)若 AP =3PB，求|AB|.20.( 12 分)已知函數(shù)f(x) =sinx-ln(1x)，f (x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：(1)f (x)在區(qū)間(_1,匸)存在唯一極大值點；2(2)f(x)有且僅有 2 個零點.21.(12 分)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進 行動物試驗試驗方案如下：每一

9、輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗對于兩只白鼠，隨 機選一只施以甲藥， 另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠 未治愈則甲藥得 1 分，乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙 藥得 1 分，甲藥得-1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為:-和一：，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1 )求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4 分，Pi(i =0 ,

10、1,，8)表示“甲藥的累計得分為 i 時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 p0=0,p8=1 , Pi二 apijbpicpi1(i=1 ,2,，7)，其中a = P(X =-1),b =P(X =0),c = P(X =1).假設(shè)：=0.5 ,=0.8.(i)證明：P+p(i=0 , 1, 2,，7)為等比數(shù)列；(ii)求 P4，并根據(jù) P4的值解釋這種試驗方案的合理性.(二)選考題：共 1010 分。請考生在第 2222、2323 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。選修 4-44-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程(1010 分)點 0 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

11、直線 I 的極坐標(biāo)方程為22. (10 分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 C 的參數(shù)方程為1 -t2X笛y 二半L 1 +t(t 為參數(shù))以坐標(biāo)原第8頁(共 22 頁)2cos)3sin v 11 =0 .(1 )求 C 和 I 的直角坐標(biāo)方程；(2)求 C 上的點到 I 距離的最小值.選修 4-54-5 :不等式選講(1010 分)23.已知 a , b , c 為正數(shù)，且滿足 abc=1 .證明:(1), a b c ;a b c333(2)(a b) (b c) (c a)24 .第9頁（共 22 頁）2019 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)I）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共

12、 1212 小題，每小題 5 5 分，共 6060 分。在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的。1.（ 5 分）已知集合M =x| /：x：2, N =x|x2x 6：0，則 M“N=（）A .x| -4 : x：3B .x|/：x 2C.x | _2：x：2D.x |2： ： ：x：3【解答】 解：丁M =x| 4：x：2, N =x|x2x 6：0 =x| 2：x：3,故選：C .2. （ 5 分）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足|zi| = 1, z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x,y），則（）2 2 2 2 2 2 2 2A. (x 1) y =1 B. (x-1) y =1 C. x (y-

13、1) =1 D. x (y 1)=1【解答】解：丁 z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),z = x yi,.z -i =x (y-1)i,.| z i H/x2(y-1)2=1,2 2x (y -1) =1 ,故選：C .3. ( 5 分)已知 a = log20.2 ,b=2.2,c =0.2.3，則()【解答】解：a =log20.2：log21 =0,b =20220=1,：0 0.23：0.2=1,0.3.c =0.2(0,1),a :c :：b ,A . a : b : cB . a：C. c : a : bD. b： ：c： ：第10頁（共 22 頁）故選：B.4. （ 5 分）古

14、希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是-5=15=1 , 0.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美22人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5一1若某人滿足上述兩個黃金分2割比例，且腿長為 105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（）A 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm【解答】解：頭頂至脖子下端的長度為26cm ,說明頭頂?shù)窖屎淼拈L度小于26cm ,由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是-Ld ,0.618 ,2可得咽喉至肚臍的長度小于: 42cm ,0.618由頭頂至肚臍的長

15、度與肚臍至足底的長度之比是一,2可得肚臍至足底的長度小于42 26=110 ,0.618即有該人的身高小于 110 6 178cm ,又肚臍至足底的長度大于 105cm ,可得頭頂至肚臍的長度大于105 0.618 65cm ,即該人的身高大于 65 105 =170cm ,故選：B.5.（ 5 分）函數(shù) f（x）Sinxx2的圖象在m ,二的大致為（）cosx +x第11頁（共 22 頁）解:! f (x)SiXx2,xm ,二,cosx +x-s in x xsin x x22二f (x),cos( -x) x cos x x f （x）為-二，二上的奇函數(shù)，因此排除A;又 f （二）=衛(wèi)

