新高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總(易錯(cuò)、易混、易忘)

1、歡迎共閱高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯編“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個(gè)問題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見的66個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過作針對(duì)性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自已的理想報(bào)負(fù)?！疽族e(cuò)點(diǎn)1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。例1、設(shè)A=x

2、|x28x+15=0，B=x|ax1=0,若Ap）B=B,求實(shí)數(shù)a組成的集合的子集有多少個(gè)？【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件A0|B=B易知BEA，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。解析：集合a化簡(jiǎn)得A=3,5,由人|8=8知8JA故（i）當(dāng)B=4時(shí)，即方程ax1=0無解，此時(shí)a=0符合已知1111條件（口）當(dāng)B#®時(shí)，即方程ax1=0的解為3或5,代入得a=或L。綜上滿足條件的a組成的集合為10,工故3535其子集共有23=8個(gè)。I【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在應(yīng)用條件AUB=ByAHB=AuB時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，將集

3、合A是空集的情況優(yōu)先進(jìn)行討論.（2）在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對(duì)集合元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語言（數(shù)學(xué)語言）和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如：U22o1-、一一，一，一.（x,y）|（x3）+（y4）=r2,其中r>0,若A0|B=®求的取值范圍。將集合所表達(dá)的數(shù)學(xué)語言向自然語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點(diǎn)為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以（3,4）為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等

4、式的解集等也要注意集合語言的應(yīng)用。【練1】已知集合A=x|x2+4x=0、B=x|x2+2（a+1）x+a21=0若BA,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。答案：a=1或a1。【易錯(cuò)點(diǎn)2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。i22y22例2、已知（x+2+=1,求x2+y2的取值范圍4【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求解，但極易忽略x、y滿足2+=1這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。42解析：由于=1得(x+2)2=1-<1,-3<x<-1從而x2+y2=-3x2-16x-12=+28因此當(dāng)x=-1時(shí)x2+y2有最小

5、值1,當(dāng)x=-8時(shí)，x2+y2有最大值28。故x2+y2的取值范圍是1,當(dāng)33332【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來理解條件（x+2?+=1對(duì)x、y的限制，顯然方程表示以（-2,0）4為中心的橢圓，則易知-3<x<-1,_2<y<2°此外本題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解?！揪?】（05高考重慶卷）若動(dòng)點(diǎn)（x,y ）在曲線2b24 0 ： b :二 4(A)4'f2b(b >4)=1（b>0）上變化，則x+2y的取大值為0b2240：b：2b2(B)4''(C)一+4(D)2b42b(b>2)答案

6、：A-【易錯(cuò)點(diǎn)3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。xa2-1例3、f（x是R上的奇函數(shù)，（1）求a的值（2）求的反函數(shù)f'fx）12x【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。解析：(1)利用f(x)+f(x)=0(或f(0)=0)求得a=1.2x-11y(2)由a=1即f(x)=；，設(shè)y=f(x»則2(1y)=1+y由于y#1故2=,x=log2，而2x11-y2x-121：f'x尸2T71=1-2xT11,1)所以f(x)=log21(-1<x<1)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在求解函數(shù)的反

7、函數(shù)時(shí)，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略）。1（2）應(yīng)用f（b）=auf（a）=b可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值要互換。I.IJ【練3】（2004全國(guó)理）函數(shù)f（x）=Jx1+1（x之1）的反函數(shù)是（）''Ij-fIf2_2_a、y=x2x+2（x<1戶、y=x2x+2（x1）22c、y=x2x（x<1）d、y=x2x（x之1）答案：B【易錯(cuò)點(diǎn)4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位1-2x1例4、已知函數(shù)f（x）=，函數(shù)y=g（x）的圖像與y=f（x1）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則y=

