幾何概型的常見題型及典例分析

1、幾何概型的常見題型及典例分析一幾何概型的定義1. 定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.2. 特點：（1）無限性，即一次試驗中，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限 多個；（2）等可能性，即每個基本事件發(fā)生的可能性均相等 .3.計算公式:P（A）構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體 積）試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）說明：用幾何概率公式計算概率時，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件所對應(yīng) 的幾何圖形，并對幾何圖形進(jìn)行度量.4.古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系：（1）聯(lián)系：每個基本事件發(fā)生的都是等可能的.（2）區(qū)別：古典

2、概型的基本事件是有限的， 幾何概型的基本事件是無 限的；兩種概型的概率計算公式的含義不同.常見題型（一）、與長度有關(guān)的幾何概型例1、在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個數(shù)x1X，cos2-的值介于0到2之間的概率為（).A.-3B.C.D.分析：在區(qū)間1,1上隨機(jī)取任何一個數(shù)都是一個基本事件.所取的數(shù)是 區(qū)間1,1的任意一個數(shù)，基本事件是無限多個，而且每一個基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件的發(fā)生的概率只與自變量x的取值范圍的11時要使co吟的值介于區(qū)間長度有關(guān)，符合幾何概型的條件 解：在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個數(shù)X,即x 0到-之間,需使x 或 x2 223322 2 1 x 2或-x 1，區(qū)間長度為3

3、 3由幾何概型知使cosx的值介于0到1之間的概率為2 22故選A.符合條件的區(qū)間長度J 1所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)間長 度 23 .例2、如圖,A,B兩盞路燈之間長度是30米，由于光線較暗，想在其間 再隨意安裝兩盞路燈 C,D，問A與C,B與D之間的距離都不小于10米的 概率是多少？思路點撥從每一個位置安裝都是一個基本事件，基本事件有無限 多個，但在每一處安裝的可能性相等，故是幾何概型.解 記E: “ A與C,B與D之間的距離都不小于10米”，把AB1等分，由于中間長度為妙3=10米,-P(E)10304題中的等可能參數(shù)是平行弦的中點，它等可能MKON圖1-1圖1-2方法技巧我們將每個事件理解為從某

4、個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機(jī)會都一樣，而一個隨機(jī)事件的發(fā)生 則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型 就可以用幾何概型來求解.例3、在半徑為R的圓內(nèi)畫平行弦，如果這些弦與垂直于弦的直徑的交 點在該直徑上的位置是等可能的，求任意畫的弦的長度不小于 R的概率 思考方法：由平面幾何知識可知，垂直于弦的直徑平分這條弦，所以， 地分布在于平行弦垂直的直徑上（如圖1-1 ） O 也就是說，樣本空間所對應(yīng)的區(qū)域 G是一維空 間（即直線）上的線段 MN而有利場合所對 應(yīng)的區(qū)域G是長度不小于R的平行弦的中點K 所在的區(qū)間。解法1.設(shè)EF與E1F1是長度等于R的兩

5、條弦,直徑MN垂直于EF和EiFi,與他們分別相交于K和Ki(圖1-2)。依題設(shè)條 件，樣本空間所對應(yīng)的區(qū)域是直徑 MN有L(G)=MN=2R注意到弦的長度 與弦心距之間的關(guān)系比，則有利場合所對對應(yīng)的區(qū)域是 KK,有2R-CC2L(Gk) KK1 2OK 2、R2,3R以幾何概率公式得P L(Ga)3R30L(G)2R2解法2.如圖1-1所示，設(shè)園O的半徑為R, EF為諸平行弦中的任意一條,直徑MN弦EF,它們的交點為K，則點K就是弦EF的中點。設(shè)OK=x則 x -R,R, 所以 L(G)=2R設(shè)事件 A為“任意畫的弦的長度不小于R”，則 A的有利場合是2 R2X R,解不等式，得 x所以 L