16、吵220，因此排除B, C ;cos 兀+兀 1 +n故選：D.6.（ 5 分）我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的 6 個爻組成，爻分為陽爻“ 一”和陰爻“ 一一 ”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有 3 個陽爻的概率是（）A . 161121B .C. 323211D.16【解答】解: 在所有重卦中隨機取一重卦，基本事件總數(shù)6n = 264,該重卦恰有 3 個陽爻包含的基本個數(shù) m =CeC3=20 ,則該重卦恰有 3 個陽爻的概率 p =m二20=5.n 6416【解f(-x)第12頁（共 22 頁）故選：A.第13頁（共 22 頁）

17、7.（5 分）已知非零向量 a ,b滿足|a2|b |，且（a_b）_b，則 a 與b的夾角為（）Ji6【解答】解：；（a_b）_b,.(a -b)ia_b -b22=| a |b |cos :a,b * -b0，2 ibh |a|b|呻丁n:a, b3故選：B.【解答】 解：模擬程序的運行，可得:A=1, k =1 ；2C.cos： ：a,b =:a,b0,二& （ 5 分）如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入A. A1B. A =2丄2 +AAC.11 2A丄2A2|b|.2|b|第14頁（共 22 頁）滿足條件k, 2，執(zhí)行循環(huán)體,此時，不滿足條件1k, 2，退出循環(huán)，輸出A的

18、值為11,12 -2觀察A的取值規(guī)律可知圖中空白框中應(yīng)填入1A 二2 A故選：A9.（ 5 分）記 Sn為等差數(shù)列 佝的前 n 項和已知 S4-0 , a5，則（）212A .an=2n-5B .an=3n-10C.Sn= 2n -8nD.Snn -2n2【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d ,由 S4=0 , a5=5，得+6d =0ja1= -3印 4d = 5 d = 22.an=2n -5 , Sn= n 4n ,故選：A.10.（5 分）已知橢圓 C 的焦點為斤（-1,0） , F2（1,0），過 F2的直線與 C 交于A,B兩點.若| AF2H2|F2B| , IABFIBFJ，

19、則 C 的方程為（）22x丄yB.132【解答】 解：AF2|=2|BF2| ,.|AB|=3|BF2| , 又 lABHBh |, . | BF | = 3|BF2| , 又 |BF| |BF2|=2a,|BF2|=| ,3| AF2a, | BF1a ,21在 Rt AF2O 中，cos MAF2O a滿足條件k, 2，執(zhí)行循環(huán)體，A 二k =2 ;C.22A .22 254第 12 頁(共 22 頁)4+G)2_(；a)2在厶 BFF2中，由余弦定理可得 cos. BF2F1二22一 ,a2 2 22根據(jù) cos. AF2Ocos. BF2F1=0,可得-2a0,解得a2=3, a=-.

20、：3.a 2ab2=a2-c2=31=2.2 2所以橢圓 C 的方程為：y1.32故選：B.11.(5 分)關(guān)于函數(shù)f(x) =sin|x| - |sinx|有下述四個結(jié)論：1f(x)是偶函數(shù)2f(x)在區(qū)間(二，二)單調(diào)遞增23f(x)在二,二有 4 個零點4f(x)的最大值為 2其中所有正確結(jié)論的編號是()A .B .C.D .【解答】 解：f(-x)二sin | -x | | sin(-x)| = sin |x | | sinx|= f(x)則函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，故 正確，當(dāng) x (,二)時，sin|x| = sinx,|sinx| = sinx,2則f (x) =sinx，sinx