8、g（x）的解1x析式為（）3-'2x2-1-3Agx=B、gx=Ggx=D、gx=x1x2x2x【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)易由y=g(x)與y=f,(x1)互為反函數(shù)，而認(rèn)為y=f,(x1)的反函數(shù)是y=f(x1)則y=gx=fx-1=上二1二U而錯(cuò)選A。1x-1x1 _ 2x 一解析：由f (x )=得1 x1-x1.1-x-12-x1f(x)=從而y=f(x1)=再求y=f(x1)的反函數(shù)2x2-11x一2-x.得gx=B1x【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)y=f,(x1)與函數(shù)y=f(x1)并不互為反函數(shù)，他只是表示f,(x)中x用x-1替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過程來看：設(shè)y=

9、f(x1)則f,(y)=x1,11x=f(y)+1再將x、y互換即得y=f(x1)的反函數(shù)為y=f(x)+1,故y=f(x1)的反函數(shù)不是1y=f(x1),因此在今后求解此題問題時(shí)一定要謹(jǐn)慎?！揪?】(2004高考福建卷)已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f-1(x),則函數(shù)y=f-1(1-x)的圖象是()答案：B”【易錯(cuò)點(diǎn)5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。2lg1-x例5、 判斷函數(shù)f (x)=，的奇偶性。|x-2-2【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解:#f(x)從而得出函數(shù)f(x)為非lg1-x2f(x)=x2-2奇非偶函數(shù)的

10、錯(cuò)誤結(jié)論。2一1一x0解析：由函數(shù)的解析式知x滿足即函數(shù)的定義域?yàn)?一1,0*j(0,1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在定義域下x-2=-2lg(1-x2)f(x)=易證f(-x)=-f(x)即函數(shù)為奇函數(shù)。x【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。(2)函數(shù)f(x有奇偶性，則f(x)=f(x域f(x)=f(x)是對(duì)定義域內(nèi)x的恒等式。常常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值?！揪?】判斷下列函數(shù)的奇偶性:f(x)=44-x2+Jx2-4f(x)=(x-1)J，xf(x)=1-sin-x-cosx，1-x1sin

11、x-cosx答案：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。2x-211例6、函數(shù)f（X）=lOg22x卡，一上或X。|的反函數(shù)為f二（X卜證明f,（X）是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)。【思維分析】可求f（X）的表達(dá)式，再證明。若注意到f（X戶f（X）具有相同的單調(diào)性和奇偶性，只需研究原函數(shù)f（X）的單調(diào)性和奇偶性即可。Nx12x12xJ解析：f（x）=log2x+=log22x=log22x書=f（X）,故f（X）為奇函數(shù)從而f,（X）為奇函數(shù)。又令1=絲二1=12在（血，1i和口，i上均為增函數(shù)且y=log2t為

12、增函數(shù)，故f（x'在（一oo,_2i和2x12x1.,22,21I_,+=cJ上分別為增函數(shù)。故f（X）分別在（0,）和（-,0）上分別為增函數(shù)。'I【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即f,（b）=auf（a）=b。X_xe一e【練6】（1）（99全國(guó)身考題）已知f（x）=，則如下結(jié)論正確的是02A、f（X墀奇函數(shù)且為增函數(shù)B、f（X）是奇函數(shù)

13、且為減函數(shù)C、f（X墀偶函數(shù)且為增函數(shù)D、f（X）是偶函數(shù)且為減函數(shù)1J答案：A（2）（2005天津卷）設(shè)f,（X）是函數(shù)f（X）=1（aXa*）（a的反函數(shù)，則使f'（X>1成立的X的取值范圍為0a2-1a2-1a2-1=：”、-,1,，二）2白木：A（a>1時(shí)，f（x產(chǎn)調(diào)增函數(shù),所以fx）>1uf（f（x）>f（1戶x>f（1戶.）2a【易錯(cuò)點(diǎn)7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則b例7、試判斷函數(shù)f（x）=ax+（a>0,b>0）的單調(diào)性并給出證明。x【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必