6、(Ga)2 3 R 3R2于是P(A)塞2R評注本題結(jié)構(gòu)比較簡單，題中直接給出了等可能值參數(shù)；樣本空間和 有利場合所對應(yīng)的區(qū)域，從圖上都可以直接看出。兩種解法各有特色， 解法1充分利用平面幾何知識，在本題似較簡便，解法 2引進(jìn)變量x把 代數(shù)知識和幾何知識有機(jī)的結(jié)合起來，從表面上看解題過程不甚簡便， 但確具有推廣價值，這種方法可以求解復(fù)雜的幾何概率問題。例4、在長為12cm的線段AB上任取一點M,并以線段AM為邊作正方形， 求這個正方形的面積介于 36cm與81cm之間的概率.分析：正方形的面積只與邊長有關(guān)，因此，此題可以轉(zhuǎn)化為在12cm長的 線段AB上任取一點M求使得AM的長度介于6cm與9c

7、m之間的概率. 解：記“面積介于36cm與81cm之間”為事件A,事件A的概率等價于 小結(jié)：解答本例的關(guān)鍵是，將正方形的面積問題先轉(zhuǎn)化為與邊長的關(guān)系 練習(xí)： 2、已知地鐵列車每10 min 一班，在車站停1 min，則乘客到達(dá)站臺立“長度介于6cm與 9cm之間”的概率，所以,P(A)=9 6_1124即乘上車的概率是()a£ B. 1109C.111D.解析：設(shè)乘客到達(dá)站臺立即乘上車為事件 A,試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)1域長度為10 min，而構(gòu)成事件A的區(qū)域長度為1 min，故P（A）=五.答 案：Ax 23、已知集合Ax| 1<x<5，B=x|>0，在集合A中任

8、取一個元素3 xx，則事件“ x An B”的概率是.解析：由題意得A=x| 1<x<5，B= x|2<x<3，由幾何概型知：11在集合A中任取一個元素x，則x An B的概率為P.答案：-66A4、小趙欲在國慶六十周年之后從某車站乘車外出 考察，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時一班， 求 小趙等車時間不多于10分鐘的概率. 分析：因為客車每小時一班，而小趙在060分鐘 之間任何一個時刻到車站等車是等可能的，所以50,60這一時間段內(nèi),而事件的總體是整個一小時， 由幾何概型的概率公式得計監(jiān)咒'即此即60分鐘，因此,人等車時間不多于10分鐘的概率為他在哪個時間段到站

9、等車的概率只與該時間段的 長度有關(guān)，而與該時間段的位置無關(guān)，這符合幾何 概型的條件，且屬于幾何概型中的長度類型. 解析：設(shè)A=等待的時間不多于10分鐘,我們所關(guān)心的事件A恰好是到 站等車的時刻位于7（二）、與面積有關(guān)的幾何概型例1、ABCD為長方形，AB 2, BC1,0為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點，取到的點到 0的距離大于1的概率為（A. B. 1 C.D. 1 -4 4884 0圖1分析：由于是隨機(jī)的取點，點落在長方形內(nèi)每一個點的機(jī)會是等可能的, 基本事件是無限多個，所以符合幾何概型 解:長方形面積為2,以0為圓心,1為半徑作圓，在矩形內(nèi)部的部分（半圓）面積為二，因此取到的點

10、到0的距離大于1的面積為2，則取到2 2的點到0的距離大于1的概率為取到的點到0的距離大于1的面積長方形ABCD的面積故選B.例2、如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的 分環(huán).從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅 色，靶心為金色.金色靶心叫“黃心”.奧運 會的比賽靶面直徑為122 cm,靶心直徑為12.2 cm.運動員在70 m外射箭.假設(shè)運動員射的箭 都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點都是等可能的， 那么射中黃心的概率為多少？思路點撥 此為幾何概型，只與面積有關(guān).122 rnk解記“射中黃心”為事件B,由于中靶點隨機(jī)地落在面積為1222的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點落在面積為1 論卅的黃心時，事件B發(fā)生，于是事

11、件B發(fā)生的概率為P(B)12212.22cm2412 2-1222 cm240.01.即：“射中黃心”的概率是 0.01.方法技巧事件的發(fā)生是“擊中靶心”即“黃心”的面積；總面積 為最大環(huán)的圓面積.例3、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于1的點構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點，則落入 E中的概率為解析：如圖：區(qū)域D表示邊長為4的正方形ABCD勺內(nèi)部（含邊界），而區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此 P12。4 416點評：本小題中的試驗結(jié)果是區(qū)域中的部分點集，其結(jié)果是不可數(shù)的, 屬于幾何概型中典型的面積之比。例4、在三角形 ABC中任取

