新高中數(shù)學(xué)知識點匯總(易錯、易混、易忘)

1、歡迎共閱高中數(shù)學(xué)易錯易混易忘題分類匯編“會而不對，對而不全”一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個問題對決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗精心挑選學(xué)生在考試中常見的66個易錯、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點和重點，做到力避偏、怪、難，進行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實存在，另一方面通過作針對性練習(xí)幫你識破命題者精心設(shè)計的陷阱，以達到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實現(xiàn)自已的理想報負。【易錯點1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。例1、設(shè)A=x

2、|x28x+15=0，B=x|ax1=0,若Ap）B=B,求實數(shù)a組成的集合的子集有多少個？【易錯點分析】此題由條件A0|B=B易知BEA，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。解析：集合a化簡得A=3,5,由人|8=8知8JA故（i）當B=4時，即方程ax1=0無解，此時a=0符合已知1111條件（口）當B#®時，即方程ax1=0的解為3或5,代入得a=或L。綜上滿足條件的a組成的集合為10,工故3535其子集共有23=8個。I【知識點歸類點拔】（1）在應(yīng)用條件AUB=ByAHB=AuB時，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，將集

3、合A是空集的情況優(yōu)先進行討論.（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元素的限制。有時需要進行檢驗求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語言（數(shù)學(xué)語言）和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如：U22o1-、一一，一，一.（x,y）|（x3）+（y4）=r2,其中r>0,若A0|B=®求的取值范圍。將集合所表達的數(shù)學(xué)語言向自然語言進行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以（3,4）為圓心，以r為半徑的圓，當兩圓無公共點即兩圓相離或內(nèi)含時，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等

4、式的解集等也要注意集合語言的應(yīng)用?！揪?】已知集合A=x|x2+4x=0、B=x|x2+2（a+1）x+a21=0若BA,則實數(shù)a的取值范圍是。答案：a=1或a1。【易錯點2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。i22y22例2、已知（x+2+=1,求x2+y2的取值范圍4【易錯點分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求解，但極易忽略x、y滿足2+=1這個條件中的兩個變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴大。42解析：由于=1得(x+2)2=1-<1,-3<x<-1從而x2+y2=-3x2-16x-12=+28因此當x=-1時x2+y2有最小

5、值1,當x=-8時，x2+y2有最大值28。故x2+y2的取值范圍是1,當33332【知識點歸類點拔】事實上我們可以從解析幾何的角度來理解條件（x+2?+=1對x、y的限制，顯然方程表示以（-2,0）4為中心的橢圓，則易知-3<x<-1,_2<y<2°此外本題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解?！揪?】（05高考重慶卷）若動點（x,y ）在曲線2b24 0 ： b :二 4(A)4'f2b(b >4)=1（b>0）上變化，則x+2y的取大值為0b2240：b：2b2(B)4''(C)一+4(D)2b42b(b>2)答案

6、：A-【易錯點3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。xa2-1例3、f（x是R上的奇函數(shù)，（1）求a的值（2）求的反函數(shù)f'fx）12x【易錯點分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯。解析：(1)利用f(x)+f(x)=0(或f(0)=0)求得a=1.2x-11y(2)由a=1即f(x)=；，設(shè)y=f(x»則2(1y)=1+y由于y#1故2=,x=log2，而2x11-y2x-121：f'x尸2T71=1-2xT11,1)所以f(x)=log21(-1<x<1)【知識點歸類點拔】（1）在求解函數(shù)的反

7、函數(shù)時，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域為R可省略）。1（2）應(yīng)用f（b）=auf（a）=b可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值要互換。I.IJ【練3】（2004全國理）函數(shù)f（x）=Jx1+1（x之1）的反函數(shù)是（）''Ij-fIf2_2_a、y=x2x+2（x<1戶、y=x2x+2（x1）22c、y=x2x（x<1）d、y=x2x（x之1）答案：B【易錯點4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯位1-2x1例4、已知函數(shù)f（x）=，函數(shù)y=g（x）的圖像與y=f（x1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則y=