14、須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義XiwD,X2wDf（x）af（X2）（f（Xi）<f（X2）中的Xi,x2的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)。解析：由于f（X）=f（X）即函數(shù)f（X）為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)f（x）在（0,+道）上的單調(diào)性即可。設(shè)X1AX2A0,一.一.axxo-b_fjb._f（Xf（x2）=（X1X2）由于X1-X2A0故當(dāng)X1,X2u|J-,+8時(shí)f（X1f（x20,此時(shí)函數(shù)x1x2（Ya,門丁，/c后上,b瓜八,f（Xj-十a(chǎn)上增函數(shù)，同理可證函數(shù)f（x戶0,j-1上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在jy,0為Va

15、，）IYaJUa）減函數(shù)，在j-g'.Jb 卜增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)上分別為減函數(shù)f(X)在Im_b和|Jb，+的上分別為增函數(shù)，在10,-和【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】(1)函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)引起足夠重視。(2)單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：f(x)在la,b上是增函數(shù)uf(X1.f(x2)of(x)在Ia,b上是減函數(shù)X -X2uf(xi)-f(x2)<Q這表明增減性的幾何意義：增(減)函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)(X1,f(X1),(X2,f(x2)連線的斜率XI -X2都大于(小于)零。b(3)f(x)=ax十一(a>Q,b>Q

16、)是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中不能說f(x)在x(一,_Jbfug+s上為增函數(shù)，在%，Jb(UJbQ上為減函數(shù)，在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“u”和“或”，1-X.【練7】(1)(濰坊市統(tǒng)考題)f(x)=ax+(aA0)(1)用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x)在(0,十定)上的單調(diào)性。(2)axI,設(shè)f(x盧Q<x<1的最小值為g(a,求y=g(a)的解析式。答案：(1)函數(shù)在1 a一 i 1,-He為增函數(shù)在.Q,一為減函數(shù)。(2)12- a-1 y = g a = aa Q ： a 二 1一一一一ea(2) (2QQ1天津)設(shè)a

17、A0且f(x)=+=為R上的偶函數(shù)。(1)求a的值(2)試判斷函數(shù)在(Q,十力)上的單調(diào)性并給ae出證明。答案：(1)a=1函數(shù)在(Q,")上為增函數(shù)(證明略)【易錯(cuò)點(diǎn)8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。例8、(2QQ4全國(guó)高考卷)已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2x+1上是減函數(shù)，求a的取值范圍?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】f'(X)<Q(xW(a,b)誕f(X庭(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如fX=-X3在R上遞減，但f'(x)=-3x2WQ。解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(X)=3

18、ax2+6x1(1)當(dāng)f'(x)<Q時(shí)，f(x)是減函數(shù)，則f'(x)=3ax2+6x1<Q(xR)3,a<Q一一，-32i18故解得a<3°(2)當(dāng)a=-3時(shí)，f(x)=3x+3xx+1=3x；+易知此時(shí)函數(shù)也在R上是減函<QI3)9數(shù)。(3)當(dāng)aA與時(shí)，在R上存在一個(gè)區(qū)間在其上有f'(X)A0,所以當(dāng)aA與時(shí)，函數(shù)f(X)不是減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是_"-3。A、b之0B、bW0c、bA0D、b<0答案：A2 4232_1(2)是否存在這樣的K值，使函數(shù)f(x)=kxx-kx+2x+在(1,2)上遞減，

19、在(2,)上遞增？3 21答案：k=-o(提小據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知f(2)=0,但f(2)=0是函數(shù)在(1,2)上遞減，在(2,十比)上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由f'(2)=0求出k值后要檢驗(yàn)。)【易錯(cuò)點(diǎn)9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號(hào)時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。例9、已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+工)2+(b+L)2的最小值ab-12122211211212,一一一錯(cuò)解:(a+)+(b+)=a+b+-+-+4>2ab+4>4rab*+4=8：(a+)+(b+)的取小值是8ababa

