平面向量的綜合應(yīng)用

1、平面向量的綜合應(yīng)用A級(jí)一一夯基保分練1.已知向量nn5 n5 n 戸a= cos6, si門6 , b = cos, si門石，貝U |a b|=()A. 1C. 3解析：選C因?yàn)?a b = cosf-cos56t, sin6 sin5 = (. 3, 0),所以 |a b|= 3 故選C.2. 已知 a= (cos a, sin a), b= (cos( a, sin( a)，那么 a b= 0是 a= kn+ (k Z)的()A .充分不必要條件B .必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件解析：選 B t a b = cos a cos( a) + sin a sin(

2、a = cos2 a sin2a= cos 2 a,若 a b = 0,則 cos 2 a= 0,. 2 a= 2k n (k Z)，解得 a= k n (k Z).二 a b= 0 是 a= k tH- ：(k Z)的必要不充分條件.故選 B.3. 已知向量a = (1, x 1), b = (y2)，其中x0 , y0，若a丄b,則xy的最大值為()11A. 1B. 1C. 1D . 2解析：選B 因?yàn)閍 = (1, x 1),b= (y2), a丄b,則 a b = y+ 2(x 1) = 0，即 2x+ y= 2, 因?yàn)?x0, y0，所以 2= 2x+ y2 ,2xy,1解得xyw

3、-,1當(dāng)且僅當(dāng)2x= y,即x= j, y= 1時(shí)，取等號(hào)1故xy的最大值為，故選B.4已知圓O是厶ABC的外接圓，其半徑為1,且NS +反C = 2AO ,AB = 1,則ceB=( )3A. 2B . 3C. 3D . 2 .3 解析：選B 因?yàn)锳B + AC = 2 AO，所以點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，即BC是圓O的直徑,又 AB = 1，圓的半徑為 1,所以/ ACB= 30,且 AC= 3，則 CA B = | CA | | CB |cos/ ACB=3.5. (多選)在矩形ABCD中，AB = 1, AD= 2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓 上.若AP = XAB + “D，貝U

4、H 可取的整數(shù)值為()C. 1D . - 1解析：選ABC 如圖，以A為原點(diǎn)，以AB, AD所在的直線為x軸, y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：則A(0,0), B(1,0), D(0,2), C(1,2).因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上，設(shè)圓的半徑為r,因?yàn)?BC = 2, CD = 1 ,所以 BD =22+ 12= 5,1 1所以 2BC CD = 2BD ，所以 r =所以圓C的方程為(X- 1)2+ (y- 2)2= 4.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 Zcos 0+ 1, 勒泊9+ 2 ,因?yàn)锳P =入AB + 3D ,所以 cos 0+ 1, sin 0+ 2=X1,0) + 2,

5、2)=(入 2 0,所以 Zcos + 1 =人 in 0+ 2= 2 02 ” 5. 5,所以 H 尸 5 cos 0+ sin 0+ 2= sin( 0+ 妨+ 2，其中 tan 0= 2.因?yàn)橐? 2 . | PO | PC |, -11-CW 4,CQ即(斎 + PBt)兄=2PO PC = 2|PO| |PC | -,當(dāng)且僅當(dāng) 向円-|= 3時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為-第10頁(yè)共7頁(yè)11. （2019河南中原名校質(zhì)檢）在厶ABC中，AB丄AC , M是BC的中點(diǎn). 若|AB|=|AC|,求向量 AB + 2 AC與向量2 AB + AC的夾角的余弦值；若O是線段AM上任意一點(diǎn)，且|AB

6、 |= |AC |= 2，求OX -OeB +OC -OA的最小值. 解：設(shè)向量刁B + 2 AC與向量 2 AB + AC的夾角為 0,貝U cos 0 =A A A AAB + 2 AC 2 AB + ACA A A A2a2 + 2a2 = 4.5a 5a 5| AB + 2 AC | |2 AB + AC |A A令 |AB = | AC = a，貝U cos 0= T-B|= -1= 2, A |-AM |= 1, 設(shè) |Oa |= x(0 w xw 1)，貝U -1= 1 x. 而-T +& = 2OM ,A A A A A A AA AA Aa OA -OB + OC -OA =