12、一點 P,證明： ABP 與厶ABC的面積之比大于 口 的概率為42。nn思考方法本題的隨機(jī)點是 ABP的頂點P,它等可 能的分布在 ABC中，因此，與樣本空間對應(yīng)的平 面區(qū)域是 ABC，注意到 ABP于ABC有公共邊 AB,所以的面積決定于頂點P離底邊AB的距離。 這樣不難確定與有利場合相對應(yīng)的平面區(qū)域。解設(shè) ABP與 ABC的面積之比為 丄，ABC的高CD為h， ABP的 n1 h高PG為hi,公共底邊AB的長為c，（圖2）則Sabp 2ch h n 1 S abc 1 ch h n 2hi是所求概率為PS EFCS ABC注意至U EF/AB， EFC ABC ,且 CH=h -h ih

13、-h=h過點P作EF/AB,交CD于 H,則有立場合所對應(yīng)的平面區(qū)域為CEF .于圖I904 Ls EFCS ABC由此，原題得證。評注本題的樣本空間雖然與平面區(qū)域相對應(yīng)，但因三角形ABC于三角形ABP有公共底邊AB,所以，實際變化著的量只有一個（即點P于AB的 距離），問題還比較簡單，對于較復(fù)雜的平面區(qū)域，常常要根據(jù)題設(shè)選定 兩個變量，由各自的約束條件確定樣本空間于有立場合的相應(yīng)區(qū)域。例5、將長為L的木棒隨機(jī)的折成3段，求3段構(gòu)成三角形的概率.解：設(shè)M“3段構(gòu)成三角形”.x y分別表示其中兩段的長度，則第三段的長度為L x y.（X y）| 0 x L,0 y L,0 x y L .由題意，

14、X, y, L x y要構(gòu)成三角形，須有x y L x y ,即故M(x, y)|x yL2，yLf , x2L2 °如圖1 所示，可知所求K概率為1.2LM的面積 221P(M )的面積L24 2例6已知函數(shù)f (x) _2 x+ ax b.若a、b都是從區(qū)間0,4任取的一個數(shù)，則f(1) >0成立的概率是解析：f (1) _ 1 + a-b>0, 即卩 a b> 1,如圖：x (L(Lyy7x y) x,x y) y ，即o7A(1,0)9Saabc,B(4,0) , C(4,3) , Sabc= ， P=92_ _ _9 Se 4X4_ 32.答案:93217

15、練習(xí)1、ABC助長方形，A吐2, BC= 1, 0為AB的中點在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點，取到的點到0的距離大于1的概率為C.° -1-n解析：對應(yīng)長方形的面積為2X1 = 2,而取到的點到0的距離小于等于11 2時，其是以O(shè)為圓心，半徑為1所作的半圓，對應(yīng)的面積為2xnX121=1冗，那么滿足條件的概率為：1 27 = 1：答案：B2、設(shè)一K a< 1， 1< b< 1,則關(guān)于x的方程x2 + ax+ b2= 0有實根的概率是()11A二B.C.24解析：由題知該方程有實K a< 1,K b< 1,作平面區(qū)域如右圖:a2 4b2 > 0,積為1

16、,總的事件對應(yīng)面積為正方形的面積, 故概率為4.答案：B 3、已知 Q = ( x, y)| x + y<6, x>0, y >0, A= ( x, y)| x<4, y>0,x 2y >0，若向區(qū)域Q上隨機(jī)投一點P,則點P落入?yún)^(qū)域A的概率1B.C.D.解析：作出兩集合表示的平面區(qū)域如圖所示容易得出Q所表示的平面區(qū)域為三角形 AOB及其邊界，A表示的區(qū)域為三角形OCD及其邊界.容易求得D(4,2)恰為直線x = 4, x 2y = 0, x+ y= 6三線的交點.1 1則可得SaAOB= 2 6X 6= 18, Saocd=4X 2= 4.所以點P落在區(qū)域A