21、=2sin x為減函數(shù)，故 錯誤，當(dāng)0剟k二時，f(x)=sin|x| |sinx| = sinx sinx=2sinx,由f (x) =0得 2sin x =0 得 x =0 或 x =二，由f (x)是偶函數(shù)，得在-二,)上還有一個零點X -二，即函數(shù)f (x)在-二，二有 3 個零點，故錯誤，當(dāng)sin|x|=1,|sinx|=1時，f (x)取得最大值 2,故正確，故正確是，故選：C .12.( 5 分)已知三棱錐 P -ABC 的四個頂點在球 O 的球面上，PA 二 PB 二 PC , :ABC 是邊長為 2 的正三角形，E,F分別是PA,AB的中點，.CEF =90，則球 O 的體積

22、為(第16頁（共 22 頁）【解答】解：如圖,由 PA =PB =PC , ABC 是邊長為 2 的正三角形，可知三棱錐 P _ ABC 為正三棱錐,則頂點P在底面的射影 0 為底面三角形的中心，連接 BO 并延長，交 AC 于 G ,則 AC _ BG，又 P0 _ AC， P0 BG =0，可得 AC _ 平面 PBG，貝 U PB _ AC，?E,F分別是PA,AB的中點，.EF / /PB ,又.CEF =90，即 EF _CE , . PB _ CE，得PB_ 平面 PAC ,-正三棱錐 P -ABC 的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，把三棱錐補形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，

23、其直徑為 D = PA2PB2PC2*6 .半徑為一6，則球 O 的體積為4二（一）3 = 6 二.232故選：D.、填空題：本題共 4 4 小題，每小題 5 5 分，共 2020 分。13.（5 分）曲線 y=3（x2，x）ex在點（0,0）處的切線方程為y=3x【解答】解：；y=3（x2，x）ex,fx 2.y =3e (x 3x 1),當(dāng) x =0 時，y=3 ,2x y=3(x - x)e 在點(0,0)處的切線斜率 k =3 , -切線方程為：y=3x.故答案為：y =3x.14.（5 分）記 Sn為等比數(shù)列an的前 n 項和.若 a- , a：=氏，則 S5一.3B . 4.6r：

24、C. 2._6 二第17頁（共 22 頁）【解答】解：在等比數(shù)列中，由 a4 =a6，得 q6a；=q5ai. 0 ,即q 0,q =3,15則 s =31 -3故答案為：竺315.（ 5 分）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以 4:1 獲勝的概率是0.18.【解答】解：甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為 0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立,甲隊以 4:1

25、獲勝包含的情況有：則甲隊以 4:1 獲勝的概率為:P =Pip2p3p4=0.036 0.036 0.054 0.054 =0.18 .故答案為：0.18.2y2=1（a 0,b0）的左、右焦點分別為b【解答】解：如圖,1211前 5場比賽中，第一場負,2前 5場比賽中，第另外 4 場全勝，其概率為：p 另外 4 場全勝，其概率為：p2另外4 場全勝，其概率為：p3另外 4場全勝，其概率為：p3= 0.40.6 0.5 0.50.6 =0.036,=0.60.4 0.5 0.50.6 =0.036,=0.60.6 0.5 0.50.6 =0.054,=0.60.6 0.5 0.50.6 =0.

26、054,2x16.（5分）已F1, F2，過 F1的直線與 C 的兩條漸近線分別交于A,B兩點.若 F1AF1BF2B =0，則 C 的離心率為第18頁（共 22 頁）則 FiB:y =a(x c),bay(x c)聯(lián)立b| byxa2貝yF1B2=(具 Nb -aa2c22c)2(，解得2a cB(2b -aabc、72)b - - a、2/ abc、2c) (22)，b -aa2c(二2c)2( c)22(.2b_ab_ab_a整理得：b2=3a2,c2-a2=3a2，即4a22cAC c2=4, e 2 .aa故答案為：2.abc)22 /三、解答題：共 7070 分。解答應(yīng)寫出文字說明

27、、每個試題考生都必須作答。第2222、23236060 分。17 .（ 12 分）ABC 的內(nèi)角A2 2(sin B -sin C) sin A -sin Bsin C .(1 )求 A ；(2)若.2a b =2c，求 sinC .【解答】解：（1. ABC 的內(nèi)角A,2 2設(shè)(sin B -sin C) sin A - sin B sin C .a2c)2abc、22 2 _c)()，b -a= 4c2,證明過程或演算步驟。第 17211721 題為必考題,題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一） 必考題:,B, C 的對邊分別為 a , b , cB, C 的對邊分別為貝U sin2B si