8、g（x）的解1x析式為（）3-'2x2-1-3Agx=B、gx=Ggx=D、gx=x1x2x2x【易錯點分析】解答本題時易由y=g(x)與y=f,(x1)互為反函數(shù)，而認為y=f,(x1)的反函數(shù)是y=f(x1)則y=gx=fx-1=上二1二U而錯選A。1x-1x1 _ 2x 一解析：由f (x )=得1 x1-x1.1-x-12-x1f(x)=從而y=f(x1)=再求y=f(x1)的反函數(shù)2x2-11x一2-x.得gx=B1x【知識點分類點拔】函數(shù)y=f,(x1)與函數(shù)y=f(x1)并不互為反函數(shù)，他只是表示f,(x)中x用x-1替代后的反函數(shù)值。這是因為由求反函數(shù)的過程來看：設(shè)y=

9、f(x1)則f,(y)=x1,11x=f(y)+1再將x、y互換即得y=f(x1)的反函數(shù)為y=f(x)+1,故y=f(x1)的反函數(shù)不是1y=f(x1),因此在今后求解此題問題時一定要謹慎?！揪?】(2004高考福建卷)已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f-1(x),則函數(shù)y=f-1(1-x)的圖象是()答案：B”【易錯點5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點對稱。2lg1-x例5、 判斷函數(shù)f (x)=，的奇偶性。|x-2-2【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解:#f(x)從而得出函數(shù)f(x)為非lg1-x2f(x)=x2-2奇非偶函數(shù)的

10、錯誤結(jié)論。2一1一x0解析：由函數(shù)的解析式知x滿足即函數(shù)的定義域為(一1,0*j(0,1)定義域關(guān)于原點對稱，在定義域下x-2=-2lg(1-x2)f(x)=易證f(-x)=-f(x)即函數(shù)為奇函數(shù)。x【知識點歸類點拔】(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時一定要先研究函數(shù)的定義域。(2)函數(shù)f(x有奇偶性，則f(x)=f(x域f(x)=f(x)是對定義域內(nèi)x的恒等式。常常利用這一點求解函數(shù)中字母參數(shù)的值?！揪?】判斷下列函數(shù)的奇偶性:f(x)=44-x2+Jx2-4f(x)=(x-1)J，xf(x)=1-sin-x-cosx，1-x1sin

11、x-cosx答案：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)【易錯點6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。2x-211例6、函數(shù)f（X）=lOg22x卡，一上或X。|的反函數(shù)為f二（X卜證明f,（X）是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)?！舅季S分析】可求f（X）的表達式，再證明。若注意到f（X戶f（X）具有相同的單調(diào)性和奇偶性，只需研究原函數(shù)f（X）的單調(diào)性和奇偶性即可。Nx12x12xJ解析：f（x）=log2x+=log22x=log22x書=f（X）,故f（X）為奇函數(shù)從而f,（X）為奇函數(shù)。又令1=絲二1=12在（血，1i和口，i上均為增函數(shù)且y=log2t為

12、增函數(shù)，故f（x'在（一oo,_2i和2x12x1.,22,21I_,+=cJ上分別為增函數(shù)。故f（X）分別在（0,）和（-,0）上分別為增函數(shù)。'I【知識點歸類點拔】對于反函數(shù)知識有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域為非單元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即f,（b）=auf（a）=b。X_xe一e【練6】（1）（99全國身考題）已知f（x）=，則如下結(jié)論正確的是02A、f（X墀奇函數(shù)且為增函數(shù)B、f（X）是奇函數(shù)

13、且為減函數(shù)C、f（X墀偶函數(shù)且為增函數(shù)D、f（X）是偶函數(shù)且為減函數(shù)1J答案：A（2）（2005天津卷）設(shè)f,（X）是函數(shù)f（X）=1（aXa*）（a的反函數(shù)，則使f'（X>1成立的X的取值范圍為0a2-1a2-1a2-1=：”、-,1,，二）2白木：A（a>1時，f（x產(chǎn)調(diào)增函數(shù),所以fx）>1uf（f（x）>f（1戶x>f（1戶.）2a【易錯點7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則b例7、試判斷函數(shù)f（x）=ax+（a>0,b>0）的單調(diào)性并給出證明。x【易錯點分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必