7、 OA (OB + OC )= 2 OA OM = 2|OA | |OM |cos n= 2x2 2x =12.2x2當(dāng)x = 2時(shí)，OA -OB + oc OA取得最小值，最小值是12. 已知向量 a = (cos a, sin a), b = (cos B, sin 3), c= ( 1,0).(1)求向量b+ c的模的最大值；n設(shè)a= 4，且a丄(b+ c),求cos B的值.解：(1)b + c = (cos 3- 1, sin ,則 |b + c|2= (cos 3- 1)2+ sin2 b= 2(1 - cos因?yàn)橐? cos 1,所以 OW |b + c|2w 4,即 0 w |

8、b + c| 且 OA 丄 OB ,則(OC OA) (-OC OB )的最大值是()B . 1 ,2D . 1A. 1+ .2C. 2 1解析：選A如圖，作出 OD , 使得 OA + OB = OD，則(&? OA ) (- COC OB ) = OC 2 OA -OC OB -OC + OA -OB = 1 ( OA + OB ) OC = 1 OD -OC ,由圖可知，當(dāng)點(diǎn)C在OD的反向延長(zhǎng)線與圓 O的交點(diǎn)處時(shí)，OD -OC取得最小值，最小值為，2,此時(shí)(OC OA) (oc &B)取得最大值，最大值為1+ 2,故選A.14. (一題兩空)在厶ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為 a

9、, b, c,且滿足(.2a c) 1BA 1BC=cCB -CA 則B =;若| BA BC|=6，則 ABC面積的最大值為 .解析：由題意得 C.2a c)cos B= bcos C.根據(jù)正弦定理得(.2sin A sin C)cos B= sin Bcos C,所以 2si n Acos B= sin (C+ B),即 2sin Acos B = sin A,因?yàn)?A (0, n,所以 sin A0.所以cos B =舟，又B (0, n，所以B =扌. i.因?yàn)?| BA BC |=6,所以 | CA |= 6.即b = 6,根據(jù)余弦定理及基本不等式，得6= a2+ c2 2ac 2a

10、c 2ac= (22)ac(當(dāng)且僅當(dāng) a= c 時(shí)取等號(hào))，即 ac 3(2 + 2), 故 ABC 的面積 S= gacsin B ? ；+,即厶ABC的面積的最大值為3 .2+ 32n 3 .2 + 34215.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a = (1,2)，又點(diǎn)A(8,0), B(n, t).nC(ksin a t) 0 (1)若 AB 丄a，且 | AB |= . 5|OA|,求向量 OB ；求向量AC與向量a共線，當(dāng)k4，且tsin a取最大值4時(shí)，求OA -0(3 .解：(1)由題設(shè)知 AEB = (n 8, t),?丄a,. 8 n + 2t= 0.又/5|_Oa=

11、 |/eb|,5X 64= (n 8)2+12= 5t2, 得 t = 當(dāng) t= 8 時(shí)，n= 24 ;當(dāng) t= 8 時(shí)，n= 8,O!t = (24,8)或-1 = ( 8, 8).a(2)由題設(shè)知 AC = (ksin 0 8, t),/AC與a共線,t= 2ksin 0+ 16,tsin = ( 2ksin 0+ 16)sin 04 232=2k sin 02+.k k4/ k4,. 0- 1,k當(dāng)sin 0=:時(shí),tsin 0取得最大值 乎由= 4 得 k= 8,k此時(shí) 0= n, OC = (4,8),/OA -OC = (8,0) (4,8) = 32.C級(jí)一一拔高創(chuàng)新練116.已

12、知向量 a = (cos x, 1), b= ,3sin x,-，函數(shù) f(x)= (a+ b) a 2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；1在 ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A, ?， b, a, c成等差數(shù)列，且AB AC = 9，求a的值.1 1nsin 2x=sin 2x+6解：(1) / f(x) = (a+ b) a 2 = |a|2+ a b 2= cos2x+ 1 + J3sin xcos x+ 2 = (cos 2x+ 1)331寧 si n 2x 2 = cos 2x + f(x)的最小正周期T = 2：n= n.nnn由 2kn-產(chǎn) 2x+ 62kn 2(k Z),得 k nxw kn+ nk Z),nn f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k n7, kn+- (k Z