20、b.abab【易錯(cuò)點(diǎn)分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2>2ab,第一次等號(hào)成立的條件是a=b=，第二次等號(hào)成立的條件2ab=,顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。ab解析：原式=a2+b2+J!+J!+4=(a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+(+)2-+4=(1-2ab)(1+-)+4由ab0a【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍(大于1還是小于1),特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題

21、時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想(對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制)。【練10(1)(黃岡二月分統(tǒng)考變式題)設(shè) a>0,且ar1試求函數(shù)y = loga 4 + 3x x的的單調(diào)區(qū)間。b2a2b2ababa2b2(a+b)2=1得.l-2ab>1-1=1，且一>16,1+一>17：原式)1x17+4=25(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號(hào)成立)2422a2b2a2b2222(a+)?+(b+I)?的最小值是22。ab2【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限

22、制范圍內(nèi)?！揪?(97全國(guó)卷文22理22)甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。11)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案為：(1)y=s(bv2+aX0<vWC)(2)使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)Bc時(shí)，行駛速度v=;當(dāng)a>c時(shí)，行駛v.bb；b速度v=c?！疽族e(cuò)點(diǎn)10】在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行

23、分類討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。):例10、是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)=logaax在12,4】上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在，說明理由?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大。解析：函數(shù)f(X用由"x)=ax2乂和y=logax度合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法(1)當(dāng)a>1時(shí)，若使12.1211£2f(x)=loga在12,4上是增函數(shù)，則+(x)=ax-x在12,4上是增函數(shù)且大于零。故有2a解得,(2)=4a-2>0a&g

24、t;1。(2)當(dāng)a<1時(shí)若使f(x)=iogaax2'在(2,4】上是增函數(shù)，則4(x)=ax2-x在2,4上是減函數(shù)且大于零。1-42a不等式組無解。綜上所述存在實(shí)數(shù)1(4)=16a-4>0a>1使得函數(shù)f(x)=logaax2"在12,4】上是增函數(shù)i-,4 i上單調(diào)12.一,.3.答案：當(dāng)0<a<1,函數(shù)在.一1,一上單調(diào)遞減在,2I-,4i上單調(diào)遞增當(dāng)a>1函數(shù)在11,31上單調(diào)遞增在_2.2遞減。3.1.一1.(2005局考天津)若函數(shù)f(x)=loga(x-ax)(a>0,a=1旌區(qū)間(0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

25、A>-,1)b3994,1)c、(4,*)D、(1q)答案：B.(記g(x)=x3ax,則g'(x)=3x2a當(dāng)a>1時(shí)，要使得f(x)是增函數(shù)，則需有g(shù)'(x)>0恒成立，所以恒成立，所以a >3111 =2 .排除A) ,2 43a ：:3 I=了.矛盾.排除GD當(dāng)0<a<1時(shí)，要使f(x)是函數(shù)，則需有g(shù)'(x)<0【易錯(cuò)點(diǎn)11】用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性.12例11、已知sinx+siny=求siny-cosx的最大值31.一.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件sinx+siny=將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函

26、數(shù)，進(jìn)而利用換元的思想令t=sinx將3問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成錯(cuò)解，112斛析：由已知條件有siny=sinx且siny=sinxw一1,1(結(jié)合sinxw1,1)得一一<sinx<1,而333.21.2. 2.sin y -cos x =sin x - cos x = = sin x -sin x322 222令t= sinx £1£11則原式=1 -t <t<13. 33 . 32 24根據(jù)一次函數(shù)配萬得：當(dāng)t=即sinx=時(shí)，原式取得最大值一。3 39【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手

27、段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。【練11(1)(高考變式題)設(shè)a>0,000求f(x)=2

28、a(sinx+cosx)sinx-cosx222的最大值和最小值。答案:f(x)的最小值為一2a22貶a-,最大值為-2a2 2.2a （a -l）222(2)不等式收ax+3的解集是(4,b),則2=,b=。2（2,花）答案：a=1,b=36(提示令換元Jx=t原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為8【易錯(cuò)點(diǎn)12】已知Sn求an時(shí)，易忽略n=1的情況.例12、( 2005高考北京卷)數(shù)列an)前n項(xiàng)和sn且a1=1,an*=sn。(1)求a2,a3,a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用sn與an的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為an=snsn對(duì)于任意n值都成立，忽略了對(duì)n=1的情況的驗(yàn)證