14、須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義XiwD,X2wDf（x）af（X2）（f（Xi）<f（X2）中的Xi,x2的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識。解析：由于f（X）=f（X）即函數(shù)f（X）為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)f（x）在（0,+道）上的單調(diào)性即可。設(shè)X1AX2A0,一.一.axxo-b_fjb._f（Xf（x2）=（X1X2）由于X1-X2A0故當X1,X2u|J-,+8時f（X1f（x20,此時函數(shù)x1x2（Ya,門丁，/c后上,b瓜八,f（Xj-十a(chǎn)上增函數(shù)，同理可證函數(shù)f（x戶0,j-1上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在jy,0為Va

15、，）IYaJUa）減函數(shù)，在j-g'.Jb 卜增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)上分別為減函數(shù)f(X)在Im_b和|Jb，+的上分別為增函數(shù)，在10,-和【知識歸類點拔】(1)函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)引起足夠重視。(2)單調(diào)性的定義等價于如下形式：f(x)在la,b上是增函數(shù)uf(X1.f(x2)of(x)在Ia,b上是減函數(shù)X -X2uf(xi)-f(x2)<Q這表明增減性的幾何意義：增(減)函數(shù)的圖象上任意兩點(X1,f(X1),(X2,f(x2)連線的斜率XI -X2都大于(小于)零。b(3)f(x)=ax十一(a>Q,b>Q

16、)是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中不能說f(x)在x(一,_Jbfug+s上為增函數(shù)，在%，Jb(UJbQ上為減函數(shù)，在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時不能在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號“u”和“或”，1-X.【練7】(1)(濰坊市統(tǒng)考題)f(x)=ax+(aA0)(1)用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x)在(0,十定)上的單調(diào)性。(2)axI,設(shè)f(x盧Q<x<1的最小值為g(a,求y=g(a)的解析式。答案：(1)函數(shù)在1 a一 i 1,-He為增函數(shù)在.Q,一為減函數(shù)。(2)12- a-1 y = g a = aa Q ： a 二 1一一一一ea(2) (2QQ1天津)設(shè)a

17、A0且f(x)=+=為R上的偶函數(shù)。(1)求a的值(2)試判斷函數(shù)在(Q,十力)上的單調(diào)性并給ae出證明。答案：(1)a=1函數(shù)在(Q,")上為增函數(shù)(證明略)【易錯點8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯誤結(jié)論。例8、(2QQ4全國高考卷)已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2x+1上是減函數(shù)，求a的取值范圍?！疽族e點分析】f'(X)<Q(xW(a,b)誕f(X庭(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如fX=-X3在R上遞減，但f'(x)=-3x2WQ。解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(X)=3

18、ax2+6x1(1)當f'(x)<Q時，f(x)是減函數(shù)，則f'(x)=3ax2+6x1<Q(xR)3,a<Q一一，-32i18故解得a<3°(2)當a=-3時，f(x)=3x+3xx+1=3x；+易知此時函數(shù)也在R上是減函<QI3)9數(shù)。(3)當aA與時，在R上存在一個區(qū)間在其上有f'(X)A0,所以當aA與時，函數(shù)f(X)不是減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是_"-3。A、b之0B、bW0c、bA0D、b<0答案：A2 4232_1(2)是否存在這樣的K值，使函數(shù)f(x)=kxx-kx+2x+在(1,2)上遞減，

19、在(2,)上遞增？3 21答案：k=-o(提小據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知f(2)=0,但f(2)=0是函數(shù)在(1,2)上遞減，在(2,十比)上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由f'(2)=0求出k值后要檢驗。)【易錯點9】應(yīng)用重要不等式確定最值時，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。例9、已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+工)2+(b+L)2的最小值ab-12122211211212,一一一錯解:(a+)+(b+)=a+b+-+-+4>2ab+4>4rab*+4=8：(a+)+(b+)的取小值是8ababa

20、b.abab【易錯點分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2>2ab,第一次等號成立的條件是a=b=，第二次等號成立的條件2ab=,顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。ab解析：原式=a2+b2+J!+J!+4=(a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+(+)2-+4=(1-2ab)(1+-)+4由ab0a【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項系數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍(大于1還是小于1),特別在解決涉及指、對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題