28、n2C2sin BsinC二sin2AsinBsinC,-由正弦定理得：b2ca2-bc,第19頁（共 22 頁）第20頁（共 22 頁）b1 2+c2_a3 4be1cosA2bc2bc 2；0 : A ：二，A =3(2) .- 2a b =2c , A二,3.由正弦定理得 2sinA，sin B =2sin C ,上 si n(5C) =2s inC231【解答】（1）證明：如圖，過 N 作 NH _AD，則 NH /AA，且 NH =AA ,21又 MB/AA , MBAA , 四邊形 NMBH 為平行四邊形，則 NM/BH ,2由 NH /AA, N 為 AD 中點，得H為AD中點，

29、而E為 BC 中點， BE /DH ,BE=DH，則四邊形BEDH為平行四邊形，則 BH /DE ,解得sin（C一石）冷，JI第21頁（共 22 頁）sinC=sin(匸 T=sincos 二 cosin2，丄 J6 724646462222418.（ 12 分）如圖，直四棱柱 ABCD ABCQ 的底面是菱形，AA =4 , AB = 2 ,BAD =60。,E，M，N 分別是 BC，BB，AD 的中點.（1）證明： MN /平面 C1DE ；.NM /DE ,7NM平面 GDE ,DE二平面 GDE ,（2 ）求二面角 A-MA-N 的正弦值.第仃頁(共 22 頁).MN /平面 GDE

30、 ；(2)解：以D為坐標(biāo)原點，以垂直于 DC 得直線為 x 軸，以 DC 所在直線為y軸，以 DD1所在直線為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 N(，1，2)，M(、3，1，2)，A( 3，-1，4)， 2 2NIM =(.3,3,0)，NA =0.3!,2)，2 2設(shè)平面 AMN 的一個法向量為 忌=(x,y,z)，由mNA =、3x -3= p3xy =021y 2z=0，取 y =2 .3，得帚=(_3,2 3,2 .3)，2又平面 MAA 的一個法向量為 卞=(1,0,0)，面角 A - MA -N 的正弦值為2 2211第23頁(共 22 頁)92992x -( t 3)x t =0,

31、424設(shè) A(x , yj , B(X2, y?),4 37由拋物線的定義可得：|AF | |BF XiX22t - - - =4，解得 t 二一,3212直線 I 的方程為 y =3x _7.2833(2)若 AP=3PB，則 y=3，二3(為t) =；x#(x2t)，化簡得 X =-3x4t,22由解得 t =1，為=3，x2J，3/ 9 / T4/13川匕14,(33)一“丁 .20. (12 分)已知函數(shù)f(x)二sinx-In(1 x),f (x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：(1)f (x)在區(qū)間(_1,二)存在唯一極大值點;2(2)f(x)有且僅有 2 個零點.【解答】證明：(1)f

32、(x)的定義域為,12” ,笄令 g(x) - -sin x2，貝卩 g (x) - -cosx3：0 在(一 1,)恒成立,(1 +x)(1 +x)2 f(X)在(一 1,?)上為減函數(shù),函數(shù)(x)在(1 匸)上存在唯一的零點 X。，結(jié)合單調(diào)性可得，f(x)在(-1,拓上單調(diào)遞增,2在(Xo,)上單調(diào)遞減，可得f(X)在區(qū)間(-1，)存在唯一極大值點；(2)由(1)知，當(dāng)(-1,0)時，f (x)單調(diào)遞增，f (x)：f (0) =0,f (x)單調(diào)遞減；當(dāng) x (0,X0)時，f (x)單調(diào)遞增，f (x) f (0) =0,f(x)單調(diào)遞增; 由零點存在定理可知，函數(shù)f (x)在(x0,