29、。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。一一 1解析：易求得a, = a?2 一， 33416,1 口 1一,a4=。由 a1 = 1,an* = sn 彳4 an = sn 1 (n 2 2，故92733 一1114an 平an sn sn _1 _ an (n 22)胃 an 卅an ( n 22)又 a1 1， 33331，會(huì)，一“，一 a2 =故該數(shù)列從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故3an1 (n =1 )一 、3n-2s1n =1【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于數(shù)列 an與sn之間有如下關(guān)系：an =利用兩者N間的關(guān)系可以已知 Sn求an。但注sn - snn 2 I意只有在當(dāng)a1適合an =sn -snj

30、L（n >2 兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)的形式。J I I【練12（2004全國(guó)理）已知數(shù)列an滿足a1 =1,an =a1 +2a2 +及3+惘+51問,522）則數(shù)列為的通項(xiàng)為。1 n =1答案：（將條件右端視為數(shù)列 nan 的前n-1項(xiàng)和利用公式法解答即可）an =n!n n_22【易錯(cuò)點(diǎn)13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從 1開始）例13、等差數(shù)列an 的首項(xiàng)a1A 0 ,前n項(xiàng)和& ,當(dāng)l # m時(shí)，sm = Si。問n為何值時(shí)G【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二

31、次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。解析：由題意知sn= f （n ）=nan n -1d 2 d_-d = n2 + . a In此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù),222時(shí)，Sm =s故d <0即此二次函數(shù)開口向下，故由 f（l）=f（m %導(dǎo)當(dāng)* =時(shí)f （x ）取得最大值，但由于 nW N二故若l +m為偶數(shù)，當(dāng)n時(shí)，Sn最大。 2當(dāng)l +m為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)nl m -1一時(shí)sn最大。2【練13（2001全國(guó)高考題）設(shè)aj是等差數(shù)列，sn是前n項(xiàng)和，且S5MS6,S6=S7Ass，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A d < 0B、a7=0O's9As5R備

32、和s7均為sn的最大值。答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對(duì)稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）【易錯(cuò)點(diǎn)14解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。2 23.例14、已知關(guān)于的萬程x_3x+a=0和x_3x+b=0的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求a+b的值。4【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。3 2一一2一一解析：不妨設(shè)是萬程x2-3x+a=0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程x23x+a=0的另一42根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而萬程x-3x+b=0的兩

33、根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：3 5 7 9 珈-,，一故a4 4, 4 42716,b =.35- 31從而a + b=16【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對(duì)于等舂婺列 an上若n + m = p + q ,則an +am = ap +aq ；對(duì)于等比數(shù)列an,若n + m = u + v ,則anam =auav；若數(shù)列n 是等坦數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kW N* ,那么Sk,S2k-Sk，S3k S2k成等比數(shù)列；若數(shù)列an 是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，k W N

34、*,那么Sk,S2k- Sk,S3k S2k成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用?！揪?4（ 2003全國(guó)理天津理）已知方程22x -2x+m=0和x 2x+n = 0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為I T /1，-的等差數(shù)列，則4m -n =（）a、ib、3C、1D、3 428答案：C【易錯(cuò)點(diǎn)15】用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比q = 1的情況例 15、數(shù)列an中，a =1 , a2 =2 ,數(shù)列an 'an由是公比為q （ q > 0 ）的等比數(shù)列（I）求使anan+an+an書>an七an書成立的q的取值范圍；（ii ）求數(shù)列an的前2n項(xiàng)的和S2n.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于等比數(shù)