21、時要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想(對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制)?！揪?0(1)(黃岡二月分統(tǒng)考變式題)設(shè) a>0,且ar1試求函數(shù)y = loga 4 + 3x x的的單調(diào)區(qū)間。b2a2b2ababa2b2(a+b)2=1得.l-2ab>1-1=1，且一>16,1+一>17：原式)1x17+4=25(當且僅當a=b=2時，等號成立)2422a2b2a2b2222(a+)?+(b+I)?的最小值是22。ab2【知識歸類點拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限

22、制范圍內(nèi)。【練9(97全國卷文22理22)甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。11)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案為：(1)y=s(bv2+aX0<vWC)(2)使全程運輸成本最小，當Bc時，行駛速度v=;當a>c時，行駛v.bb；b速度v=c?！疽族e點10】在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時，沒有根據(jù)性質(zhì)進行

23、分類討論的意識和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。):例10、是否存在實數(shù)a使函數(shù)f(x)=logaax在12,4】上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在，說明理由?！疽族e點分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴大。解析：函數(shù)f(X用由"x)=ax2乂和y=logax度合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法(1)當a>1時，若使12.1211£2f(x)=loga在12,4上是增函數(shù)，則+(x)=ax-x在12,4上是增函數(shù)且大于零。故有2a解得,(2)=4a-2>0a&g

24、t;1。(2)當a<1時若使f(x)=iogaax2'在(2,4】上是增函數(shù)，則4(x)=ax2-x在2,4上是減函數(shù)且大于零。1-42a不等式組無解。綜上所述存在實數(shù)1(4)=16a-4>0a>1使得函數(shù)f(x)=logaax2"在12,4】上是增函數(shù)i-,4 i上單調(diào)12.一,.3.答案：當0<a<1,函數(shù)在.一1,一上單調(diào)遞減在,2I-,4i上單調(diào)遞增當a>1函數(shù)在11,31上單調(diào)遞增在_2.2遞減。3.1.一1.(2005局考天津)若函數(shù)f(x)=loga(x-ax)(a>0,a=1旌區(qū)間(0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

25、A>-,1)b3994,1)c、(4,*)D、(1q)答案：B.(記g(x)=x3ax,則g'(x)=3x2a當a>1時，要使得f(x)是增函數(shù)，則需有g(shù)'(x)>0恒成立，所以恒成立，所以a >3111 =2 .排除A) ,2 43a ：:3 I=了.矛盾.排除GD當0<a<1時，要使f(x)是函數(shù)，則需有g(shù)'(x)<0【易錯點11】用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性.12例11、已知sinx+siny=求siny-cosx的最大值31.一.【易錯點分析】此題學(xué)生都能通過條件sinx+siny=將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函

26、數(shù)，進而利用換元的思想令t=sinx將3問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價性而造成錯解，112斛析：由已知條件有siny=sinx且siny=sinxw一1,1(結(jié)合sinxw1,1)得一一<sinx<1,而333.21.2. 2.sin y -cos x =sin x - cos x = = sin x -sin x322 222令t= sinx £1£11則原式=1 -t <t<13. 33 . 32 24根據(jù)一次函數(shù)配萬得：當t=即sinx=時，原式取得最大值一。3 39【知識點歸類點拔】“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手

27、段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認識和運用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化。【練11(1)(高考變式題)設(shè)a>0,000求f(x)=2

28、a(sinx+cosx)sinx-cosx222的最大值和最小值。答案:f(x)的最小值為一2a22貶a-,最大值為-2a2 2.2a （a -l）222(2)不等式收ax+3的解集是(4,b),則2=,b=。2（2,花）答案：a=1,b=36(提示令換元Jx=t原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為8【易錯點12】已知Sn求an時，易忽略n=1的情況.例12、( 2005高考北京卷)數(shù)列an)前n項和sn且a1=1,an*=sn。(1)求a2,a3,a4的值及數(shù)列an的通項公式。3【易錯點分析】此題在應(yīng)用sn與an的關(guān)系時誤認為an=snsn對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗證