33、-)上存在唯一零點 X ,結(jié)合單調(diào)性可知，f (x)二 COSX1 +x12(1 X)”-1 1 =0，由零點存在定理可知,42=2t ，X1X2=t ，3-sin x 亠又T f (0) =1,第24頁(共 22 頁)2當(dāng)(x0, x1)時，f (x)單調(diào)遞減，f (x) . f a ) =0 ,f (x)單調(diào)遞增；當(dāng)X.(為，)時，f(x)單調(diào)遞減，f (x) :：f (Xi) =0,f(x)單調(diào)遞減.2當(dāng) x -(,二)時， COS x 0 , : 0，于是 f (x) = cosx -0,f (x)單調(diào)遞減,21+x1+xJTJT3 2其中 f () =11 n(1 ) .11 n(1

34、) =1 In2.6 .11 ne = 0 ,2 2 2f(二)n(1:)：-In3：0 .于是可得下表:x3,0)0(0,x)xn(為,2)Jt2兀(尹)JIfH(x)0+0f(x)減函數(shù)0增函數(shù)大于 0減函數(shù)大于 0減函數(shù)小于 0結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)f (x)在(-1,-上有且只有一個零點0,2由函數(shù)零點存在性定理可知，f(x)在(二，二)上有且只有一個零點 X2,2當(dāng)x：二二,：)時，f(x)=sinx-ln(1 x)：1 -In(1亠)：1-ln3:0，因此函數(shù)f (x)在二,：)上無零點.綜上，f (x)有且僅有 2 個零點.21. (12 分)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，

35、希望知道哪種新藥更有效，為此進 行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗對于兩只白鼠，隨 機選一只施以甲藥， 另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗當(dāng)其中 一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠 未治愈則甲藥得 1 分，乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙 藥得 1 分，甲藥得-1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為-：:和：，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1 )求X的分布列；由

36、于f(x)在(x0,)上單調(diào)遞減，且2 n 1f (X0)0 , f ( )0 ,21 2第25頁(共 22 頁)(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4 分，Pi(i =0 , 1,，8)表示“甲藥的累計得分為 i 時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 p0=0, p8=1 , p apibpicpi1(i =1 ,第26頁（共 22 頁）2,，7)，其中a=P(X=1),b=P(X=O),c=P(X=1)假設(shè)：=0.5，匕=0.8.(i)證明：P+P(i=0 , 1, 2,，7)為等比數(shù)列；（ii）求 P4，并根據(jù) P4的值解釋這種試驗方案的合理性.【解答】（1）解：X的所有可能取值為

37、-1，0，1 .P（X=一1） =（1一:） ,P（X=0）=（1一：.）（1一 一：）,P（x =1）= :（1一J,.X的分布列為：X-101P(1-0) PotP +(1_o()(1_P)ot(1_0)(2)(i)證明：:=0.5 ,1=0.8,.由(1)得，a =0.4 , b =0.5 , c =0.1.因此 p =0.4 p 丄+0.5 p +0.1pi+(i =1 , 2，7),故 0.1（p 十pj =0.4（Pi口 丄），即（Pi十p ）=4（ 口 p）,又；pi -P0二 P1=0 , - Pi 1-Pi（i =0 , 1, 2，7）為公比為 4,首項為山的等比數(shù)列;（ii

38、）解：由（i）可得,VP8=1 ,卩 f ,4 -1點 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 I 的極坐標(biāo)方程為P8 3 6(P0)P一8 8P1(1-4)4-1”Pj ,125722. （10 分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 C 的參數(shù)方程為1 -12x21 t2（t 為參數(shù)）以坐標(biāo)原第27頁(共 22 頁)2cos)3sin v 11 =0 .(1 )求 C 和 I 的直角坐標(biāo)方程；(2)求 C 上的點到 I 距離的最小值.2兩式平方相加，得X21(x益-1),42.C的直角坐標(biāo)方程為x2-1(X-1),4由 2Tcosv3：、si2 11 = 0,得 2x 3y 11 =0 .即直線 I 的直角坐標(biāo)方程為得 2x 、.3y -11 =0 ;(