35、列的前n項(xiàng)和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列an an由是公比為q（ q >0）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受阻。2斛：（I） :數(shù)列an -anG是公比為q的等比數(shù)列，：an由an2 = anan由q , an也an43 =anan由q ,由一2,2anan由+an+an士 Aan_2an也得anan由+anan+q Aanan+q = 1+qq2，即q -q-1<0 (q>0),解得c 150 : q :2（II）由數(shù)列an an由是公比為 q的等比數(shù)列，得包土史吧2 = q = 亙&q

36、uot;” = q ,這表明數(shù)列an的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,anan 1an所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是 q ,又a1 =1 , a2 = 2 , .當(dāng)q 0 1時(shí)，S2n二a1 . a2a3 , a4 ,' a2nd ' a2n二（aia2a3 一 an） a4a6a2n） if,a2"/）絲Hl1 -q 1 q 1 -q當(dāng)q = 1時(shí),an） （a2 a4 - a6 " a2n）S2n-ala2a3a4a2na2n=（a1a2a3'=（1+1+1十.一十1）+（2+2+2十一+2）=3n.a【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，

37、其中an±=4是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，an不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對(duì)等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤?！揪?5（2005高考全國(guó)卷一第一問）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和sn>0（1）求q的取值范圍。答案：-1,0U0,二【易錯(cuò)點(diǎn)16】在數(shù)列求和中對(duì)求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位。例16、.（2003北京理）已知數(shù)列an是等差

38、數(shù)列，且a1=2,a1+a2+a3=12j（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（2）令bn=anxn（xwR）求數(shù)列bn前項(xiàng)和的公式?！舅季S分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式再由數(shù)列bn的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列bn是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。解析：（1）易求得an=2n（2）由（1）得b=2nxn令s=2x+4x2+6x3+111+2nxn（t）uiitxs=2x2+4x3+111+2fn1xn+2nxn由nSnxxxx.nxxnxxxxxi0/（口）用（i）減去（口）（注意錯(cuò)過一位再相減）得（1_xBn=2x+2x2+2x3+HI+2xn_2nxn41當(dāng)

39、1 I2 x（1-xn）x01sn=-nxn+當(dāng)x=1時(shí)sn=2+4+6+|”+2n=n（n+1）1 -x1-xI綜上可得：2 x（1-xn）+當(dāng)x=1sn=nxn當(dāng)x=1時(shí)sn=2+4+6+|+2n=n（n+1）1-x1-x【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對(duì)于數(shù)列cn有cn=anbn其中數(shù)列an和bn分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可通過在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過一項(xiàng)相減的方法來求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例?！揪?6】（2005全國(guó)卷一理）已知un=an+an,b+anb2+|+abn+bn（neN+,a>0,ba0）當(dāng)a=b時(shí)，求數(shù)

40、列an的前n項(xiàng)和Sn(n+1)an42(n+2)9n'a2+2an(n+3)答案：a#1時(shí)sn=-"2-當(dāng)a=1時(shí)sn=-'.1-a2【易錯(cuò)點(diǎn)17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。一一，、一1111例17、求Sn=+.112123123二n【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。1=2_ = 2(_L) , n 取 1,12 3，n n(n 1) n n 1解：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

41、公式得1+2+3+.一+n=n(n+1)21112, 3,，就分別得到-,112 12 3Sn =2(1 1) 2(：) 2(；1)2(122 33 4nI «'二 2(1 -2nn1【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】“裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)(也可三個(gè)或更多)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般情況下剩余項(xiàng)是前后對(duì)1111稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求一!+!+!+!,方法還是抓通項(xiàng)，即122224326n22n111111力=1uLi1.),問題會(huì)很容易解決。

42、另外還有一些類似“裂項(xiàng)法”的題目，如：an=十一n2nn(n2)2nn2.n-/n1求其前n項(xiàng)和，可通過分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等?！揪?7】(2005濟(jì)南統(tǒng)考)求和22142161(2n)21-+-+-+-2-14-16-1(2n)-1竹生c彳11彳11彳11/112n答案：Sn=14*1+*1*.+1+-=n+1335572n-12n12n1【易錯(cuò)點(diǎn)18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例18、(2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20)設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.2M(I)若首項(xiàng)a1