29、。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯誤結(jié)論。一一 1解析：易求得a, = a?2 一， 33416,1 口 1一,a4=。由 a1 = 1,an* = sn 彳4 an = sn 1 (n 2 2，故92733 一1114an 平an sn sn _1 _ an (n 22)胃 an 卅an ( n 22)又 a1 1， 33331，會，一“，一 a2 =故該數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列故3an1 (n =1 )一 、3n-2s1n =1【知識點歸類點拔】對于數(shù)列 an與sn之間有如下關(guān)系：an =利用兩者N間的關(guān)系可以已知 Sn求an。但注sn - snn 2 I意只有在當a1適合an =sn -snj

30、L（n >2 兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)的形式。J I I【練12（2004全國理）已知數(shù)列an滿足a1 =1,an =a1 +2a2 +及3+惘+51問,522）則數(shù)列為的通項為。1 n =1答案：（將條件右端視為數(shù)列 nan 的前n-1項和利用公式法解答即可）an =n!n n_22【易錯點13】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從 1開始）例13、等差數(shù)列an 的首項a1A 0 ,前n項和& ,當l # m時，sm = Si。問n為何值時G【易錯點分析】等差數(shù)列的前 n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二

31、次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這個限制條件。解析：由題意知sn= f （n ）=nan n -1d 2 d_-d = n2 + . a In此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù),222時，Sm =s故d <0即此二次函數(shù)開口向下，故由 f（l）=f（m %導(dǎo)當* =時f （x ）取得最大值，但由于 nW N二故若l +m為偶數(shù)，當n時，Sn最大。 2當l +m為奇數(shù)時，當nl m -1一時sn最大。2【練13（2001全國高考題）設(shè)aj是等差數(shù)列，sn是前n項和，且S5MS6,S6=S7Ass，則下列結(jié)論錯誤的是（）A d < 0B、a7=0O's9As5R備

32、和s7均為sn的最大值。答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）【易錯點14解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。2 23.例14、已知關(guān)于的萬程x_3x+a=0和x_3x+b=0的四個根組成首項為的等差數(shù)列，求a+b的值。4【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項是如何排列的。3 2一一2一一解析：不妨設(shè)是萬程x2-3x+a=0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程x23x+a=0的另一42根是此等差數(shù)列的第四項，而萬程x-3x+b=0的兩

33、根是等差數(shù)列的中間兩項，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：3 5 7 9 珈-,，一故a4 4, 4 42716,b =.35- 31從而a + b=16【知識點歸類點拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識的一個重要方面，有解題中充分運用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對于等舂婺列 an上若n + m = p + q ,則an +am = ap +aq ；對于等比數(shù)列an,若n + m = u + v ,則anam =auav；若數(shù)列n 是等坦數(shù)列，Sn是其前n項的和，kW N* ,那么Sk,S2k-Sk，S3k S2k成等比數(shù)列；若數(shù)列an 是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，k W N

34、*,那么Sk,S2k- Sk,S3k S2k成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用?！揪?4（ 2003全國理天津理）已知方程22x -2x+m=0和x 2x+n = 0的四個根組成一個首項為I T /1，-的等差數(shù)列，則4m -n =（）a、ib、3C、1D、3 428答案：C【易錯點15】用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比q = 1的情況例 15、數(shù)列an中，a =1 , a2 =2 ,數(shù)列an 'an由是公比為q （ q > 0 ）的等比數(shù)列（I）求使anan+an+an書>an七an書成立的q的取值范圍；（ii ）求數(shù)列an的前2n項的和S2n.【易錯點分析】對于等比數(shù)

35、列的前n項和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯誤。再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列an an由是公比為q（ q >0）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受阻。2斛：（I） :數(shù)列an -anG是公比為q的等比數(shù)列，：an由an2 = anan由q , an也an43 =anan由q ,由一2,2anan由+an+an士 Aan_2an也得anan由+anan+q Aanan+q = 1+qq2，即q -q-1<0 (q>0),解得c 150 : q :2（II）由數(shù)列an an由是公比為 q的等比數(shù)列，得包土史吧2 = q = 亙&q

