導數(shù)的概念導數(shù)公式與應用

1、知識點一：函數(shù)的平均變化率Ay(1)概念：函數(shù) y=/W 中， 如果自變量X在工0處有增量Lx，那么函數(shù)值y也相應的有增量 y=f(x .+ x)-f(x 0)，其比值心 叫做函數(shù)從忑0到工0 + x的平均變化率，即山Ax4 二若叫=心，可=忌+加，則平均變化率可表示為心，稱為函數(shù)子W從©到®的平均變化率。注意:事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”O(jiān)如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值;函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢，當取值越小，越能準確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況。ix是自變量兀在牝處的改變量，盤工0； 而® 是函數(shù)值的改變量，可以是0 O函數(shù)的平均變

2、化率是 0，并不一定說明函數(shù)沒有變化，應取Ax更小考慮。(2) 平均變化率的幾何意義函數(shù)y=j(工)的平均變化率止工可-可的幾何意義是表示連接函數(shù)，=/(工)圖像上兩點割線的斜率。如圖所示，函數(shù)/(X)的平均變化率 Z的幾何意義是：直線AB的斜率。_ 力-堆 _/(殆-/ _ Av弘事實上，兀一bx O作用：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關曲線割線的斜率。知識點二：導數(shù)的概念: 1導數(shù)的定義:。若極限對函數(shù)，在點xFfi處給自變量X以增量巴兀，函數(shù)y相應有增量2=jg+bmz在點鼻0處的導數(shù)，記作/仏）或A If，此時也稱mi在點呵處bm屯=Um心心畑Z血Aj存在，則此極限稱為可導。八品空

3、漑畑+ 血） 即:za在工 2/杠比今護）注意:增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負數(shù);導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率。2. 導函數(shù):如果函數(shù)W = /（工）在開區(qū)間（口）內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個兀亡（），都對應著一個確定的導數(shù)了'，從而構成 了一個新的函數(shù)/，稱這個函數(shù)/為函數(shù)y-ZM在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)。注意：函數(shù)的導數(shù)與在點 丙處的導數(shù)不是同一概念， 是常數(shù)，是函數(shù)了（刃在兀二X（i處的函數(shù)值，反映函數(shù)/（力在兀二& 附近的變化情況。3. 導數(shù)幾何意義:（1）曲線的切線A則有=加嚇=.曲線上一點P（XO, yo）及其附近一點Q（xo

4、+Ax,yo+Ay），經(jīng)過點P、Q作曲線的割線PQ其傾斜角為心當點Q（X0+Axyo+Ay）沿曲線無限接近于點 P（X0, y。），即 x宀0時，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點P處的切線。若切線的傾斜角為岀，則當 XTO時，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。3 *覘里=如/他+人"/仏丿 即.3® Az 時占心（2）導數(shù)的幾何意義:函數(shù)在點xo的導數(shù)廣I）是曲線y = /W上點（心（心）處的切線的斜率。注意:若曲線”=了伝）在點P（和/（&）處的導數(shù)不存在，但有切線，則切線與x軸垂直。廣（心） 0，切線與卞軸正向夾角為銳角；廣（心，切線與X軸正向夾角為鈍角

5、；廣區(qū)）=0,切線與兀軸平行。（3）曲線的切線方程如果p =/在點孔可導，則曲線y =在點（m/g）處的切線方程為:4. 瞬時速度:物體運動的速度等于位移與時間的比，而非勻速直線運動中這個比值是變化的，如何了解非勻速直線運動中每一時刻的運動快慢程度, 我們采用瞬時速度這一概念。如果物體的運動規(guī)律滿足s=s（t）（位移公式），那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體t到t+ t這段時間內(nèi)，當 t T0時平均速度的極限，即3D山心如果把函數(shù)2看作是物體的位移公式），導數(shù)尺表示運動物體在時刻的瞬時速度。規(guī)律方法指導1. 如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法:作差：求出V二了（花）/

6、（罰）和心作商：對所求得的差作商，即 止工注意:Av _ /羽）-丿（玄1）_ 丿（五+險）-/01）（1）曲H珂A兀，式子中止兀、3的值可正、可負，但巴忙的值不能為零，的值可以為零。若函數(shù)/（X）為常數(shù)函數(shù)時， 3 = 0。（2）在式子3與A兀是相對應的“增量”，即在山兀=花一咼時，V =。Av _ /5+M）-y（x）（3）在式子A工中，當可取定值，止兀取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率不同；當 止齊取定值，工1取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率也不一樣。2. 如何求函數(shù)在一點處的導數(shù)（1）利用導數(shù)定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)，通常用“三步法”計算函數(shù)的增量:求平均變化率:® _畑+心）

