誤差分離理論

1、誤差分離理論制造工程中的精密技術(shù)1.誤差分離的一般方程假設(shè)1 在布置傳感器時均需使某一或一些被測誤差量，在傳感器中的反映可以借助于測量系統(tǒng)配置的幾何特征，表述為該被測誤差量在測量空間中的“時延”。同時該被測誤差量本身是或者認(rèn)為使之是周期性的，時不變的，以使得該誤差量在所有測量傳感器中的反映，僅為測量空間的“時延”或者“相位”不同，也就是說該誤差量在所有傳感器中的反映是完全相關(guān)的。假設(shè)2 根據(jù)幾何量測量的Abbe原理，傳感器的測量方向應(yīng)在被測誤差量的延長線上，因此該誤差量在傳感器中的傳遞是1：1的。假設(shè)3 其他諸項(xiàng)誤差量則通過處理測量系統(tǒng)的幾何關(guān)系，使之加權(quán)后反映到不同位置的測量傳感器中。一般這

2、些誤差量在諸傳感器中的反映，不能表述為誤差量在測量空間的時延或相移。這些誤差量可以是確定的，也可以是隨機(jī)性的?？傊?，所有被測量或?qū)⒈环蛛x的誤差量，都將通過測量系統(tǒng)的幾何關(guān)系映射為傳感器的輸出信號。這種由測量系統(tǒng)幾何參數(shù)決定的映射關(guān)系，在此稱之為誤差映射關(guān)系或誤差映射矩陣。設(shè)在線誤差測量和分離系統(tǒng)中的某一被測誤差量，在諸傳感器中的輸出滿足假設(shè)1、2描述的特性。其余的有限個被測誤差量滿足假設(shè)3描述的特征。設(shè)測量系統(tǒng)中安裝一個或m個測量傳感器，且其在測量空間的位置為別為：則應(yīng)用一個傳感器進(jìn)行m次移位測量后，或應(yīng)用m個傳感器進(jìn)行一次測量后可得傳感器的輸出矩陣方程：式中 被測誤差量的誤差映射矩陣，為階單

3、位矩陣。滿足假設(shè)1、2的被測誤差量經(jīng)系列時延后的序列構(gòu)成的列向量。滿足假設(shè)3的k個被測誤差量構(gòu)成的列向量。由測量機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)決定的k個誤差量的階誤差映射矩陣。式中，元素表示被測誤差量對測量傳感器輸出的映射系數(shù)，其取值和測量系統(tǒng)的配置及傳感器的安裝位置有關(guān)。設(shè)有不為零的行向量：，左乘矩陣方程，有：針對上式，若有這樣的m階行向量C使得：則上式可轉(zhuǎn)化并展開為：上式即為誤差分離的一般方程。對上式做傅氏變換，并應(yīng)用傅氏變換的時延相移性質(zhì)得：式中 由測量系統(tǒng)幾何參數(shù)決定的相移旋轉(zhuǎn)因子。測量和分離系統(tǒng)的誤差分離權(quán)函數(shù)。如果對于任意的有，則可得誤差量的頻域可表示為： 這是誤差分離一般方程的頻域形式。對上式求逆

4、傅氏變換，則可得出誤差量在測量空間的取值如下：式中 誤差量2 傳感器個數(shù)的確定上節(jié)給出了誤差分離的一般方程，本節(jié)討論權(quán)值系數(shù)的求取及確定測量傳感器個數(shù)的一般方法。考察誤差分離的時域表達(dá)式和頻域表達(dá)式，若能求出權(quán)值系數(shù)向量C，那么由和即可接觸被測誤差量。從誤差分離一般方程的導(dǎo)出過程知，權(quán)值系數(shù)向量的取值應(yīng)滿足。由矩陣?yán)碚撝匠痰葍r于顯然，上述方程為齊次方程。權(quán)值系數(shù)向量C的取值則轉(zhuǎn)化為齊次方程的求解問題。該方程組未知數(shù)為向量，系數(shù)矩陣為。根據(jù)矩陣?yán)碚撝匠痰慕獾那樾螢椋海?）若，由于誤差列向量中的元素是各自獨(dú)立的，矩陣中的行構(gòu)成的向量集合是線性無關(guān)的。即矩陣的秩大于或等于m，此時矩陣方程只有零

5、解C=0。（2）若，矩陣為降秩的，齊次方程組有非零解。根據(jù)誤差分離技術(shù)的一般理論，若要使誤差分離技術(shù)得以實(shí)施，必須有非零的權(quán)值系數(shù)向量C有非零解，必須有。從誤差分離一般理論的導(dǎo)出過程可知，假設(shè)測量系統(tǒng)含有的誤差項(xiàng)數(shù)為和共計(jì)個，使用的測量傳感器的個數(shù)為m，若要權(quán)值系數(shù)向量C有非零解，必須滿足：上式表明，若要實(shí)現(xiàn)誤差和的測量和分離，測量系統(tǒng)中使用的測量傳感器的個數(shù)至少和被測誤差項(xiàng)的個數(shù)相等。若測量傳感器的個數(shù)小于被測誤差項(xiàng)的個數(shù)，則權(quán)值系數(shù)向量C只能取零值，就不能實(shí)現(xiàn)對誤差和的分離。對于測量傳感器大于被測誤差項(xiàng)的個數(shù)時，只是權(quán)值系數(shù)向量的取值更為靈活而已。由式求出權(quán)值系數(shù)向量C后，根據(jù)：可以應(yīng)是時