17、的 概率為備9.答案：Dxy .204、在區(qū)域xy'.20內(nèi)任取一點P,0則點P落在單位圓x2+y2= 1內(nèi)的概率為()B.C.D.解析：區(qū)域為 ABC內(nèi)部(含邊界)，則概率為P=S半圓SABC.答案：DP=3X （*x 亍X12）=干.答案:65、在邊長為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點P,貝U使點P到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是.解析：以A、B、C為圓心，以1為半徑作圓，與 ABC相交出三個扇形(如圖所示)，當(dāng)P落在陰影部分時符合要求.X21 36、在區(qū)間0,1上任意取兩個實數(shù)a，b，J則函數(shù)f(x)=歹+ ax b在區(qū) 間1,1上有且僅有一個零點的概率為 .2解析：f &#

18、39;(x) = x + a，故f (x)在x 1,1上單調(diào)遞增，又因為函數(shù)1 3f(x) = x + ax b在1,1上有且僅有一個零點，即有f( 1) f(1)<01 1 1 1成立，即(2 a b)( 2 + a b)<0，則(2+ a+ b)( 2+ a b)>0，可化為0< a<i0< bwi12+ a b>00< a<10< b<1由線性規(guī)劃知識在平或 2 + a b<0, 面直角坐標(biāo)系aOb中畫出這兩個不等式組所表示的可行域，再由幾何概1+ a+ b>01 + a+ b<01 3型可以知道，函數(shù)f

19、 (x) = 2x3+ ax b在1,1上有且僅有一個零點的 概率為可行域的面積除以直線 a= 0, a= 1, b = 0, b= 1圍成的正方形的 面積，計算可得面積之比為6。答案：石8 87、已知函數(shù) f (x) = x2 2ax+ b2, a, b R.(1)若a從集合0,1,2,3中任取一個元素，b從集合0,1,2中任取一個元素，求方程f(x)二0有兩個不相等實根的概率； 若a從區(qū)間0,2中任取一個數(shù)，b從區(qū)間0,3中任取一個數(shù)，求方 程f (x) = 0沒有實根的概率.解：a取集合0,1,2,3中任一個元素，b取集合0,1,2中任一個 a, b 的取值的情況有(0,0) , (0,

20、1) , (0,2) , (1,0) , (1,1) , (1,2), (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2).其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值，即基本事件總數(shù) 為12.設(shè)“方程f (x) = 0有兩個不相等的實根”為事件 A,當(dāng)a>0, b>0時,方程f(x)二0有兩個不相等實根的充要條件為 a>b. 當(dāng) a>b 時，a, b 取值的情況有(1,0) , (2,0) , (2,1) , (3,0) , (3,1), (3,2),即A包含的基本事件數(shù)為6 ,一 6 1方程f(x) = 0有兩個不相等實根的

21、概率P(A) = 12=-.(2) v a從區(qū)間0,2中任取一個數(shù),b從區(qū)間0,3中任取一個數(shù),則試 驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域 Q=( a , b)|0 < a< 2,0 < b< 3,這是一個矩形 區(qū)域，其面積Sq = 2X 3= 6.設(shè)“方程f(x) = 0沒有實根”為事件B,則事件B所構(gòu)成的區(qū)域為 M= ( a , b)|0 < a< 2,0 < b< 3 , av b,1即圖中陰影部分的梯形，其面積 S& 6 qX 2X 2= 4.P(B)=由幾何概型的概率計算公式可得方程SmSq23.f(X)= 0沒有實根的概率(三) 、與角度有關(guān)

22、的幾何概型例1、在圓心角為90°的扇形中，以圓心為起點做射線0C , 求使得 AOC和 BOC都不小于30°的概率？分析：此題關(guān)鍵是搞清過O作射線OC可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的發(fā)生是等可能的解：記事件A是“做射線OC，使得 AOC和 BOC都不小于30AON BOM MON 300，則符合條件的射線OC應(yīng)落在扇形MON中，所以P(A)MON的度數(shù)30° 1AOB的度數(shù)900 3例2、如圖所示，在等腰直角 VABC中，過直角頂點C在 ACB內(nèi)部做 一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM AC的概率。分析：當(dāng) AM AC 時，有ACM AM

