等差數(shù)列等比數(shù)列的綜合應用

1、課時作業(yè)12等差、等比數(shù)列的綜合問題時間：45分鐘 滿分：100分課堂訓練1 .等差數(shù)列an中，a3 + an = 8,數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7= a7，貝S b6 b8的值為（）A . 2B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】心彳+ an = 2a7,*a7= 4,b6 b8= b7 = a2 = 16,故選 D.2. （2013新課標H理）等比數(shù)列an的前n項和為S，已知0=a2 + 10a1, a5= 9,貝S a1 =()11A3B.3C.1D.199【答案】C【解析】&= a2 + 10a1,*a1 + a2 + a3= a2+ 10a1, a3= 9a1，又a5=

2、9,9= a3 q2= 9a1q2,a1q2= 1,由 a3 = 9a1 = a1 q2,q2= 9,故 a1 = 9.213. (2013新課標I理)若數(shù)列an的前n項和為Sn = jan + 3,則 數(shù)列an的通項公式是an=.【答案】（2）n T2 1【解析】，& = 3*"+ 3,a= i,2 1.當口= 1 時，S = gai + 3= ai,當n2時,2 1 2 12 2an= S S 1 =(3an + 3)(3an 1 + 3)= 3為3為一 1，._an_an12,an=4. 在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a= 10,且a1,2a2 + 2,5a3 成等比

3、數(shù)列.（1）求 d, an;若 d<0,求 |a11+ 念| + &|+ |an|.【分析】（1）由a1= 10結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得d的值，進的n值，然后分類討論.而求出an;首先確定出fn>0，0an+1 < 0,【解析】(1)由題意得a1 5a3= (2a2 + 2)2, a1= 10,即 d2 3d 4 = 0.故 d= 1 或 d = 4.所以 an= n+ 11, nN +或 an= 4n+ 6, nN +.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.因為d<0，得d= 1, a*= n +11則1 2 21 當 nW 11 時，&| + 念| + &am

4、p; |+ |an| = Sn= ?n + 2 n.當 n12 時,a|+ a|+舊3|+ |an| = S + 2Sn1 21=qn?n+110.綜上所述，a |+ &|+念| + |an|r 1 221?n + 2 n, nW 11,=1 2 21 2門一2 n+ 110,n12.課后作業(yè)一、選擇題(每小題5分，共40分)1. 數(shù)列 佝的通項公式為an = ( 1)n1 (4n 3),則它的前100項之和So。等于()A . 200B. 200C. 400D. 400【答案】B【解析】Swo= 1 5 + 9 13+ (4X 99 3) (4 X 100 3)=50X ( 4)=

5、200.2. 公比為2的等比數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且a3an= 16,則as =()A . 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式求解.*«a3 a11 = 16,a7= 16.又.an>0,a7= 4, a5= a7 q2 = 4X 22 = 1.故選 A.3. 在等比數(shù)列an中，如果ai + a2= 40, 83+ a4 = 60,那么a7+ a8=( )A . 135B. 100C. 95D. 80【答案】A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，ai + a2, a3+ a4, as + a6, a?+a8成等比數(shù)列，其首項為40,公比為40=2

6、.力7+ a8= 40X (2)3= 135.4. 已知an是首項為1的等比數(shù)列，&是an的前n項和，且 9S3= S6,則數(shù)列宀啲前5項和為（）anA 1531 十-A."8或 5B.6或 531.16D.158【答案】【解析】由題知q3S6 - S3S3=8,則q = 2,由數(shù)列：三是公比為12,首項為的等比數(shù)列，其前5項和T5= 1X1 = 16,故選C.5. 等差數(shù)列an中，a + a2 + + a5o = 200, 851 + a52 + + ago=2 700,則 a1 等于()A . 1 221B. 21.5【答案】C【解析】設(shè)an公差為 d,貝y a51 +

7、a52 + 內(nèi)。=2 700= 200+ 50x 50d , d= 1.把 d = 1 代入 ai + a2 + + a50 = 200，可得 ai =20.5.6. 根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預測某種家用商品從年初開始的 n個月 內(nèi)累積的需求量5(萬件)近似地滿足Sn = 9j0(21 n n2 5)(n= 1,2, 12).按此預測，在本年度內(nèi)，需求量超過 1.5萬件的月份是()A . 5 月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月【答案】C【解析】設(shè)第n個月份的需求量超過1.5萬件.則Sn Sn-1 =90n 1 (21 n n2 5) -9亍21( n 1) (n 1)2 5&g