36、uot;” = q ,這表明數(shù)列an的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列,anan 1an所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是 q ,又a1 =1 , a2 = 2 , .當q 0 1時，S2n二a1 . a2a3 , a4 ,' a2nd ' a2n二（aia2a3 一 an） a4a6a2n） if,a2"/）絲Hl1 -q 1 q 1 -q當q = 1時,an） （a2 a4 - a6 " a2n）S2n-ala2a3a4a2na2n=（a1a2a3'=（1+1+1十.一十1）+（2+2+2十一+2）=3n.a【知識點歸類點拔】本題中拆成的兩個數(shù)列都是等比數(shù)列，

37、其中an±=4是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，an不要以為奇數(shù)項、偶數(shù)項都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，解題時要慎重，寫出數(shù)列的前幾項進行觀察就得出正確結(jié)論.對等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計陷阱使考生產(chǎn)生對現(xiàn)而不全的錯誤?！揪?5（2005高考全國卷一第一問）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項和sn>0（1）求q的取值范圍。答案：-1,0U0,二【易錯點16】在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項和不會采用錯項相減法或解答結(jié)果不到位。例16、.（2003北京理）已知數(shù)列an是等差

38、數(shù)列，且a1=2,a1+a2+a3=12j（1）求數(shù)列an的通項公式（2）令bn=anxn（xwR）求數(shù)列bn前項和的公式?！舅季S分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列an的通項公式再由數(shù)列bn的通項公式分析可知數(shù)列bn是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯項相減的方法求和。解析：（1）易求得an=2n（2）由（1）得b=2nxn令s=2x+4x2+6x3+111+2nxn（t）uiitxs=2x2+4x3+111+2fn1xn+2nxn由nSnxxxx.nxxnxxxxxi0/（口）用（i）減去（口）（注意錯過一位再相減）得（1_xBn=2x+2x2+2x3+HI+2xn_2nxn41當

39、1 I2 x（1-xn）x01sn=-nxn+當x=1時sn=2+4+6+|”+2n=n（n+1）1 -x1-xI綜上可得：2 x（1-xn）+當x=1sn=nxn當x=1時sn=2+4+6+|+2n=n（n+1）1-x1-x【知識點歸類點拔】一般情況下對于數(shù)列cn有cn=anbn其中數(shù)列an和bn分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項和可通過在原數(shù)列的每一項的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。【練16】（2005全國卷一理）已知un=an+an,b+anb2+|+abn+bn（neN+,a>0,ba0）當a=b時，求數(shù)

40、列an的前n項和Sn(n+1)an42(n+2)9n'a2+2an(n+3)答案：a#1時sn=-"2-當a=1時sn=-'.1-a2【易錯點17】不能根據(jù)數(shù)列的通項的特點尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項求和方法時對裂項后抵消項的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項或少項。一一，、一1111例17、求Sn=+.112123123二n【易錯點分析】本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。1=2_ = 2(_L) , n 取 1,12 3，n n(n 1) n n 1解：由等差數(shù)列的前n項和

41、公式得1+2+3+.一+n=n(n+1)21112, 3,，就分別得到-,112 12 3Sn =2(1 1) 2(：) 2(；1)2(122 33 4nI «'二 2(1 -2nn1【知識歸類點拔】“裂項法”有兩個特點，一是每個分式的分子相同；二是每項的分母都是兩個數(shù)(也可三個或更多)相乘，且這兩個數(shù)的第一個數(shù)是前一項的第二個數(shù)，如果不具備這些特點，就要進行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項的規(guī)律一般情況下剩余項是前后對1111稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求一!+!+!+!,方法還是抓通項，即122224326n22n111111力=1uLi1.),問題會很容易解決。

42、另外還有一些類似“裂項法”的題目，如：an=十一n2nn(n2)2nn2.n-/n1求其前n項和，可通過分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等?！揪?7】(2005濟南統(tǒng)考)求和22142161(2n)21-+-+-+-2-14-16-1(2n)-1竹生c彳11彳11彳11/112n答案：Sn=14*1+*1*.+1+-=n+1335572n-12n12n1【易錯點18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴謹?shù)倪壿嬎季S。例18、(2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20)設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項和為Sn.2M(I)若首項a1