23、C，故欲使 AM AC，應(yīng) 有 ACM AMC，即所作的射線應(yīng)落在ACM AMC時 ACM的內(nèi)部。解析：在AB上取AD AC,連接CD，則ACD180°45°一 67.50，記“在內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M ， AMAC”為事件A,則P(A)67.5090034，所以，所求概率% 3為一。4點評：本題所求事件的本質(zhì)是在 ACB內(nèi)部做一條射線CM，所構(gòu)成的 區(qū)域是一個“角”域，故應(yīng)屬于幾何概型中的角度之比類型；本題極易 易犯的錯誤是，用長度的比得出 2 11二這一錯誤結(jié)果。V22例3、在等腰 Rt ABC中，C=90,在直角邊 BC上任取一點 M求 CAM 300

24、的概率（答案：上3 ）3（四）、與體積有關(guān)的幾何概型例1、在5升水中有一個病毒，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出 1升水，含有病毒的 概率是多大？分析：病毒在這5升水中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的 1升水可以 看作構(gòu)成事件的區(qū)域，5升水可以看作是試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū) 域，因此可以用體積比公式計算其概率.解：“取出1升水，其中含有病毒”這一事件記作事件 A，則 P(A)取出的水的體積所有水的體積0.2.從而所求的概率為02 例2、任取三條不大于a的線段，求這三條線段能夠成一個三角形的概 率。思考方法 題設(shè)的三條線段互不相干，所以可設(shè)置三個獨立變量。注意 到三條線段構(gòu)成三角形的充要條件，可推得有立場合的約束條

25、件。由此 原題可以解出。解 設(shè)三條線段的長分別為x、y、z，則樣本空間是0 x a0 y a （1）0 z a有三條線段構(gòu)成三角形的條件可知，其中的任意兩條之和比大于第三條x y z線段，于是，有利場合的可能情形是y z x（2）z x y把條件（1）、（ 2）所限制的區(qū)域，在空間直角坐標(biāo) 系中表示出來，有如圖2-3所示。y圖2-3其中（1）所對應(yīng)的區(qū)域G是正方體OA, 所對應(yīng) 的區(qū)域GA是六面體OAAA3A4,且有LGa31 3L GA a3-3?-? ?a=-a3322a 12 1 p= 2 3 = a32例3、在區(qū)間0,1上任取三個實數(shù)x.y.z,事件A=(x,y,z)| x2+y2+z

26、2 v1, x > 0,y > 0,z > 0(1) 構(gòu)造出隨機(jī)事件A對應(yīng)的幾何圖形；(2) 利用該圖形求事件A的概率.思路點撥：在空間直角坐標(biāo)系下，要明確x2+y2+z2 v 1 表示的幾何圖形是以原點為球心，半徑r=1的球的內(nèi)部.事 件A對應(yīng)的幾何圖形所在位置是隨機(jī)的， 所以事件A的概 率只與事件A對應(yīng)的幾何圖形的體積有關(guān)，這符合幾何概 型的條件.解：(1) A=(x,y,z)| x2+y2+z2v 1, x>0,y >0,z >0表示空間直角坐標(biāo) 系中以原點為球心，半徑r=1的球的內(nèi)部部分中x>0,y >0,z >0的部分, 如圖所示

27、.(2)由于x,y,z屬于區(qū)間0,1，當(dāng)x=y=z=1時，為正方體的一個頂 點，事件A為球在正方體內(nèi)的部分.1 4 13 P(A)13 6方法技巧：本例是利用幾何圖形的體積比來求解的幾何概型，關(guān)鍵 要明白點P(x,y,z)的集合所表示的圖形.從本例可以看出求試驗為幾何 概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可解，另外要適當(dāng)選擇觀察角度.(五) 、會面問題中的概率例1、某碼頭接到通知，甲、乙兩艘外輪都會在某天 9點到10點之間 的某一時刻到達(dá)該碼頭的同一個泊位，早到的外輪要在該泊位?？?0分鐘辦理完手續(xù)后才離開，求兩艘外輪至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率。解析

