1.2chapter二次曲面ppt課件

1、教學要求：教學要求：1.了解常用二次曲面的方程及其圖形了解常用二次曲面的方程及其圖形; 2. 會用截痕法求曲面的交線會用截痕法求曲面的交線. .橢球面橢球面一一 .拋物面拋物面二二 .雙曲面雙曲面三三 .錐面錐面四四 .面面一般二次方程表示的曲一般二次方程表示的曲五五 二次曲面與截痕法二次曲面與截痕法二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面相應地平面被稱為一次曲面相應地平面被稱為一次曲面討論二次曲面形狀的截痕法：討論二次曲面形狀的截痕法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線即截痕的

2、形狀，然后相截，考察其交線即截痕的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面 .橢球面橢球面一一)0,( 1222222 cbaczbyax 1, 1, 1 )1(222222 czbyax由方程有由方程有 ,czbyax a,b,c 稱為橢球面的半軸稱為橢球面的半軸. (2) 用坐標面截得橢球面與三個坐標面的交線：用坐標面截得橢球面與三個坐標面的交線：ozyx,012222 zbyax,012222 yczax.012222 xczby(3) 用平行于坐標面的截面去截用平行于坐標面的截面去截 橢圓截面

3、的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是橢圓的交線也是橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1xyz橢球面的幾種特殊情況橢球面的幾種特殊情況:,)1(ba 若若1 222222 czayax則則方方程程為為旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面. 01 2222軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成繞繞由由曲曲線線zyczax 旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )| (1cz 12122222)(

4、zzzccayx,)2(cba 若若 2222azyx 則則方方程程為為球面球面 .拋物面拋物面二二zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq1. 橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：（1用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得一點，即坐標原點截得一點，即坐標原點)0 , 0 , 0(O設設0, 0 qp原點也叫橢圓拋物面的頂點原點也叫橢圓拋物面的頂點.與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz )0(1 z 11212122zzqzypzx當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的中心都在圓的中心都在 軸上軸上.1zz與平面與平面 不相交不相交.1zz )0

5、(1 z（2用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得拋物線截得拋物線與平面與平面 的交線為拋物線的交線為拋物線.1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點頂點 qyy2, 0211（3用坐標面用坐標面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得拋物線均可得拋物線.xyzo0, 0 qp同理當同理當 時可類似討論時可類似討論.0, 0 qpzxyo0, 0 qp)0( 2 ,22 ppzyxqp則則方方程程為為若若旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq2. 雙曲拋物面馬鞍面）雙曲拋物面馬鞍面）用

6、截痕法討論：用截痕法討論：設設0, 0 qp圖形如下：圖形如下：xyzo xyz 常常用用 .雙曲面雙曲面三三1. 單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax 012222zbyax(1) 坐標面截坐標面截 )0( 截截面面 zxoy )0( 截截面面 xyoz 012222xczby )0( 截截面面 yzox 012222yczaxxyz(2) 平行于坐標面的截面截平行于坐標面的截面截 1221222211 ,zzczbyaxzz時時當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的中心都在圓的中心都在 軸上軸上.1zz 1221222211 ,yybyczaxyy時時雙曲線的中心都在雙曲線的中

7、心都在 軸上軸上.y,221by 當當x實軸與實軸與 軸平行軸平行,z虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,221by 當當z實軸與實軸與 軸平行軸平行,x虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,221by 當當 .,兩相交直線兩相交直線czax 1221222211 ,xxaxczbyxx時時雙曲線的中心都在雙曲線的中心都在y軸上軸上.,221ax 當當實軸與實軸與y 軸平行軸平行, 虛軸與虛軸與z 軸平行軸平行.,221ax 當當實軸與實軸與z 軸平行軸平行, 虛軸與虛軸與y 軸平行軸平行.,221ax 當當 .,兩兩相相交交直直線線czby 1 ,22222 czayxba則方程為則方程為若若旋轉(zhuǎn)雙曲面旋

8、轉(zhuǎn)雙曲面單葉雙曲面方程還有單葉雙曲面方程還有: 1222222 czbyax 1222222 czbyax2. 雙葉雙曲面雙葉雙曲面 1222222 czbyax雙葉雙曲面還有雙葉雙曲面還有1222222 czbyax1222222 czbyaxxyoz .錐面錐面四四0222222 czbyax頂點在原點頂點在原點, 對稱軸為對稱軸為 z 軸的錐面軸的錐面. xyzo0222222 czbyax0222222 czbyax .一般二次方程的化簡一般二次方程的化簡五五考慮二次方程考慮二次方程 0 222321231312233222211 czbybxbyzaxzaxyazayaxa矩陣表示形

9、式為矩陣表示形式為 0321332313232212131211 czyxbbbzyxaaaaaaaaazyx即即0 cBXAXXPYXA ,故一定存在正交變換故一定存在正交變換為對稱矩陣為對稱矩陣由于由于使使得得有有即即 , 111 zyxPzyx),(321 diagAPP 從而從而 0)( cBPYYAPPY0),(321 cBPYYdiagY 0131211213212211 czdydxdzyx 再經(jīng)過配方再經(jīng)過配方, 就能判斷出原二次方程表示的曲面圖形就能判斷出原二次方程表示的曲面圖形!. 026224433 . 1222 kzyxxzzyxex曲面曲面討論下列方程所表示的討論下列

10、方程所表示的Solution. , zyxX可設可設,302010203 A ,26224 B),1)(5)(1(302010203 AE. 1, 5, 1321 ,11時時當當 202020202AE 000010101 332310 xxxxx,1011 取取,101211 p單位化得單位化得,52時時當當 2020602025AE 000010101 332310 xxxxx,1012 取取,101212 p單位化得單位化得,13時時當當 402000204AE 000100001 003221xxxx,0103 取取,0103 p得得 0212110002121),(321pppP取正

11、交矩陣取正交矩陣,111 zyxYPYX其其中中作作正正交交變變換換原方程變形成原方程變形成: 2121215zyx , 0021211000212126224111 kzyx , 021025 111212121 kzyxzyx即即, 021025 111212121 kzyxzyx即即配方得配方得 ,5)1()1(5)1(212121kzyx ,111 121212 zzyyxx令令.55 222222kzyx 得得, 055 ,5222222 zyxk方方程程成成為為時時當當表示二次錐面表示二次錐面;, 15555,5222222 kzkykxk方方程程成成為為時時當當表示單葉雙曲面表示

12、單葉雙曲面;15555,5222222 kzkykxk方方程程成成為為時時當當表示雙葉雙曲面表示雙葉雙曲面. , 2332,. 2222下的標準方程下的標準方程新直角坐標系新直角坐標系并求此橢圓柱面在并求此橢圓柱面在的圖形是一個橢圓柱面的圖形是一個橢圓柱面使方程使方程的值的值確定確定zyxOaayzzyxaex , 3 aSolution. . 1)21()23(2222 zx.1),(, 266255),(. 3321323121232221321表表示示何何種種曲曲面面出出方方程程并并指指特特征征值值及及此此二二次次型型對對應應矩矩陣陣的的求求參參數(shù)數(shù)的的秩秩為為已已知知二二次次型型 xxxfcxxxxxxcxxxxxxfexSolution. , 3 c, 9, 4, 0321 .1為橢圓柱面為橢圓柱面 f.4),( ,),( ,422),(. 432132132232221321的的圖圖形形是是什什么么曲曲面面方方程程并并指指出出化化成成標標準準形形求求一一個個正正交交變變換換將將設設有有實實二二次次型型 xxxfxxxfxxxxxxxxfexSolut