43、=,公差d=1,求滿足Sk2=(SQ的正整數(shù)k；(口)求所有的無窮等差數(shù)列an,使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有S9=(Sk)2成立.k.學(xué)生在解第(口)時(shí)極易根據(jù)條件“對(duì)于【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力一切正整數(shù)k都有s=(Sk)2成立”這句話將k取兩個(gè)特殊值確定出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但沒有認(rèn)識(shí)到求解出的等差數(shù)k列僅是對(duì)已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。M/,、w3n(n-1),3n(n-1)12解：(I)當(dāng)a1=一，d=1時(shí)Sn=na1+-d=-n+n+n22222由$卜2=(Sk)2,得1k4+k2=(

44、1k2+k)2,即k3('k1)=0又k=0，所以k=4.k2242(II)設(shè)數(shù)列an的公差為d,則在Sn2=(Sn)中分別取k=1,2，得2,、S=(Si)2即a11,(1)<_2,即J4乂32x12S4;)4a1+d=(2a1+d)(2)、22由(1)得a1=0或a1=1.當(dāng)a1=0時(shí),代入(2)得d=0或d=6,2右a1=0,d=0,則an=0,Sn=0,從而Sk=(Sk)成立,若a1=0,d=6,則a0=6(n1),由S3=18,(S3)2=324,Sn=216知S9¥(S3)2，故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)2a1=1,代入(2)得4+6d=(2+d)，解得d=0或

45、d=2右a1二1,d=0,則an=1,Sn=n,從而Sk2=（5了成u；J'I22若a1=1,d=2,則an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n,從而S=（Sn）成立.綜上，共有3個(gè)滿足條件的無窮等差數(shù)列：an:an=0，即0，0，0，；an：an=1,即1，1,1,；an：an=2n1,即1，3,5,，【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上，“條件中使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有s=（Sk）2成立.”就等價(jià)于關(guān)于k的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)為零，于是本題也可采用這程等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯(cuò)誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一

46、般的關(guān)系?！揪?8（1）（2000全國(guó)）已知數(shù)列cn,其中g(shù)=2n+3n,且數(shù)列cn書pcn為等比數(shù)列.求常數(shù)p答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，再說明p值對(duì)任意自然數(shù)n都成立）【易錯(cuò)點(diǎn)19】用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為0.尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.22例19、已知雙曲線xy=4，直線y=k（x1），討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程后，易忽視對(duì)方程的

47、種類進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。卡y=kx-122222解析：聯(lián)立萬程組«消去y得到（1k2）x2+2k2xk24=0（1）當(dāng)1k2=0時(shí)，即k=±1，方程為x2-y2=4關(guān)于x的一次方程，此時(shí)方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。（上 1 - k2 = 02)當(dāng)4戶02 c。%程組只有一解，故直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)（3）當(dāng)一時(shí)，方程組有兩個(gè)交點(diǎn)此時(shí) 火 <. ： = 4 4 -3k2032,3k <且321 k2 #0& =4(43k2 卜0-2.32.3時(shí)即k >或k < 時(shí)方程組無解此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)

48、。33 2 3綜上知當(dāng)k = ±1或k = ±時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)3紀(jì)3<k<空3且k#±1。時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),時(shí)方程組無解此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線相交但只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過這一點(diǎn)也說明直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與2【練19（1） （ 2005重慶卷）已知橢圓 G的方程

49、為 + y24=1 ,雙曲線c2的左右焦點(diǎn)分別為 g的左右頂點(diǎn)，而c2的左右頂點(diǎn)分別是C1的左右焦點(diǎn)。（1）求雙曲線的方程（2）若直線l:y = kx + J2與橢圓G及雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足lOAOB < 6 ,其中O為原點(diǎn),求k的取值范圍。答案:2,、 X 2/ ,、(1)-y =1(2)3雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深體會(huì)這種數(shù)與形的統(tǒng)一。（2）已知雙曲線C:,過點(diǎn)P（1,1）作直線1,使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有條。答案：4條（可知2kl存在時(shí),令l:y-1=k（x-1