43、=,公差d=1,求滿足Sk2=(SQ的正整數(shù)k；(口)求所有的無窮等差數(shù)列an,使得對于一切正整數(shù)k都有S9=(Sk)2成立.k.學(xué)生在解第(口)時極易根據(jù)條件“對于【易錯點分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力一切正整數(shù)k都有s=(Sk)2成立”這句話將k取兩個特殊值確定出等差數(shù)列的首項和公差，但沒有認識到求解出的等差數(shù)k列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進一步的由特殊到一般。M/,、w3n(n-1),3n(n-1)12解：(I)當a1=一，d=1時Sn=na1+-d=-n+n+n22222由$卜2=(Sk)2,得1k4+k2=(

44、1k2+k)2,即k3('k1)=0又k=0，所以k=4.k2242(II)設(shè)數(shù)列an的公差為d,則在Sn2=(Sn)中分別取k=1,2，得2,、S=(Si)2即a11,(1)<_2,即J4乂32x12S4;)4a1+d=(2a1+d)(2)、22由(1)得a1=0或a1=1.當a1=0時,代入(2)得d=0或d=6,2右a1=0,d=0,則an=0,Sn=0,從而Sk=(Sk)成立,若a1=0,d=6,則a0=6(n1),由S3=18,(S3)2=324,Sn=216知S9¥(S3)2，故所得數(shù)列不符合題意.當2a1=1,代入(2)得4+6d=(2+d)，解得d=0或

45、d=2右a1二1,d=0,則an=1,Sn=n,從而Sk2=（5了成u；J'I22若a1=1,d=2,則an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n,從而S=（Sn）成立.綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：an:an=0，即0，0，0，；an：an=1,即1，1,1,；an：an=2n1,即1，3,5,，【知識點歸類點拔】事實上，“條件中使得對于一切正整數(shù)k都有s=（Sk）2成立.”就等價于關(guān)于k的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項系數(shù)同時為零，于是本題也可采用這程等價轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗而犯下的邏輯錯誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一

46、般的關(guān)系?！揪?8（1）（2000全國）已知數(shù)列cn,其中g(shù)=2n+3n,且數(shù)列cn書pcn為等比數(shù)列.求常數(shù)p答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，再說明p值對任意自然數(shù)n都成立）【易錯點19】用判別式判定方程解的個數(shù)（或交點的個數(shù)）時，易忽略討論二次項的系數(shù)是否為0.尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略.22例19、已知雙曲線xy=4，直線y=k（x1），討論直線與雙曲線公共點的個數(shù)【易錯點分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個交點，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程后，易忽視對方程的

47、種類進行討論而主觀的誤認為方程就是二次方程只利用判別式解答?？▂=kx-122222解析：聯(lián)立萬程組«消去y得到（1k2）x2+2k2xk24=0（1）當1k2=0時，即k=±1，方程為x2-y2=4關(guān)于x的一次方程，此時方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個交點。（上 1 - k2 = 02)當4戶02 c。%程組只有一解，故直線與雙曲線有一個交點（3）當一時，方程組有兩個交點此時 火 <. ： = 4 4 -3k2032,3k <且321 k2 #0& =4(43k2 卜0-2.32.3時即k >或k < 時方程組無解此時直線與雙曲線無交點

48、。33 2 3綜上知當k = ±1或k = ±時直線與雙曲線只有一個交點，當3紀3<k<空3且k#±1。時直線與雙曲線有兩個交點,時方程組無解此時直線與雙曲線無交點【知識點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個數(shù)對應(yīng)于直線與雙曲線的交點個數(shù)另一種方法借助于漸進線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對應(yīng)于直線與雙曲線的漸進線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但只有一個公共點，通過這一點也說明直線與雙曲線只有一個公共點是直線與2【練19（1） （ 2005重慶卷）已知橢圓 G的方程