28、：設(shè)事件A表示兩艘外輪至少有一艘在停 靠泊位時必須等待，兩艘外輪到的時間分別為9點到10點之間的x分、y分，則|x-y| <20,020 x y 20 <x,y <60, 即卩A（x, y）| 0 x 60，以9點為原點，建立平0 y 60面直角坐標(biāo)系如圖所示，事件 A所對應(yīng)的區(qū)域如圖中陰影區(qū)域所示： 所以，其概率P（A）=陰影面積/ABCD面積=5/9。 小結(jié)：“會面”類型常見的載體是兩人相約見面、輪船?？坎次坏?，其 關(guān)鍵是構(gòu)建相遇的不等式（組），借助于線性規(guī)劃知識，將其面積之比 求出，使得問題得以解決。例2、兩人約定在20： 00到21： 00之間相見，并且先到者必須等遲

29、到 者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在 20： 00到21： 00 各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率.思路點撥 兩人不論誰先到都要等遲到者40分鐘，即-小時.設(shè)兩 3人分別于x時和y時到達(dá)約見地點，要使兩人在約定的時間范圍內(nèi)相見， 當(dāng)且僅當(dāng)-2 < x-y < -，因此轉(zhuǎn)化成面積問題，利用幾何概型求解.33解設(shè)兩人分別于x時和y時到達(dá)約見地點，要使兩人能在約定時 間范圍內(nèi)相見，22當(dāng)且僅當(dāng)-2 <x-y < 2. 33兩人到達(dá)約見地點所有時刻（x,y）的各種可能結(jié)果 可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點來表示，兩人 能在約定的時間

30、范圍內(nèi)相見的所有時刻（x,y ）的各種可 能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）來表示.因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范 圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為S陰影S單位正方形1（3）212方法技巧會面的問題利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成面積問題的幾何概 型.難點是把兩個時間分別用x,y兩個坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點（x,y）, 從而把時間是一段長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，轉(zhuǎn)化成面 積型幾何概型問題.（六）、與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型 例1、小明家的晚報在下午5： 306： 30之間的任何一個時間隨機(jī)地被送到，小明一家在下午6: 007: 00之間的任何一個時間隨機(jī)地開始

31、晚 餐.那么晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少？ 分析：該題題意明確，但如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型需要從實際問題中分析出 存在的兩個變量.由于晚報送到和晚飯 開始都是隨機(jī)的，設(shè)晚報送到和晚飯開 始的時間分別為x、y，然后把這兩個變 量所滿足的條件寫成集合的形式，把問 題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解.解：設(shè)晚報送到和晚飯開始的時間分別 為x、y .用(x，y)表示每次試驗的結(jié) 果，則所有可能結(jié)果為：(x,y)5:30 x 6:30,6 y 7 ，即為圖3中正方形ABCD的面積；記晚報在晚餐開始之前被送到為事件A，則事件 A 的結(jié)果為：A (x, y)5:30 x 6:30,6 y 7, x y，即為圖2

32、中陰影部分區(qū)域.SABCD 11 1， S陰影1 .2 2 2 87所以所求概率為：P _也8-.SABCD18故晚報在晚餐開始之前被送到的概率是z.8反思：此類問題常會涉及兩個隨機(jī)變量的相互關(guān)系，其求解的步驟為：(1) 找設(shè)變量從問題中找出兩個隨機(jī)變量，設(shè)為 x,y ；(2) 集合表示.用(x, y)表示每次試驗結(jié)果，則可用相應(yīng)的集合分別表示 出全部結(jié)果和事件A所包含的試驗結(jié)果.一般來說，兩個集合都 是幾個二元一次不等式的交集.(3) 作出區(qū)域.把上面的集合所表示的平面區(qū)域作出，并求出集合，A 對應(yīng)的區(qū)域的面積.(4) 計算求解.由幾何概型公式求出概率.(七)、與定積分有關(guān)的幾何概型例1、在

33、區(qū)間1,1上任取兩數(shù)a、b，求二次方程x2 ax b 0的兩根 都是實根的概率.分析：可用(a,b)表示試驗結(jié)果.求出所有可能結(jié)果的面積和方程有實根的結(jié)果的面積，再利用幾何概型來解答解：用(a,b)表示每次試驗結(jié)果，則所有可能結(jié)果為：(a, b) 1 a 1, 1 b 1，即為圖3中正方形ABCD的面積；由方程有實根得：a2 4b 0，則方程有實根的可能結(jié)果為A (a,b)a2 4b 0, 1ibD1CMAaCa 1, 1 b 1 ，即為圖5所以 B2 13，圖4圖4中陰影部分區(qū)域SABCD224 ， S陰影.陰影部分面積可用定積分來計算1 1 21 3a da 1 2 a1412求概率為 ：