50、）代入x2-y=1中整理有（4-k2）x2+2k（k-1）x-45（1-k2）-4=0,.當(dāng)4*2=0即卜=±2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k，±2時(shí)，由=0有卜=一，有一個(gè)切點(diǎn)另：當(dāng)kl不存在時(shí)，x=1也和曲線C2有一個(gè)切點(diǎn)：綜上，共有4條滿足條件的直線）【易錯(cuò)點(diǎn)2?！恳走z忘關(guān)于sin8和cos日齊次式的處理方法。cos二sin二o.o.例20、已知tan日=守2,求（1）；（2）sin6-sin日.cos日+2cos8的值.cos二-sinB【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用1=sin2口+cos2«可將（2）式分子分母除去sin日即可。解:,1.sin三 cos s

51、in f _ cosi cos - sin11 _ sin 丁 cos-1 tan11 - tan?1.21-2=-3-2/2 ；22 sin s -sin ccos2 cossin2 - sin c cos , 2cos2 1sin2 1 cos2 usin2 1 sin 1 .丁； 2二 cos cos 1 s2 .1 cos2 F2 - 2 2 4 - .22 13【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過程簡(jiǎn)化。（1=sin2:cos2:=sec2-tan2:=tan：cot：歡迎共閱這些統(tǒng)稱為1的代換)常數(shù)“1”的種種代換有

52、著廣泛的應(yīng)用.【練20】.(2004年湖北卷理科)已知6sin2二：sin具cos：-2cos21=0,o(w土，町求sin(2ot+)的值.23sin 12'3,3 ,2tan ： 一 1 -tan 工=2)1 Tan ：.11 k-1 6bn=400+400X (1+ -)+-+400X(1+-)k 1=Z答案：6+52g(原式可化為6tan2a+tana-2=0,1326【易錯(cuò)點(diǎn)21解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第n項(xiàng)與數(shù)列的前n項(xiàng)和混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤解答。例21、如果能將一張厚度為0.05mm勺報(bào)紙對(duì)拆，再對(duì)拆.對(duì)拆50次后，報(bào)紙的厚度是多少？你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和

53、月球之間建一座橋嗎？(已知地球與月球的距離約為4M108米)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)拆50次后，報(bào)紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第n項(xiàng)，易誤理解為是比等比數(shù)列的前n項(xiàng)和解析：對(duì)拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對(duì)拆厚度構(gòu)成數(shù)列an,則數(shù)列an是以a1=0.05父103米為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。從而對(duì)拆50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第51項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得a51=0.05X10-3X250=5.63X1Q10,而地球和月球間的距離為4義108<5.63X1010故可建一座橋。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題曾是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，其中有很多問題都是涉及到等差或者等比數(shù)列的

54、前n項(xiàng)和或第n項(xiàng)的問題，在審題過程中一定要將兩者區(qū)分開來?！揪?1(2001全國(guó)高考)從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少1,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用,51預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加1.4(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達(dá)式；I./(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入II_JII'f二二.|n(1)an=800+800X(1-1)+800X(1-1)n1=Z800X(11)1=4000X1-(-)n5555400X(5)k1=1600*(勺)nT44(2)至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入【易錯(cuò)點(diǎn)22】單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對(duì)此知識(shí)遺忘，應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)，另一方面易將角的三角函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的長(zhǎng)度二者等同起來，產(chǎn)生概念性的錯(cuò)誤。例21、下列命題正確的是()歡迎共閱a、a、B都是第二象限角，若sina>sinP，則tanaatanPb、o（、P都是第三象限角，若cosa>cosP,則sinaAsinPC、ot、P都是第四象限角，若sina>sinP,則tana>tanPdo（、