49、為 + y24=1 ,雙曲線c2的左右焦點分別為 g的左右頂點，而c2的左右頂點分別是C1的左右焦點。（1）求雙曲線的方程（2）若直線l:y = kx + J2與橢圓G及雙曲線C2恒有兩個不同的交點，且與C2的兩個交點A和B滿足lOAOB < 6 ,其中O為原點,求k的取值范圍。答案:2,、 X 2/ ,、(1)-y =1(2)3雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深體會這種數(shù)與形的統(tǒng)一。（2）已知雙曲線C:,過點P（1,1）作直線1,使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有條。答案：4條（可知2kl存在時,令l:y-1=k（x-1

50、）代入x2-y=1中整理有（4-k2）x2+2k（k-1）x-45（1-k2）-4=0,.當4*2=0即卜=±2時，有一個公共點；當k，±2時，由=0有卜=一，有一個切點另：當kl不存在時，x=1也和曲線C2有一個切點：綜上，共有4條滿足條件的直線）【易錯點2。】易遺忘關(guān)于sin8和cos日齊次式的處理方法。cos二sin二o.o.例20、已知tan日=守2,求（1）；（2）sin6-sin日.cos日+2cos8的值.cos二-sinB【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用1=sin2口+cos2«可將（2）式分子分母除去sin日即可。解:,1.sin三 cos s

51、in f _ cosi cos - sin11 _ sin 丁 cos-1 tan11 - tan?1.21-2=-3-2/2 ；22 sin s -sin ccos2 cossin2 - sin c cos , 2cos2 1sin2 1 cos2 usin2 1 sin 1 .?。?2二 cos cos 1 s2 .1 cos2 F2 - 2 2 4 - .22 13【知識點歸類點拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。（1=sin2:cos2:=sec2-tan2:=tan：cot：歡迎共閱這些統(tǒng)稱為1的代換)常數(shù)“1”的種種代換有

52、著廣泛的應(yīng)用.【練20】.(2004年湖北卷理科)已知6sin2二：sin具cos：-2cos21=0,o(w土，町求sin(2ot+)的值.23sin 12'3,3 ,2tan ： 一 1 -tan 工=2)1 Tan ：.11 k-1 6bn=400+400X (1+ -)+-+400X(1+-)k 1=Z答案：6+52g(原式可化為6tan2a+tana-2=0,1326【易錯點21解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴易將有關(guān)數(shù)列的第n項與數(shù)列的前n項和混淆導(dǎo)致錯誤解答。例21、如果能將一張厚度為0.05mm勺報紙對拆，再對拆.對拆50次后，報紙的厚度是多少？你相信這時報紙的厚度可以在地球和

53、月球之間建一座橋嗎？(已知地球與月球的距離約為4M108米)【易錯點分析】對拆50次后，報紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第n項，易誤理解為是比等比數(shù)列的前n項和解析：對拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對拆厚度構(gòu)成數(shù)列an,則數(shù)列an是以a1=0.05父103米為首項，公比為2的等比數(shù)列。從而對拆50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第51項，利用等比數(shù)列的通項公式易得a51=0.05X10-3X250=5.63X1Q10,而地球和月球間的距離為4義108<5.63X1010故可建一座橋。【知識點歸類點拔】以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題曾是高考考查的熱點內(nèi)容之一，其中有很多問題都是涉及到等差或者等比數(shù)列的

54、前n項和或第n項的問題，在審題過程中一定要將兩者區(qū)分開來?！揪?1(2001全國高考)從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少1,本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用,51預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加1.4(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達式；I./(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入II_JII'f二二.|n(1)an=800+800X(1-1)+800X(1-1)n1=Z800X(11)1=4000X1-(-)n5555400X(5)k1=1600*(勺)nT44(2)至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入【易錯點22】單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對此知識遺忘，應(yīng)用意識不強，另一方面易將角的三角函數(shù)值所對應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的長度二者等同起來，產(chǎn)生概念性的錯誤。例21、下列命題正確的是()歡迎共閱a、a、B都是第二象限角，若sina>sinP，則tanaatanPb、o（、P都是第三象限角，若cosa>cosP,則sinaAsinPC、ot、P都是第四象限角，若sina>sinP,則tana>tanPdo（、