7、-/（心）AxAr取極限得導數(shù):（2）利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求初等函數(shù)的導數(shù)。3. 導數(shù)的幾何意義 設函數(shù)在點毛的導數(shù)是了（珀），則y （兀）表示曲線/在點（軋/（X）處的切線的斜率。設2式）是位移關于時間的函數(shù)，則用表示物體在3 %時刻的瞬時速度;設"皿）是速度關于時間的函數(shù)，則V表示物體在 Wq時刻的加速度;4. 利用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟求出 =/（7）在可處的導數(shù)/（心）； 利用直線方程的點斜式得切線方程為汕=廣（心）（"坯）。類型一：求函數(shù)的平均變化率1、求八濘+1在毛到Xq +心之間的平均變化率，并求心=1,32時平均變化率的值.Ay _ /（

8、aq思路點撥：求函數(shù)的平均變化率，要緊扣定義式AhAx進行操作.舉一反三:【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2 , 2+入兀內(nèi)的平均變化率?！咀兪?】已知函數(shù)了（門"，分別計算在下列區(qū)間上的平均變化率:(1)1,3；(2)1 ,2；(4)1 ,1.1；1 ,1.001.J 2I變式3】自由落體運動的運動方程為，計算t從3s到3.1S，3.01S，3.001S各段內(nèi)的平均速度（位移s的單位為m?！咀兪?】利用導數(shù)的定義求下列函數(shù)的導數(shù):【變式4】過曲線 y = ?。?F 上兩點 F（l）和 0（1 +醞 1+3） 作曲線的割線，求出當 A-t = 0.1時割線的斜率.類型二：利用定

9、義求導數(shù)7 = /W = -r2、用導數(shù)的定義，求函數(shù)心在x=1處的導數(shù)。舉一反三:【變式1】已知函數(shù)X（1 ）求函數(shù)在x=4處的導數(shù).二一一&尸（4"一?。?）求曲線X上一點4處的切線方程。(4) 心；。3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.x=1代入思路點撥：從函數(shù)在一點處的導數(shù)定義可求得函數(shù)y=x3+2x在x=1處的導數(shù)值，再由導數(shù)的幾何意義，得所求切線的斜率，將 函數(shù)可得切點坐標，從而建立切線方程舉一反三:【變式】在曲線y=X上過哪一點的切線:(1)平行于直線y=4x 5 ；(2)垂直于直線2x6y+5=0；(3)與x軸成135°的傾斜角。知識點三

10、：常見基本函數(shù)的導數(shù)公式(1)= c(C為常數(shù))，n了(工)"(n為有理數(shù))，了 W"嚴'(3)(4)(5)(6)了 （工）=護，廣0）=盤1!1&(7)(8)知識點四:函數(shù)四則運算求導法則設 /M gO)均可導（1）和差的導數(shù):/Cx)±(z)'=yw±g'w(2)積的導數(shù):/ (兀)=sin X , / a) = cos K 丁(X)= COS X , / '(X)= - sin 7(3)商的導數(shù):知識點五:復合函數(shù)的求導法則兒=：幾或廣皿切=了（必財（X）即復合函數(shù)尸力詆力對自變量K的導數(shù)兒，等于已知函數(shù)對中

11、間變量W =諷町的導數(shù)兒，乘以中間變量S自變量X的導數(shù)坯X注意：選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關鍵。求導時需要記住中間變量，逐層求導，不遺漏。求導后，要把中間變量轉換成自變量的函數(shù)。規(guī)律方法指導1.求復合函數(shù)的導數(shù)的一般步驟適當選定中間變量，正確分解復合關系;分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）r/Wi ,二/京）屋（£-/仗gS）sW住WF（旨（齊）工0） 把中間變量代回原自變量（一般是X）的函數(shù)。整個過程可簡記為分解一一求導一一回代，熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。類型一：利用公式及運算法則求導數(shù)1、求下列函數(shù)的導數(shù):(1)廠/(4

12、)y=2x33x2+5x + 4舉一反三:【變式】求下列函數(shù)的導數(shù):（1）八叭(2)尸一 2噸（5亡）(3) y=6x3 4x2+9x 62、求下列各函數(shù)的導函數(shù)(2) y=x2sinx;(3) y=e不十C03(4) y=H + 血工舉一反三:【變式1】函數(shù)"（兀+ 1）。在2 1處的導數(shù)等于（）B. 2C. 3D. 4【變式2】下列函數(shù)的導數(shù)(1)，=(卞 + 1)(2/+弓無-1).y =(2)2 尤'3 X + 1【變式3】求下列函數(shù)的導數(shù).(1)”二工+ +y = (+lX-L-l)d畫y =(3)類型四：復合函數(shù)的求導3、求下列函數(shù)導數(shù).y =(1-訶;（2）*=1詐+2）；(3)L舉一反三:【變式1】求下列函數(shù)的導數(shù):（1）廠卩+刃匚(3)y=ln (X + J1+(4)類型五：求曲線的切線方程舉一反三:I變式1】求曲線二;在點(廿)處的切線的斜率，并寫出切線方程【變式2】已知P(71),2(24)是曲線丿"上的兩點，則與直線曰2平行的曲線牛"的切線方程是【變式3】已知曲線Cy ="(1)求曲線U上橫坐標為1的點處的切線的方程;(2)第(1)小題中的切線與曲線 U是否還有其他的公共點?【