8、t; 1.5,解不等式，得n2 15n + 54v 0,即6v nv 9.二應選C.7. 已知數(shù)列an為等比數(shù)列，S是它的前n項和.若a2a3= 2印,5且a4與2a7的等差中項為*則S5 =()A. 35B. 33C. 31D. 29【答案】C【解析】由 a2 a3= 2a1 知 a2q3= 2a1，又 a1 工0.aq3= 2,由 a4和2a7的等差中項為號得，5= a4 + 2a7,即2= ag? + 2a1q6 = 2+4q?, /q31=8,1q=2；116 1 藝 =31.1 18.數(shù)列 1X2, 2X4,3X 8,4X 16'的前n項和為（）-a1 = 16, Ss=11

9、 -1 21 _ n2 1 2neg n2+n + 2) 2D.* n+ 1) n+ 1【答案】【解析】1Si= 1x 2+ 2X 4+ 3X1+ nx *,=1X右 + 2X 8+(n 2)十 + (n 1)右+nX七2n+ |一，得:1 X1+ 1X 4+ 1x8 + 竊-nX12n+1.n1_nn.2n+ 15 = 2 2n 1 2'二、填空題（每小題10分，共20分）9 .已知1, a1, a2,4成等差數(shù)列，1, 6, b2, bs,4成等比數(shù)列,a + a2b25【答案】 5【解析】由題意知，a1 + a2 = 1+ 4= 5,2 b2 = bi b3= 1 x 4,.*b

10、2= 2 或2.又.bi= 1 x b2,b2>0，故 b2= 2.ai + a25二 b2 = 2.10. 等比數(shù)列為的前n項和為Sn,公比不為1若ai = 1,則對任意的 n N + ,都有 an+2 + an+1 2an= 0,貝卩 S5=.【答案】11【解析】利用“特殊值”法，確定公式.由題意知a3 + a2 2a1 = 0,設(shè)公比為q,貝卩a1(q? + q 2)= 0.由q2a(1 一 q5) 1 ( 2 )5+ q 2 = 0 解得 q= 2 或 q= 1(舍去)，則 S5=3=1 q311.三、解答題(每小題20分，共40分.解答應寫出必要的文字說 明、證明過程或演算步驟

11、)11. 等差數(shù)列an中，a4= 10,且a3, a, ao成等比數(shù)列，求數(shù) 列an的前20項和S20.【解析】設(shè)數(shù)列an的公差為d,則a3 = a4 d = 10 d, a6= a4 + 2d = 10 + 2d,a10 = a4 + 6d = 10 + 6d.因為a3, a6, ao成等比數(shù)列，所以a3ae= a6,即(10 d)(10 + 6d)= (10 + 2d)2，整理得 10d2 10d = 0,解得d = 0,或d= 1.當 d= 0 時，S20= 20a4= 200;當 d= 1 時，a1= a4 3d = 10 3x 1 = 7,十冃20 x 19于是 S2o = 20a1

12、 +2d = 20 x 7+ 190= 330.12. 數(shù)列an滿足 a1= 1, an+1 = (n2+n 臨(n= 1,2,),入是 常數(shù).(1) 當a2= 1時，求入及a3的值；(2) 是否存在實數(shù) 入使數(shù)列an為等差數(shù)列？若存在，求出入及數(shù)列an的通項公式；若不存在，請說明理由.【分析】(1)把 a1, a2及n代入已知等式，即可求出 入從而a3 也很容易求出.(2)假設(shè)存在實數(shù) 入使數(shù)列an為等差數(shù)列，利用等 差數(shù)列的定義求解.【解析】(1)因為 an+1 = (n2+n 陽*(n= 1,2,)，且 a= 1,所以當a2 = 1時，得一1 = 2入所以 =3,所以 a3= (2 + 2 3) x ( 1) = 3.不存在實數(shù)入使 數(shù)列an為等差數(shù)列.理由如下：由a1 = 1, an+1 =(門2+n an,得 a2 = 2 入 a3 = (6 ?)(2 為.若存在實數(shù)入使數(shù)列an為等差數(shù)列.