6、域遞推方法或者根據(jù)應(yīng)用頻域方法首先分離出誤差量，從而也就得出的由決定的列向量：改寫矩陣方程有：顯然，根據(jù)上式，利用矩陣?yán)碚撊菀捉獬稣`差項(xiàng)：的取值，至此被測誤差的分離已全部完成。1.3 誤差分離的不完全性考察誤差分離的權(quán)函數(shù)式為單位矩陣。其中權(quán)值系數(shù)向量C的取值由線性齊次方程決定。由于元素是由測量機(jī)構(gòu)的特性決定，因此權(quán)值系數(shù)向量的取值同樣由測量機(jī)構(gòu)決定。由式可以看出，對任意的諧波，相移旋轉(zhuǎn)因子列向量只和測量傳感器的安裝位置有關(guān)，因此也取決于測量系統(tǒng)的配置參數(shù)。所以誤差分離的權(quán)函數(shù)式僅是測量系統(tǒng)配置參數(shù)的函數(shù)。若將誤差分量過程看作一個系統(tǒng)，則系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)為和，輸出為測量傳感器測取信號的加權(quán)組合C

7、y。該系統(tǒng)具有這樣的特性：（1）系統(tǒng)輸出Cy中完全消除了誤差項(xiàng)（2）誤差項(xiàng)通過由系統(tǒng)配置參數(shù)決定的權(quán)函數(shù)的濾波器后全部送至系數(shù)輸出Cy。在測量過程中，系統(tǒng)的輸出Cy是可觀測的，系統(tǒng)的權(quán)函數(shù)也是預(yù)知的，因此對誤差項(xiàng)的獲取在頻域內(nèi)可表示為：由上式可以看出，誤差分離過程是對系統(tǒng)的輸出或者觀測值進(jìn)行反濾波的過程。若誤差分離的權(quán)函數(shù)無零點(diǎn)，則由和表示的誤差分離將是完全的，即可以將誤差項(xiàng)和其余誤差項(xiàng)完全分離。一般情況下，權(quán)函數(shù)總是有零點(diǎn)存在，所以由上述表示的誤差分離是不完全的。比如直線度形狀誤差分離中的零階諧波分量、圓度形狀誤差分離中的一階諧波分量、螺紋導(dǎo)程誤差分離中零階諧波分量及和導(dǎo)程同周期的諧波分量等

8、均是由于權(quán)函數(shù)的零點(diǎn)存在難以分離。從對誤差分離權(quán)函數(shù)的討論可知，權(quán)函數(shù)中出現(xiàn)的零點(diǎn)有些可以通過調(diào)整測量機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)予以消除，但仍然存在某些零點(diǎn)無法消除，這是所采用的誤差測量和分離方法自身所固有的。由于誤差分離權(quán)函數(shù)中固有零點(diǎn)的存在，被測誤差項(xiàng)總是不能被完全分離，這就是誤差分離的不完全性。盡管某些未被分離出的諧波分量并不一定影響被測零件形狀誤差的評定中，如直線度形狀誤差的零階諧波分量及圓度形狀誤差的一階諧波分量并不影響零件的直線度誤差及圓度形狀誤差的平度，但從誤差分離的角度上看，其分離依舊是不完全的。這是因?yàn)檫@些未被分離的諧波分量將被記入到其他的誤差項(xiàng)中。除誤差權(quán)函數(shù)存在零點(diǎn)導(dǎo)致誤差分離的不完

9、全外，其取值的大小不同也會使誤差測量和分離系統(tǒng)對不同諧波成分的誤差傳遞率不同，從而使不同階次的誤差諧波分量的分離精度有很大的差異。因此誤差分量權(quán)函數(shù)的取值應(yīng)是設(shè)計(jì)誤差測量和分離機(jī)構(gòu)時考慮的首要問題，也是各種誤差分離技術(shù)都必須重視的具有共性的問題。在設(shè)計(jì)測量系統(tǒng)時，通過對誤差分離權(quán)函數(shù)的研究即可對測量系統(tǒng)的分離特性作出客觀準(zhǔn)確的評價。1.4 誤差分離的時、頻域統(tǒng)一觀察式，其形式顯然為一差分方程。為分析由其描述的系統(tǒng)的動態(tài)性能，對上式進(jìn)行Z變換得出其傳遞特性：根據(jù)z變換和傅氏變換的關(guān)系，令則可得：此式表明，誤差分離的時域遞推方法的傳遞特性，為誤差分離的頻域方法的權(quán)函數(shù)的倒數(shù)，權(quán)函數(shù)的零點(diǎn)即是傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。當(dāng)某一諧波階次使得權(quán)函數(shù)為零點(diǎn)時，在應(yīng)用頻域誤差分離方法時，總是強(qiáng)行使該階諧波處的誤差諧波分量取零值，從而造成誤差分離的不完整。此式傳遞特性為極點(diǎn)，使得遞推系統(tǒng)不穩(wěn)定，遞推結(jié)果中的該階誤差諧波分量無意義，應(yīng)從結(jié)果中