34、S陰影SABCD136413240.5417 .(八)、與隨機(jī)模擬有關(guān)的幾何概型例1、如圖5,面積為S的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形 M，可 按下面方法估計M的面積：在正方形ABCD中隨機(jī)投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為S，假設(shè)正方 n形ABCD的邊長為2，M的面積為1,并向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數(shù)目.22(I )求X的均值EX ;(II )求用以上方法估計M的面積時，M的面積的估計值與實際值 之差在區(qū)間(0.03,)內(nèi)的概率.k附表：P(k)C1toooo 0.25t 0.7510000 tt 0k2424242525

35、742575P(k)0.04030.04230.95700.9590分析：本題從表面來看似乎與幾何概型無關(guān)，其實它是一個幾何概型的 逆向問題與n次獨立重復(fù)實驗的綜合題，而且本題有別于常規(guī)的面積型 概率計算，設(shè)計新穎，通過隨機(jī)模擬來求不規(guī)則圖形的面積。解：每個點落入M中的概率均為P Sm的面積1 .依題意知 SaBCD4X B 10000,-1(I) EX 100002500 .4(U)依題意所求概率為P0.034 1100000.03 ，0.03100000.03P(2425 X 2575)2574C10000t 24260.25t0.7510000 t2574C10000t 24260.25

36、t0.7510000 t2425C10000t 00.25t0.7510000 1260.9570 0.0423 0.9147.例2、利用隨機(jī)模擬方法計算圖中陰影部分(由曲線y= 2x與x軸、x=± 1圍成的部分)面積.思路點撥 不規(guī)則圖形的面積 可用隨機(jī)模擬法計算.解(1)利用計算機(jī)產(chǎn)生兩組0,1上的隨機(jī)數(shù),a i=rand () , bi=rand().(2) 進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a i-0.5)*2,b=b 1*2,得到一組0,2 上的均勻隨機(jī)數(shù).(3) 統(tǒng)計試驗總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點數(shù)Ni.(4) 計算頻率 也，則 叫即為落在陰影部分的概率的近似值.NN(5) 利用幾

37、何概型公式得出點落在陰影部分的概率P S4(6) 因為叢=S ,所以S=紗即為陰影部分的面積N 4N方法技巧 根據(jù)幾何概型計算公式，概率等于面積之比，如果概率用 頻率近似在不規(guī)則圖形外套上一個規(guī)則圖形，則不規(guī)則圖形的面積近似 等于規(guī)則圖形面積乘以頻率.而頻率可以通過隨機(jī)模擬的方法得到，從 而求得不規(guī)則圖形面積的近似值.(九)、生活中的幾何概型例1、某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多于10分鐘的概率.分析：假設(shè)他在060分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的， 但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻，不能用古典概型公式計算隨機(jī)事 件發(fā)生的概率.可以通過幾

38、何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因為客車每小時一班，他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可 能的,所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關(guān)，而與該時間段的位置無關(guān)，這符合幾何概型的條件解：設(shè)A=等待的時間不多于10分鐘,我們所關(guān)心的事件A恰好是到站 等車的時刻位于50,60這一時間段內(nèi)，因此由幾何概型的概率公式，得 P(A)= 遼旦=丄，即此人等車時間不多于10分鐘的概率為1 .60 6 6例2、某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時刻 是任意的，求一個乘客到達(dá)車站后候車時間大于10分鐘的概率？分析：把時刻抽象為點，時間抽象為線段，故可以用幾何概型

39、求解。解：設(shè)上輛車于時刻 T1到達(dá)，而下一輛車于時刻 T2到達(dá)，線段T1T2 的長度為15,設(shè)T是T1T2上的點，且T1T=5, T2T=10,如圖所示：T2T1T記候車時間大于10分鐘為事件A,則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時刻落在線段 T1T上時，事件發(fā)生，區(qū)域D的測度為15,區(qū)域d的測度為5所以d的測度51P(A)D的測度153答：侯車時間大于10分鐘的概率是1/3.例3、假設(shè)題設(shè)條件不變，求候車時間不超過 10分鐘的概率. 分析：T2TiTd的測度 102D的測度 153例4、某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，并且出發(fā)前在車站停 靠3分鐘。乘客到達(dá)車站的時刻是任意的，求一個乘客到達(dá)車站后候車

40、 時間大于10分鐘的概率？分析：設(shè)上輛車于時刻T1到達(dá)，而下一輛車于時刻To到達(dá)，T2時刻出發(fā)。 線段T1T2的長度為15,設(shè)T是T1T2上的點，且ToT2=3, TTo=1O,如圖所示:記候車時間大于10分鐘為事件A,則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時刻落在線段 T1T上時，事件A發(fā)生，區(qū)域D的測度為 所以15,區(qū)域d的測度為15-3-10=2d的測度（）D的測度215例5、平面上畫有一組平行線，其間隔交替為 1.5cm和10cm任意地往 平面上投一半徑為2cm的圓，求此圓不與平行線相交的概率。思考方法本題的難處，在于題中沒有直接指明等可能值參數(shù)，為此， 需發(fā)掘“任意的往平面上投一直徑為 2cm的圓”之真

41、實含義，找出具有 某種等可能的隨機(jī)點。注意到定半徑的圓的位置決定于圓心，可以取圓 心作隨機(jī)點，由于平行線可以向兩端無限延伸，而往平面上投圓又是任 意的，所以只要取這組平行線的某一條垂線就可以了；考慮到題設(shè)平行1-3 )由此原題不難解線的間隔交替的為1.5cm和10cm則研究相鄰三條平行線之間情況就可 以反映問題的全貌。經(jīng)上面的分析，我們可以取圓心為隨機(jī)點，它等可 能地分布在相鄰三條平行線的某一垂線上(如圖 出。圖1解設(shè)L1、L2、La是三條相鄰的平行線，EPF是它 們之間的垂線(圖1-3)，則樣本空間所對的區(qū) 域是線段EF,有L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm)注意到L1與L2相鄰1

42、.5cm，所以圓心如果落在線 段EP上，那么圓與平行線必定相交。設(shè)半徑為 2cm的O OOO分別切L2、La于P、F,則事件的 有利場合所對應(yīng)的區(qū)域應(yīng)是線段 OO有L(GA)=OO=PF-OP-OF=10-2-2=6cm。卩=旦 0.512711.5評注 從本題可以看出，如果題中沒有直接指明等可能值參數(shù)，則解題的 關(guān)鍵，在于斟酌題設(shè)條件，發(fā)掘等可能值參數(shù)的含義，找出隨機(jī)點的分 布情況。例6廣告法對插播廣告的時間有一定的規(guī)定，某人對某臺的電視節(jié) 目做了長期的統(tǒng)計后得出結(jié)論，他任意時間打開電視機(jī)看該臺節(jié)目，看9不到廣告的概率為10,那么該臺每小時約有分鐘的廣告.3 cm1 rmi3060150亡9

43、解析：60 X (1 100)= 6分鐘答案：6例7、甲、乙兩人約定在下午4:005:00間在某 地相見他們約好當(dāng)其中一人先到后一 定要等另一人15分鐘，若另一人仍不到 則可以離去，試求這人能相見的概率。解：設(shè)x為甲到達(dá)時間，y為乙到達(dá)時間.建立坐標(biāo)系，如圖| x y | 15時可相見，即陰影部分2 260457P廠60216例8兩對講機(jī)持有者張三、李四，為卡爾貨運公司工作，他們對講機(jī)的接收范圍是25km下午3: 00張三在基地正 東30km內(nèi)部處，向基地行駛，李四在基地正北 40km內(nèi)部處，向基 地行駛，試問下午3： 00,他們可以交談的概率。解：設(shè)x,y為張三、李四與基地的距離x 0,30，y 0,40，以基地為原點建立坐標(biāo)系.他們構(gòu)成實數(shù)對（x,y），表示區(qū)域總面積為1200,可以交談即x2 y225252120025192例9、某勘探隊勘測到，在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸 架儲藏著石油，假設(shè)在海域中任意一點鉆探，鉆到油層面的概率是多少？ 分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機(jī)的而40平方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積，由幾何概